좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.
점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.
공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.
점과 직선 사이의 거리 공식
점 P(x1, y1)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x2, y2)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)
직선 PH는 두 점 P(x1, y1)와 H(x2, y2)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,
이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -
직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.
-
a(y2 - y1) = b(x2 - x1)
x2 - x1 = ak, y2 - y1 = bk ……… ①
x2 = x1 + ak, y2 = y1 + bk
H(x2, y2)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax2 + by2 + c = 0
a(x1 + ak) + b(y1 + bk) + c = 0 (∵ ①)
ax1 + a2k + by1 + b2k + c = 0
(a2 + b2)k + ax1 + by1 + c = 0
(a2 + b2)k = -ax1 - by1 - c
k = -
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.
점 (x1, y1)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d
점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.
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파푸스의 중선 정리같이 정석에 안나오는것은 다루지 않나요?
그것도 꽤 중요한 부분인데요 ㅎㅎ
댓글을 보고 짐작하건데 파푸스의 중선 정리를 이미 이해하고 계신 것 같네요. ㅎㅎ
내용 추가를 위해서 해주시는 조언이라면 나중에 추가하도록 하겠습니다.
저기 왜 k가 들어가 있는지 여쭤봐도 될까요?
k는 그냥 전개하기 위해서 사용하는 매개변수예요. 큰 의미가 있는 건 아니에요. 치환을 이용해서 식을 푸는 것과 비슷한 거라고 생각하시면 쉬워요.
비례식(http://mathbang.net/326) 문제 풀 때도 k라는 매개변수를 이용해서 문제를 푸는 경우가 많으니 참고하세요.
k=공식 할때요@
마이너스가 붙잖아요
근데 왜갑자기 절댓값에서 마이너스가 없어졌지요?
절댓값이니까 (-)가 있으나 없으나 똑같잖아요. (-)를 빼면 공식이 간단해지니까 뺀 거예요.
한참 이 공식 유도하느라 힘 들었는데 해결되었네요 감사합니다^^ 나중에 또 스스로 유도해 봐야 겠네요.. 여기서 더 많이 배우고 가겠습니다~^^
혼자서 유도해보면 기억에 더 오래 남을 거예요. 꼭 유도해 보세요.
마지막에 절댓값안에 있는거랑 루트 a제곱+b제곱이랑 곱해서 어떻게 저 공식이 나오나요?
약분하고 절댓값 안에 있는 (-) 없애주면 되지요.
PH의 기울기를 구할때 엑스원에서 엑스투를 빼든 엑스투에서 엑스원을빼든 어차피 나중에 절댓값 씌울꺼니깐 상관없는건가요?
기울기를 구할 때는 절댓값과 상관없어요.
분모가 x2 - x1이면 분자는 y2 - y1이어야 해요. 만약에 분모가 x1 - x2면, 분자는 y1 - y2여 하고요. x2, y2가 둘다 앞에 오거나 둘다 뒤에 와야 해요.
완전 최고입니다. ^^ 짱짱맨!!
댓글 고맙습니다. ^^
마지막에
절댓값 - a제곱+b제곱분에 ~~ 해서 루트a제곱+b제곱에서 공식까지 어떻게 약분이 되는거에요?
약분에 별다른 방법이 필요한가요? 그냥 약분하는 거죠.
비밀댓글입니다
퍼가면 안돼요. ㅠㅠ
잘보고갑니다 ㅋㅋ
고1 기본이부족해서 그런지 모의고사 풀때 이런데에서 막히더라구요 ㅋㅋ
기본은 확실히 다지는게 좋죠. 앞으로는 모의고사 풀 때 막힘없이 푸세요.
마지막 저도 이해가 안되서 댓글을 봤는데 약분하라고 하셔서.. 하나는 절댓값 안에서 음수였는데 어떻게 양수가 되었고 a제곱 더하기 b제곱은 절댓값이 씌어있는데 어떻게 약분을 시키는지 이해가 잘 안됩니다ㅠㅠ
약분하는 과정 추가했어요. 한 번 봐보세요.
고등수학을 다시 공부하는데 많은 도움받고 있습니다. 항상 감사하게 생각하고 있어요. 와중에 혹시나 하는 의문이 들어 글을 씁니다. 유도과정 중 a제곱+b제곱>0이라는 명제가 있는데 좌표상에 나타나는 실수이기에 당연한 명제인건지 다른 전제가 있는건지 궁금합니다. 모바일이라 글이 명확하지 않은 점 이해부탁드립니다.
당연히 실수라는 전제가 있는데다 첫번째 줄에 a, b가 모두 0이 아니라고 놓고 시작했잖아요. 그러니까 제곱의 합은 0보다 커야죠.
감사합니다
댓글 고맙습니다. 수학 1등급 꼭 이루세요.
직선의 방정식에서 마지막 문제를 예를 들면 3x+4y-3에서 공식에 대입하잖습니까. 그런데 그냥 x+3/4y-1을 대입하면 안되는 이유가 있나요? 다른 데서도 예제같은거 보면 항상 위의 식마냥 x와y의 계수를 정수꼴로만 놓고 풀더라고요. 그리고 결과값도 다르더군요. 즉, 제 말은 3x+4y-3이나 x+3/4y-1이나 본질은 같은데 왜 항상 정수꼴의 계수로 놓고 대입하는지 의문입니다.
y의 계수가 3/4가 아니라 4/3이죠. 식의 모양이 달라도 계산한 결과는 같아요.
계수가 정수면 분수일때보다 계산하기 훨씬 편하니까 정수로 놓죠. 방정식 풀 때도 계수가 분수나 소수면 정수로 바꿔서 풀잖아요.
어럽네요 안보고 유도과정을 적을 수 있어야 하나요?
아니요. 그림 바로 아래 부터 본격적으로 식이 나오기 전까지 있는 텍스트 설명만 이해하면 돼요. 직선 PH를 식으로 나타내서 기울기의 곱 = -1을 이용한다 정도로요.
공식은 반드시 외우야 하고요.
문제집에서 보면 a=0, b≠0 또는 a≠0, b=0 일 때도 성립한다는데 왜 그렇습니까?
(ㅠ_ㅠ)
a, b가 동시에 0이 아니라면 (둘 중 하나만 0라면) 직선이니까요.
감사합니다. 많은도움이 되요.
도움 많이 드릴테니까 자주 오세요.
a 나b가 음수여도 분모는 제곱해서 양수로만들어 더하는게 맞나요?
어차피 제곱하니까 양수, 음수 상관없어요.
왕 감사해용
한 점에서 직선에 그은 수선이 왜 최단 거리인지 증명해주실 수 있나요?