곱셈공식, 곱셈공식 유도, 고1 곱셈공식

곱셈공식이에요. 중학교 때 곱셈공식 1, 곱셈공식 2에서 다섯 개의 곱셈공식을 공부했어요. 이 곱셈공식을 잘 외워두면 다항식의 곱셈을 할 때 과정을 생략하고 바로 결과를 이끌어낼 수 있었죠?

고1 과정에서는 위 다섯 개에 추가로 몇 개를 더 공부해요. 조금 더 길고 어려운 공식들이 많이 나오니까 잘 외워두세요. 비슷한 게 있더라도 헷갈리면 안 돼요.

곱셈공식을 거꾸로 하면 인수분해 공식 1, 인수분해 공식 2가 됐어요. 여기서도 마찬가지로 새로운 곱셈공식은 뒤에서 공부할 인수분해 공식에서 다시 사용되니까 꼭 외우세요.

곱셈공식

아래는 중학교 때 외웠던 곱셈공식이에요. 잊어버리지 않았죠?

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

고1 곱셈공식은 위에 있는 것보다 훨씬 많아요. 아래 공식들은 분배법칙과 위 다섯 개의 곱셈공식에서 파생되어 나온 공식들이에요.

다 외워야 합니다.

(1) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + 3ab(a + b) + b³
     (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - 3ab(a - b) - b³
(3) (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
     (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
(4) (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
(5) (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
(6) (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴

고1 곱셈공식이 어떻게 만들어지는지 유도해보죠.

(1) (a + b + c)²
= (t + c)²                                    (∵ a + b = t로 치환)
= t² + 2tc + c²
= (a + b)² + 2(a + b)c + c²   (∵ t = a + b)
= a² + 2ab + b² + 2ca + 2bc + c²
= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
= a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(2) (a + b)³
= (a + b)²(a + b)
= (a² + 2ab + b²)(a + b)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(3) (a + b)(a² - ab + b²)
= a³ + a²b - a²b - ab² + ab² + b³
= a³ + b³

(4) (x + a)(x + b)(x + c)
= (x² + ax + bx + ab)(x + c)
= x³+ ax² + bx² + abx + cx² + cax + bcx + abc
= x³ + ax² + bx² + cx² + abx + bcx + cax + abc
= x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

(5), (6)도 연습장에 전개해서 동류항 계산을 해보세요.

공식을 외우는 길은 종이에 많이 써보고, 머리로 많이 생각해보는 방법밖에 없어요. (2), (3)은 비슷한 공식이 있으니까 헷갈리지 않도록 조심하세요.

다음을 전개하여라.
(1) (2a - b + c)²
(2) (3a + 2b)³
(3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)

위 곱셈공식을 사용해서 전개하면 돼요.

(1)은 항이 세 개 있는 식의 완전제곱이네요. (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

(2a - b + c)²
= (2a)² + (-b)² + c² + 2{2a·(-b) + (-b)·c + c·2a)
= 4a² + b² + c² + 2(-2ab - bc + 2ca)
= 4a² + b² + c² - 4ab - 2bc + 4ca

(2)번은 세제곱이군요. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(3a + 2b)³
= (3a)³ + 3·(3a)²·2b + 3·3a·(2b)² + (2b)³
= 27a³+ 54a²b + 36ab² + 8b³

(3)번은 세 다항식의 곱이에요. (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc

(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= x³ + (1 + 2 + 3)x² + (1·2 + 2·3 + 3·1)x + 1·2·3
= x³ + 6x² + 11x + 6

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)를 전개하여라.

이게 좀 어려운 문제에요. 풀이를 집중해서 잘 보세요.

네 개의 항이 곱해져 있는 경우예요. 공식으로는 바로 전개할 수가 없지요. 이때는 두 개씩 나눠서 각각을 곱셈공식으로 전개해야 해요. 어떻게 두 개씩 묶느냐가 중요하죠.

대부분은 상수항이 가장 큰 것과 가장 작은 걸 묶고, 나머지 두 개를 묶으면 맞아요. 물론 아닐 때도 있어요.

상수항이 가장 큰 (x + 2)와 가장 작은 (x - 4)를 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 전개해보죠.

{(x - 4)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)}
= (x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)

두 개의 다항식의 곱으로 바뀌었는데, 두 식에서 이차항과 일차항이 x² - 2x로 같아요. 바로 여기를 치환하는 거예요.

(x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)

곱셈공식을 이용해서 한 번 더 전개하고, 치환했던 t에 x² - 2x를 넣어요. 그리고 나머지 과정을 계속하는 거예요.

처음부터 다시 정리해보죠.

(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)(x - 3)(x + 1)    (∵ 두 개씩 묶기)
= (x² - 2x - 8)(x² - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)                        (∵ x² - 2x = t로 치환)
= t² - 11t + 24
= (x² - 2x)² - 11(x² - 2x) + 24  (∵ t = x² - 2x)
= x⁴- 4x³ + 4x² - 11x² + 22x + 24
= x⁴ - 4x³- 7x² + 22x + 24

이 문제의 핵심은 이차항과 일차항을 t로 치환할 수 있게 만드는 거예요. 때로는 이 방법이 통하지 않을 수 있어요. 그때는 이차항과 상수항을 t로 치환해서 (t - x)(t - 2x) 같은 꼴로 나올 수 있게 상수항의 곱이 같아지도록 네 개의 항을 두 개씩 잘 나눠야 합니다.

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정리해볼까요

곱셈공식 1

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• (a + b)(a - b) = a² - b²
• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

곱셈공식 2

• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3a²b + b³
  (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3a²b - b³
• (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³
  (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³
• (x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc
• (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
• (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴

다항식의 덧셈과 뺄셈, 곱셈

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곱셈공식의 변형

 

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