수열의 귀납적 정의

2025. 9. 8. 11:07

< 고등수학/대수 > 의 글입니다.

수열의 정의 방법인 명시적 정의와 귀납적 정의에 대해서 알아보고, 등차수열과 등비수열을 귀납적으로 정의해봅니다.

수열의 귀납적 정의에 대해서 공부할 건데, 먼저 귀납이 무슨 뜻인지 부터 알아보죠.

귀납(歸納)에서 귀(歸)는 돌아올 귀인데, 돌아오다, 돌아가다의 뜻이에요. 밖에 나갔다가 집으로 돌아오는 걸 귀가라고 하고, 외국에 있다가 한국에 다시 들어오는 걸 귀국이라고 하죠?

납(納)은 들일 납인데, 들이다, 바치다, 받아들이다의 뜻이에요. 세금을 내는 걸 납세라고 하고, 은행 창구에서 돈을 받는 걸 수납이라고 하죠?

정리하면, 귀납은 “돌아가게 해서 받아들인다. → 개별적 사실들을 모아 받아들여 일반적 결론으로 돌아간다.”는 뜻으로 이해하면 돼요.

수열의 명시적 정의, 귀납적 정의

수열을 정의하는 방법에는 두 가지가 있어요.

첫 번째 방법은 a_n = 2n + 1처럼 a_n을 n에 대한 공식으로 직접 나타내는 방법으로 명시적 정의라고 해요. 이제까지 우리가 공부했던 방법이에요.

두 번째 방법은 반복되는 규칙을 관계식으로 나타내는 방법으로 귀납적 정의라고 해요. 처음 몇 개의 항과 이웃하는 항들과의 관계식을 이용해요.

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + 2이라고 해보죠.

첫 번째 항은 1이에요. a₁ = 1이라서 첫 번째 항은 1이에요. a_{n + 1} = a_n + 2이니까다음 항은 바로 앞항보다 2만큼 큰 관계가 있어요. 결과적으로 이 수열은 첫째항이 1이고, 공차 2인 등차수열이에요.

a₁ = 2, a_{n + 1} = 3a_n일 때, a₁ = 2라서 첫째항이 2고 a_{n + 1} = 3a_n이니까 다음 항은 바로 앞항의 3배인 관계가 있어요. 즉, 첫째항이 2고 공비가 3인 등비수열이죠.

여기서 a_{n + 1} = a_n + 2와 a_{n + 1} = 3a_n처럼 이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식을 점화식이라고 해요.

등차수열과 등비수열의 귀납적 정의

등차수열, 등차수열의 일반항에서 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열은 a_n = a + (n - 1)d라고 했죠? 같은 등차수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공차가 d인 등차수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = a_n + d (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등차수열을 첫째항 a와 이웃하는 항(n항, n + 1항) 사이의 관계식으로 정의했잖아요.

등비수열, 등비수열의 일반항, 등비중항에서 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열은 a_n = ar^{n - 1}이었어요. 같은 등비수열을 귀납적으로 정의하면 수열 {a_n}이 첫째항이 a이고, 공비가 r인 등비수열일 때, a₁ = a, a_{n + 1} = ra_n (n = 1, 2, 3, …)이라고 정의해요.

등비수열도 등차수열과 마찬가지로 첫째항과 이웃하는 항 사이의 관계식을 이용했어요.

여러 가지 점화식

이웃하는 항들 사이의 관계를 나타내는 식(점화식)을 보면 이 수열이 등차수열인지 등비수열인지 알 수 있어요.

(1) a_{n + 1} = a_n + d → a_{n + 1} - a_n = d(일정) → 공차가 d인 등차수열
(2) a_{n + 1} = raⁿ → a_{n + 1} ÷ a_n = r(일정) → 공비가 r인 등비수열
(3) a_{n + 1} - a_n = a_{n + 2} - a_{n + 1} → 2a_{n + 1} = a_n + a_{n + 2} → 등차수열
(4) a_{n + 1} ÷ a_n = a_{n + 2} ÷ a_{n + 1} → (a_{n + 1})² = a_n × a_{n + 2} → 등비수열