거듭제곱근의 성질에 대해서 알아볼 거예요. 여기서 공부할 거듭제곱근의 성질은 앞으로 계속 공부할 거듭제곱근의 기본이 되는 성질이에요.
내용이 복잡해서 조금 어려울 수도 있지만, 꼭 이해하고 넘어가야 하는 내용이에요. 한 번 읽어서는 이해가 안될수도 있으니 여러 번 꼼꼼히 읽어보세요.
중3 때 공부했던 제곱근의 성질과 비슷한 점도 있고, 중2 때 공부했던 지수법칙을 확장했다고 생각하면 조금 쉽게 공부할 수 있을 거예요.
거듭제곱근의 성질
n이 2 이상의 정수일 때, 은 n 제곱해서 a가 되는 실수예요. 그러니까
를 n번 곱한
는 a가 되겠죠?
= a
= 2죠? 제곱근 안에 있는 제곱인 수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있어요. 그럼
처럼 n 제곱근호 안에 있는 n 제곱인 수도 거듭제곱근 밖으로 꺼낼 수 있겠죠? 어떻게 꺼내는지 알아볼까요?
an에 n 제곱근호를 씌운 을 구해보죠. a의 n 거듭제곱근과 a에 n 거듭제곱근호을 씌운 것의 차이는 이해하죠? 2의 제곱근은 ±
고, 2에 근호를 씌운 건 그냥
예요.
실수인 거듭제곱근에서 a가 양수인지 음수인지, n이 짝수인지 홀수인지에 따라 실수 a의 n 제곱근을 구했었어요.
a > 0 | a = 0 | a < 0 | |
---|---|---|---|
n이 짝수 | 0 | 없다. | |
n이 홀수 |
저 표를 말로 정리해보면 다음과 같아요.
- 양수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 양수, 음수 2개)
- 음수에 짝수 제곱근호를 씌우면 → 없음
- 양수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 양수 (n 제곱근은 1개)
- 음수에 홀수 제곱근호를 씌우면 → 음수 (n 제곱근은 1개)
여기서는 a가 an으로 바뀌었어요. 그러니까 a의 부호와 n에 따라 an의 부호가 어떻게 바뀌는지가 중요하죠.
- a > 0이고 n이 짝수면 an은 양수 → 양수 an에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 →
> 0이므로
= a
- a < 0이고 n이 짝수면 an은 양수 → 양수 an에 짝수 n 제곱근호를 씌우면 양수 →
> 0이므로
= -a
- a > 0이고 n이 홀수면 an은 양수 → 양수 an에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 양수 →
> 0이므로
= a
- a < 0이고 n이 홀수면 an은 음수 → 음수 an에 홀수 n 제곱근호를 씌우면 음수 →
< 0이므로
= a
되게 복잡해 보이는데 간단히 말해서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 결과는 원래 수와 같은 부호라는 거예요. 한 가지 덧붙이자면 n이 짝수든 음수든 0은 그냥 0이고요.
에서 a = 3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 3이에요.
= 3
에서 a = -3이고 n = 4로 짝수예요. n이 짝수일 때 결과는 무조건 양수니까 a 앞에 (-)를 붙여야 해요.
= -(-3) = 3
에서 a = 3이고 n = 5로 홀수예요. 원래 수와 부호가 같으니까 결과는 3이에요.
= 3
에서 a = -3으로 음수고 n = 5로 홀수예요. 결과는 원래 수와 부호가 같은 음수인 -3이에요.
= -3
n이 짝수일 때 는 무조건 양수예요. a > 0이면
= a라는 거죠. n이 홀수일 때는 원래 부호 그대로니까 a > 0이면
= a예요. 그러니까 a > 0이면 n이 짝수이든 홀수이든 상관없이
은 무조건 양수 a라는 거예요.
- a > 0이면
= a
거듭제곱의 성질 - 지수법칙 이용
중학교 2학년 때 공부했던 지수법칙 기억나죠? 지수법칙 1 - 곱셈, 거듭제곱, 지수법칙 2 - 나눗셈, 괄호, 분수
중학교 3학년 때는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부했었고요.
이었어요. 제곱근을 곱할 때는 그냥 숫자끼리 곱하고 근호를 씌워주면 됐었죠? 제곱근의 나눗셈도 마찬가지로 숫자끼리 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었어요. 거듭제곱근에서도 같은 성질이 있는지 알아보죠.
a > 0, b > 0, n이 2 이상의 정수일 때를 n 제곱해보죠.
지수법칙과 위에서 했던 = a 두 가지를 이용했어요. a > 0, b > 0이니까
> 0,
> 0으로
> 0이에요.
이번에는 ab에 n제곱근을 씌운 를 보죠. a > 0, b > 0이니까 ab > 0이에요. 양수에 n 제곱근호을 씌우면 그 결과는 양수예요. 따라서
는 양수 ab의 양의 n 제곱근이죠.
는 양수고, n 제곱하면 ab가 돼요. ab의 양의 n 제곱근은
이니까 결국 둘은 같은 거죠.
=
이와 비슷한 방법으로 아래 공식들을 증명할 수 있어요.
a > 0, b > 0, m, n이 2 이상의 정수일 때
다음을 간단히 하여라.
(1)
(2)
(3)
(1) 에서 n이 짝수면 결과는 무조건 양수, n이 홀수면 원래 수의 부호예요.
= 3 + 4 - 5 - (-6)
= 8
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[중등수학/중2 수학] - 지수법칙 - 나눗셈, 괄호, 분수
[중등수학/중3 수학] - 제곱근의 곱셈과 나눗셈
문제 1번에 답이 8인데 2라고 적혀있네요
수정 부탁드립니다.
8이네요.
ㅋㅋㅋ수정좀 해주세요. 1번 문제를 풀다가 멘봉 올번 했잖아요 ㅋㅋ
다행히 멘붕 올 뻔한거지 완전히 온 건 아니것 같네요. ㅎㅎ
오타 찾으면 또 알려주세요.
둘러보면서 공부하고 있는데 사이트 이동할때 자꾸 검은색 창이 나타나네요..
이건 뭔가요?
제일 위에 있는 메뉴(HOME, 중1 수학, ...)를 만드는 작업이에요. 컴퓨터의 처리 속도가 조금 늦을 때만 나와요.
진짜 간단하게 잘 설명되었네요 짱짱
되게 복잡해보이는 것일수록 정리해보면 간단하죠. 중간에 설명 과정이 엄청 이상(?)하지만요.
음 그러면 저 ab를 가지고 하시는 성질의 증명에서 둘다 같은 n이 아니라 n과 m이 들어가서 두 개가 같이 있으면 어떻게 증명하나요?
둘 다 n으로 같으니까 하나로 합칠 수 있는지를 보는 거예요. m, n이 서로 다르면 하나로 합칠 수 없어요.
자연수의 거듭제곱의 합이안보이네요..
아직안쓰신건가요?
자연수 거듭제곱의 합 공식, 유도(http://mathbang.net/628)에 있어요. ㅎㅎ
어려워보였는데 ...고맙습니다!~
이건 어려보이는 게 아니라 진짜로 어려운 거예요. ㅎㅎ
안녕하세요 ^^ 수학방에서 많은 도움 얻고 있습니다
거듭제곱근의 성질을 증명할 때 유리수 지수를 사용하면 안되는건지 궁금합니다.
실제로 교과서의 순서도 거듭제곱근의 성질 -> 유리수 지수 순으로 되어있더라구요.
근데 유리수 지수를 이용하면 거듭제곱근의 성질을 더 쉽게 이해할 수 있는데 그렇게 하면 논리의 오류가 발생하는 것인가요?
본인이 쉽게 이해할 수 있는 방법으로 이해하면 됩니다.
수학방 감사하게 잘 사용하고 있습니다!
근데 지수법칙 이용에서 왜 a,b가 0보다 크다고 보고가나요?
a,b가 0보다 작거나 같을 수는 없나요?
실수인 거듭제곱근에 설명되어 있어요.
https://mathbang.net/584
그러면 n이 짝수든 홀수든 상관없이 n제곱근a에서 a가 양수이면, 그 수는 무조건 양수이자 a의 양의 n제곱근이 되는 건가요? n이 홀수일땐 양이라는 말을 안 붙히다가 n이 짝수면 a가 양수일때 a의 n제곱근이 양수와 음수 2개가 나오니깐 구분해주기 위해서 양이라는 말을 붙여준건가요?