명제 p → q에서 가정인 p와 결론인 q는 조건이에요.
명제 p → q가 참이면 p와 q가 그냥 조건이 아니라 이름이 생겨요. 필요조건, 충분조건, 필요충분조건이라는 이름인데, 언제 어떤 경우에 이런 이름으로 부르는지 공부할 거예요.
또, 필요조건, 충분조건, 필요충분조건과 진리집합 사이의 관계도 알아볼거고요.
여기서는 부등식, 수직선과 관련된 문제들도 많이 나오니까 연립부등식, 연립부등식의 풀이했던 내용을 다시 한 번 떠올려보세요.
필요조건, 충분조건, 필요충분조건
명제의 참, 거짓, 반례에서 명제 p → q가 참일 때 기호로 p ⇒ q로 쓴다고 했죠? 이때, 조건 p를 q이기 위한 충분조건, 조건 q를 p이기 위한 필요조건이라고 해요.
화살표가 나가는 가정이 충분조건, 화살표를 받는 결론이 필요조건이죠.
가정 결론
p ⇒ q
P ⊂ Q
충분조건 필요조건
만약에 q → p라면 q는 p이긴 위한 충분조건, p는 q이기 위한 필요조건이에요.
p ⇔ q라면 어떨까요? 화살표는 주는 게 충분조건, 받는 게 필요조건인데, 이때 p와 q는 화살표를 주기도 하면서 받기도 하죠? 그래서 필요조건이면서 충분조건이므로 줄여서 p는 q이기 위한 필요충분조건이라고 해요. 마찬가지로 q도 p이기 위한 필요충분조건이에요.
진리집합
p의 진리집합을 P, q의 진리집합을 Q라고 할 때, p ⇒ q라면 P ⊂ Q에요. q ⇒ p라면 Q ⊂ P죠.
p ⇔ q라면 어떻게 될까요? P ⊂ Q이고, Q ⊂ P에요. 부분집합, 부분집합의 개수 구하기에서 A ⊂ B이고 B ⊂ A면 A = B라고 했죠? 따라서 p ⇔ q이면 P = Q에요.
P ⊂ Q이면 p는 q이기 위한 충분조건
P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건
P = Q이면 p는 q이기 위한 필요충분조건
조건은 필요조건, 충분조건, 필요충분조건 세 가지가 있어요. 이 중에서 필요충분조건은 진리집합이 서로 같은 경우라서 알아보기 쉬워요. 남은 건 충분조건과 필요조건인데, 둘 중 하나만 구별하는 법을 정확하게 알아두세요. 하나만 정확하게 파악하면 나머지 하나는 자동으로 결정되는 거잖아요.
충분조건: 가정, 화살표가 나가는 쪽, 부분집합
필요조건: 결론, 화살표를 받는 쪽, 부분집합을 포함하는 집합
필요충분조건: 충분조건 + 필요조건
두 조건 p: a ≤ x < 5, q: 3 < x ≤ b에서 조건 p가 q이긴 위한 필요조건이고, q는 p이기 위한 충분조건일 때, a, b의 범위를 구하여라.
p가 필요조건, q가 충분조건으로 필요조건인 p가 화살표를 받는 형태인 q ⇒ p이고, 진리집합은 Q ⊂ P에요. 부등식을 수직선에 나타내보면 쉬워요.
3 < x ≤ b가 a ≤ x < 5의 안에 들어가야 하니까 수직선으로 그려보면 위 그림처럼 돼요.
a는 3보다 왼쪽에 있으면 되는데, 3이 되어도 괜찮죠? Q에는 3이 포함되어 있지 않으니까요. 따라서 a ≤ 3이에요.
b는 5보다 왼쪽에 있으면 되는데, 5가 되면 안 돼요. Q에는 5가 들어있는데, P에 5가 들어있지 않으면 Q ⊂ P가 안 되잖아요. b < 5여야 하는데 여기에 3 < x이므로 b도 3보다 커야 해요. 따라서 3 < b < 5
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굿 감사
Good! Thank you!
개념하나 익히구 갑니다 감사합니다~~
하나만 말고 다른 개념도 익히고 가세요.~~
비밀댓글입니다
??
고1교재 구입했어요ㅋ 고2 고3 통합나오면 바로 구매하겠습니다. 수학이 사회에 나오니깐 직장에서도 필수같아요^^ 교육방송보면서 독학하고 기본서는 수학방 교재로 고1학기 거의 마무리 했는데 아주 좋네요. 그때 그당시는 수학이 잼없었는데 요즘 알아가는 재미가 즐거워요
고2 고3 교재는 언제 나올지 몰라요. 아직 시작도 안했거든요. ㅠㅠ
수학 재밌죠? 학교 다닐 때도 재미있었다면 얼마나 좋을까 생각하면 아쉽기도 하고요.
저 진리집합 부분에 5번째줄 오타있는것 같습니다. 제가 잘못본 건가요>>
다섯 번째 줄이면 "P ⊂ Q이면 q는 p이기 위한 필요조건" 이 부분 말씀하시나요?
수직선포함관계 이해하기 어러웟는데 확실히 알고갑니다 늘 고맙습니다~~
이거 좀 헷갈리죠. ㅎ
충분필요조건 이라고 이름을 지엇으면
쉽게 이해할건데 말이죠
그러게요. 순서만 따지면 더 쉽게 이해할 수 있으니까요.
교사입니다. 수업할 때 수학방에서 개념을 설명하는 부분을 항상 숙지하고 수업시간에 잘 활용합니다. 훌륭한 자료를 공유해주셔서 정말 감사합니다. 설명하기 어려운 개념을 명쾌하게 잘 설명되어있어 좋아요..
학생들이 수학을 싫어하지 않도록, 수학을 포기하지 않도록 하는 게 목표라 쉽게 설명하려고 노력하고 있는데 그 점을 좋게 봐주셔서 감사합니다.
우리 온라인, 오프라인에서 함께 노력해요.
진리집합 3번째 줄에 B⊂A 에서 A가 빠졌어요
A 넣었어요. ㅠㅠ