점과 직선사이의 거리 공식, 증명, 유도

좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.

점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.

공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.

점과 직선 사이의 거리 공식

점 P(x₁, y₁)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x₂, y₂)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)

직선 PH는 두 점 P(x₁, y₁)와 H(x₂, y₂)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,

이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -x -

직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.

- ×  = -1
a(y₂ - y₁) = b(x₂ - x₁)

 = k라고 놓으면
x₂ - x₁ = ak, y₂ - y₁ = bk ……… ①
x₂ = x₁ + ak, y₂ = y₁ + bk

H(x₂, y₂)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax₂ + by₂ + c = 0
a(x₁ + ak) + b(y₁ + bk) + c = 0      (∵ ①)
ax₁ + a²k + by₁ + b²k + c = 0
(a² + b²)k + ax₁ + by₁ + c = 0
(a² + b²)k = -ax₁ - by₁ - c
k = - ……… ②

(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.

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정리해볼까요

점 (x₁, y₁)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d

• 

교점을 지나는 직선의 방정식

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원의 방정식

 

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