수열의 귀납적 정의
수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.
귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?
납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?
정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.
수열의 명시적 정의, 귀납적 정의
수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.
첫 번째 방법은 an = 2n + 1처럼 an을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.
두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.
a1 = 1, an + 1 = an + 2이라고 해보죠.
첫 번째 항은 1이에요. a1 = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. an + 1 = an + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.
a1 = 2, an + 1 = 3an일 때, a1 = 2라서 첫째항이 2고 an + 1 = 3an이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.
여기서 an + 1 = an + 2와 an + 1 = 3an처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.
등차수열과 등비수열의 귀납적 정의
등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 an = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {an}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a1 = a, an + 1 = an + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.
등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.
등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 an = arn - 1이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {an}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a1 = a, an + 1 = ran (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.
등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.
여러 가지 점화식
이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.
(1) an + 1 = an + d → an + 1 - an = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) an + 1 = ran → an + 1 ÷ an = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) an + 1 - an = an + 2 - an + 1 → 2an + 1 = an + an + 2 → 등차수열
(4) an + 1 ÷ an = an + 2 ÷ an + 1 → (an + 1)2 = an × an + 2 → 등비수열
다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {an}의 일반항을 구하시오. (단, n = 1, 2, 3, …)
(1) a1 = 3, a2 = 6, an + 1 = an + 3
(2) a1 = 3, a2 = 6, (an + 1)2 = an × an + 2
(1) a1 = 3이고, an + 1 = an + 3이므로 이 수열은 첫째항이 3이고, 공차가 3인 등차수열이에요.
첫째항이 a, 등차가 d인 등차수열의 일반항은 an = a + (n - 1)d예요. 공식에 넣어보죠.
an = 3 + (n - 1)3 = 3n
(2) a1 = 3, (an + 1)2 = an × an + 2이므로 이 수열은 첫째항이 3인 등비수열이에요.
공비를 구해야겠네요.
r = $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ = $\frac{6}{3}$ = 2
첫째항이 a, 등비가 r인 등비수열의 일반항은 an = arn - 1이에요. 공식에 넣어보죠.
an = 3 × 2n - 1