곱셈공식이에요. 중학교 때 곱셈공식 1, 곱셈공식 2에서 다섯 개의 곱셈공식을 공부했어요. 이 곱셈공식을 잘 외워두면 다항식의 곱셈을 할 때 과정을 생략하고 바로 결과를 이끌어낼 수 있었죠?
고1 과정에서는 위 다섯 개에 추가로 몇 개를 더 공부해요. 조금 더 길고 어려운 공식들이 많이 나오니까 잘 외워두세요. 비슷한 게 있더라도 헷갈리면 안 돼요.
곱셈공식을 거꾸로 하면 인수분해 공식 1, 인수분해 공식 2가 됐어요. 여기서도 마찬가지로 새로운 곱셈공식은 뒤에서 공부할 인수분해 공식에서 다시 사용되니까 꼭 외우세요.
곱셈공식
아래는 중학교 때 외웠던 곱셈공식이에요. 잊어버리지 않았죠?
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
고1 곱셈공식은 위에 있는 것보다 훨씬 많아요. 아래 공식들은 분배법칙과 위 다섯 개의 곱셈공식에서 파생되어 나온 공식들이에요.
다 외워야 합니다.
(1) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + 3ab(a + b) + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = a3 - 3ab(a - b) - b3
(3) (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3
(4) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(5) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc
(6) (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4
고1 곱셈공식이 어떻게 만들어지는지 유도해보죠.
(1) (a + b + c)2
= (t + c)2 (∵ a + b = t로 치환)
= t2 + 2tc + c2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 (∵ t = a + b)
= a2 + 2ab + b2 + 2ca + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
= a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2) (a + b)3
= (a + b)2(a + b)
= (a2 + 2ab + b2)(a + b)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(3) (a + b)(a2 - ab + b2)
= a3 + a2b - a2b - ab2 + ab2 + b3
= a3 + b3
(4) (x + a)(x + b)(x + c)
= (x2 + ax + bx + ab)(x + c)
= x3+ ax2 + bx2 + abx + cx2 + cax + bcx + abc
= x3 + ax2 + bx2 + cx2 + abx + bcx + cax + abc
= x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(5), (6)도 연습장에 전개해서 동류항 계산을 해보세요.
공식을 외우는 길은 종이에 많이 써보고, 머리로 많이 생각해보는 방법밖에 없어요. (2), (3)은 비슷한 공식이 있으니까 헷갈리지 않도록 조심하세요.
다음을 전개하여라.
(1) (2a - b + c)2
(2) (3a + 2b)3
(3) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
위 곱셈공식을 사용해서 전개하면 돼요.
(1)은 항이 세 개 있는 식의 완전제곱이네요. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(2a - b + c)2
= (2a)2 + (-b)2 + c2 + 2{2a·(-b) + (-b)·c + c·2a)
= 4a2 + b2 + c2 + 2(-2ab - bc + 2ca)
= 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 2bc + 4ca
(2)번은 세제곱이군요. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(3a + 2b)3
= (3a)3 + 3·(3a)2·2b + 3·3a·(2b)2 + (2b)3
= 27a3+ 54a2b + 36ab2 + 8b3
(3)번은 세 다항식의 곱이에요. (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
= x3 + (1 + 2 + 3)x2 + (1·2 + 2·3 + 3·1)x + 1·2·3
= x3 + 6x2 + 11x + 6
(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)를 전개하여라.
이게 좀 어려운 문제에요. 풀이를 집중해서 잘 보세요.
네 개의 항이 곱해져 있는 경우예요. 공식으로는 바로 전개할 수가 없지요. 이때는 두 개씩 나눠서 각각을 곱셈공식으로 전개해야 해요. 어떻게 두 개씩 묶느냐가 중요하죠.
대부분은 상수항이 가장 큰 것과 가장 작은 걸 묶고, 나머지 두 개를 묶으면 맞아요. 물론 아닐 때도 있어요.
상수항이 가장 큰 (x + 2)와 가장 작은 (x - 4)를 묶고, 나머지 두 개를 묶어서 전개해보죠.
{(x - 4)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)}
= (x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
두 개의 다항식의 곱으로 바뀌었는데, 두 식에서 이차항과 일차항이 x2 - 2x로 같아요. 바로 여기를 치환하는 거예요.
(x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3)
곱셈공식을 이용해서 한 번 더 전개하고, 치환했던 t에 x2 - 2x를 넣어요. 그리고 나머지 과정을 계속하는 거예요.
처음부터 다시 정리해보죠.
(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)(x - 3)(x + 1) (∵ 두 개씩 묶기)
= (x2 - 2x - 8)(x2 - 2x - 3)
= (t - 8)(t - 3) (∵ x2 - 2x = t로 치환)
= t2 - 11t + 24
= (x2 - 2x)2 - 11(x2 - 2x) + 24 (∵ t = x2 - 2x)
= x4- 4x3 + 4x2 - 11x2 + 22x + 24
= x4 - 4x3- 7x2 + 22x + 24
이 문제의 핵심은 이차항과 일차항을 t로 치환할 수 있게 만드는 거예요. 때로는 이 방법이 통하지 않을 수 있어요. 그때는 이차항과 상수항을 t로 치환해서 (t - x)(t - 2x) 같은 꼴로 나올 수 있게 상수항의 곱이 같아지도록 네 개의 항을 두 개씩 잘 나눠야 합니다.
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곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
광고좀 없애주실수없나요
저도 먹고 살아야죠.
오랜만이에요~~~ 잘 지내시죠~~~ 위쪽 공식은 그나마 기억이 나는데, 아래쪽 파생된 공식은 뭐 외울 엄두가 나질 않는데요...? ㅠㅜ
연습장에 여러 번 써보면 저절로(?) 외워질 거예요. 비슷하지만 서로 다른 부분에 집중해서 외워보세요.
관리자님
수학을 알고싶어서 들어오게되었는데
쉽게 알려주셔서 좋은거 같애요
앞으로도 열심히 하겠습니다!
반갑습니다. 매일매일 조금씩 하시면 수학을 잘 알게 될 거예요.
고1 까지 밖에 없나요
네. 그 이후의 과정은 없어요.
비밀댓글입니다
이런 응원의 댓글에 저도 항상 많은 도움을 받는다고 느껴염^^
제 머리 용량이 차버렸어요
용량을 늘리세요. 포맷하시면 안돼요.
좋으니 사랑해 숴우~
사랑을 시작할 뛔에~~
정말 고마워요 ㅜㅜ
댓글 고마워요 ㅜㅜ
책샀는데 너무 좋아요!
고2부분도 만들생각 없으신지요..ㅠ
생각만 있습니다. 근데 현실로 옮기기에는 자신이 없네요. ㅠㅠ
수학은 이해하는 학문인가요 아니면 외우는 학문인가요?
와 대박
비밀댓글입니다
맨 마지막 줄에
상수항의 곱이 같아지도록 (네 개의 항을 두개씩 나눠야) 한다는 게 무슨 얘기인가요?
(x + 1)(x + 3)(x - 2)(x - 6)
= (x + 1)(x - 6)(x + 3)(x - 2)
= (x^2 - 5x - 6)(x^2 + x - 6)
위는 이차항과 상수항이 같죠? 일차항은 다르고요.
2개씩 짝을 지어서 곱한 결과가 이차항과 상수항이 같아지도록 묶는다는 뜻이에요.
감사합니다!
(2a-3b)^3 은 어떻게 되나요?
곱셈공식 (2)의 두 번째 공식에 대입해서 풀면 나와요.
외우지 말고 전개해도 되죠?
전개해도 되긴 되는데, 공식을 외워서 하면 시간이 절약되죠.
일부러 공식을 외우려고 하지 말고, 그냥 문제풀 때, 연습장에 공식을 한 번씩 쓴 다음에 거기에 대입하는 방법으로 문제를 풀어보세요. 그렇게 문제를 풀 다 보면 어느 순간에 외워져 있을 거예요.
오늘도 감사합니닿ㅎ
내일도요. ㅎ
가끔씩 필요할때마다 들어옵니다.
중3 마무리 잘 하고 고등학교 잘 준비하겠습니다!
고1과정까지는 여기서 함께 공부할 수 있으니 자주 찾아주세요.
정말 좋은 사이트 입니다. 감사합니다
네, 댓글 고맙습니다. ㅎ