이제부터 본격적으로 도형과 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

우리가 알고 있는 도형들의 정확한 수학적 정의를 알아보고, 그 정의를 이용해서 증명도 해보죠. 증명된 명제는 정리로서 기억해야해요.

증명에 많이 사용되는 정의 중 가장 대표적인 게 삼각형의 합동조건이에요. 이 글에서도 삼각형의 합동조건을 계속 사용할 거니까 한 번 읽어보세요.

도형의 합동, 삼각형의 합동조건

이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질

이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변으로 이루어진 각을 꼭지각이라고 해요. 그리고 꼭지각이 아닌 다른 두 각을 밑각이라고 하고, 꼭지각의 대변을 밑변이라고 해요.

이등변삼각형, 꼭지각, 밑각, 밑변

이등변삼각형의 성질
- 두 밑각의 크기가 같다.
- 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 것인지 대한 설명은 정의에 해당해요. 그리고 이등변삼각형의 성질은 참으로 밝혀진 명제, 즉 정리에 해당하죠. 정의와 정리의 차이를 알 수 있겠죠? 수학의 정의, 정리, 증명

그럼 참으로 밝혀진 명제인 이등변삼각형의 성질을 증명해볼까요. 일단 증명할 때는 가정과 결론, 증명으로 나눠서 해요.

이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같아요. 이걸 가정으로 쓰고, "두 밑각의 크기가 같다"를 결론으로 하면 되네요.

가정: △ABC에서 이다.
결론: ∠B = ∠C이다

이등변삼각형의 성질 - 두 밑각의 크기가 같다.

△ABC에서 꼭지각 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1)    (가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. △ABD ≡ △ACD

따라서 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같죠.     (증명 끝.)

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같고요. 꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 나눈 각은 크기가 같겠죠? 이걸 가정과 결론으로 써보죠.

가정: △ABC에서 , ∠BAD = ∠CAD이다.
결론: , 이다

이등변삼각형의 성질 - 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

(1)    (이등변삼각형, 가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분, 가정)
(3) 는 공통

(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. (4) △ABD ≡ △ACD

대응변인 선분 BD와 선분 CD의 길이는 같죠. (5) 이다

그리고, 대응각인 ∠BDA와 ∠CDA도 같아요. ∠BDA = ∠CDA
그런데 이 크기가 같은 두 각을 더하면 평각인 ∠BDC가 돼요. ∠BDA + ∠CDA = 180° 결국 (6) ∠BDA = ∠CDA = 90°인 거죠.

(4)에 의해 가 되고, (6)에 의해서 가 됩니다.     (증명 끝.)

이등변삼각형이 되는 조건

이등변삼각형이 어떤 삼각형인지 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.

이번에는 반대로 어떤 삼각형이 있는데, 이게 이등변삼각형인지 아닌지 알아보려고 해요. 어떻게 알 수 있을까요?

이등변삼각형의 성질을 거꾸로 하면 돼요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다고 했어요. 이걸 거꾸로 해서 세 내각 중 두 내각의 크기가 같은 삼각형이 이등변삼각형인 거죠.

이등변삼각형이 될 조건 - 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형

이것도 가정과 결론으로 나누어 증명해보죠.

가정: △ABC에서 ∠B = ∠C
결론:

이등변삼각형의 성질 - 두 밑각의 크기가 같다.

△ABC에서 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.

(1) ∠BAD = ∠CAD    (∠A의 이등분)
(2) 는 공통

모든 삼각형 내각의 합은 180°에요. △ABD의 내각의 합과 △ACD의 내각의 합은 같죠.

∠BAD + ∠B + ∠ADB = ∠CAD + ∠C + ∠ADC인데, (1) ∠BAD = ∠CAD와 가정 ∠B = ∠C에 의해서 (3) ∠ADB = ∠ADC가 돼요. 결국 두 삼각형에서 세 각의 크기가 서로 같아요.

(1), (2), (3)에 의해서 △ABD와 △ACD는 한 변의 길이와 그 양끝각이 같은 합동이지요. (4) △ABD ≡ △ACD.

따라서 대응변인 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같아요.     (증명 끝.)

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같다고 표시되어 있네요. 즉 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같아요.

삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, 한 각은 110° 다른 두 같은 x로 크기가 같아요.
x + x + 110 = 180
x = 35(°)

정리해볼까요

이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형

  • 이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.
  • 이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

두 밑각의 크기가 같으면 → 이등변삼각형

정의, 정리, 증명
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직각삼각형의 합동