로그함수를 이용한 수의 대소 비교
로그함수를 이용해서 수의 대소를 비교할 수 있어요.
로그함수 y = logax(a > 0, a ≠ 1)는 다음과 같은 성질이 있어요.
- a > 1일 때 증가함수. x가 증가하면 y도 증가. x1 < x2이면, y1 < y2
- 0 < a < 1일 때 감소함수. x가 증가하면 y는 감소. x1 < x2이면, y1 > y2
그래프를 생각하면 쉬워요.
a > 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y도 커요.
0 < a < 1일 때, 진수 x가 크면 함숫값 y는 작아요.
대소를 비교할 두 수를 밑이 같은 로그 꼴로 나타내요. 그 다음 밑이 1보다 큰지 작은지를 보고, 진수의 크기를 비교해서 두 수 중 어느 수가 더 큰지를 알 수 있어요.
다음 두 수의 대소를 비교하여라.
(1) 4, log28 (2) log${}_{\frac{1}{2}}$5, 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$
(1)
4 → 4log22 = log224 = log216
log28
진수를 비교해보죠. 16 > 8로 16이 더 커요.
밑이 2로 1보다 크니까 x가 증가하면 y도 증가해요. a > 1일 때, x1 < x2이면, y1 < y2
진수가 크면 수가 더 크니까 4 > log28이에요.
(2)
log${}_{\frac{1}{2}}$5
3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$ = log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}^{3}$
진수를 비교해보죠. 5 > $\sqrt{3}^{3}$으로 $\sqrt{3}^{3}$이 더 커요.
밑이 $\frac{1}{2}$로 1보다 작으니까 x가 증가하면 y는 감소해요. 0 < a < 1일 때, x1 < x2이면, y1 > y2
진수가 크면 수가 더 작으니까 log${}_{\frac{1}{2}}$5 > 3log${}_{\frac{1}{2}}\sqrt{3}$이에요.