좌표평면 위의 한 점과 직선 사이의 거리 공식을 유도해보고, 문제를 풀어볼 거예요. 공식의 유도과정이 조금 복잡하니까 집중해서 잘 보세요.
점과 직선 사이의 거리 공식을 유도할 때, 앞서 했던 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리, 직선의 방정식 구하기, 두 직선의 위치관계 등을 총동원하니까 앞의 내용도 잘 기억하고 있어야 해요.
공식의 유도는 어렵지만, 공식 자체는 어렵지 않으니까 외우기 어렵지는 않을 거예요. 공식만 외우면 문제 푸는 건 쉽게 풀 수 있어요.
점과 직선 사이의 거리 공식
점 P(x1, y1)와 직선 ax + by + c = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0) 사이의 거리를 구해볼까요? 점 P에서 직선에 수선을 긋고 수선의 발을 H(x2, y2)라고 해보죠. 거리는 가장 가까운 직선의 길이와 같아요. 가장 가까운 직선은 수선이고요.
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)
직선 PH는 두 점 P(x1, y1)와 H(x2, y2)를 지나는 직선이에요. 두 점을 지나는 직선의 방정식 공식에 넣어보면,
이번에는 ax + by + c = 0을 표준형으로 바꿔보죠.
y = -
직선 PH와 직선 ax + by + c = 0은 서로 수직이에요. 두 직선의 위치관계에서 두 직선이 서로 수직이면 (기울기의 곱) = -1이라고 했어요.
-
a(y2 - y1) = b(x2 - x1)
x2 - x1 = ak, y2 - y1 = bk ……… ①
x2 = x1 + ak, y2 = y1 + bk
H(x2, y2)는 ax + by + c = 0위의 점이므로
ax2 + by2 + c = 0
a(x1 + ak) + b(y1 + bk) + c = 0 (∵ ①)
ax1 + a2k + by1 + b2k + c = 0
(a2 + b2)k + ax1 + by1 + c = 0
(a2 + b2)k = -ax1 - by1 - c
k = -
(점 P와 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리) = (직선 PH의 길이)이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 직선 PH의 길이를 구해보죠. 풀이 중간에 ①, ②를 이용할 거예요.
점 (x1, y1)과 직선 ax + by + c = 0 사이의 거리 d
점 (2, 3)과 직선 3x + 4y - 3 = 0 사이의 거리를 구하여라.
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