이제부터 본격적으로 도형과 도형의 성질에 대해서 알아볼 거예요.
우리가 알고 있는 도형들의 정확한 수학적 정의를 알아보고, 그 정의를 이용해서 증명도 해보죠. 증명된 명제는 정리로서 기억해야해요.
증명에 많이 사용되는 정의 중 가장 대표적인 게 삼각형의 합동조건이에요. 이 글에서도 삼각형의 합동조건을 계속 사용할 거니까 한 번 읽어보세요.
이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질
이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요. 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변으로 이루어진 각을 꼭지각이라고 해요. 그리고 꼭지각이 아닌 다른 두 각을 밑각이라고 하고, 꼭지각의 대변을 밑변이라고 해요.
이등변삼각형의 성질
- 두 밑각의 크기가 같다.
- 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 것인지 대한 설명은 정의에 해당해요. 그리고 이등변삼각형의 성질은 참으로 밝혀진 명제, 즉 정리에 해당하죠. 정의와 정리의 차이를 알 수 있겠죠? 수학의 정의, 정리, 증명
그럼 참으로 밝혀진 명제인 이등변삼각형의 성질을 증명해볼까요. 일단 증명할 때는 가정과 결론, 증명으로 나눠서 해요.
이등변삼각형에서 두 밑각의 크기는 같다.
이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같아요. 이걸 가정으로 쓰고, "두 밑각의 크기가 같다"를 결론으로 하면 되네요.
가정: △ABC에서 이다.
결론: ∠B = ∠C이다
△ABC에서 꼭지각 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.
(1) (가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분)
(3) 는 공통
(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. △ABD ≡ △ACD
따라서 대응각인 ∠B와 ∠C는 크기가 같죠. (증명 끝.)
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.
이등변삼각형이니까 두 변의 길이가 같고요. 꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 나눈 각은 크기가 같겠죠? 이걸 가정과 결론으로 써보죠.
가정: △ABC에서 , ∠BAD = ∠CAD이다.
결론: ,
이다
(1) (이등변삼각형, 가정)
(2) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분, 가정)
(3) 는 공통
(1), (2), (3)에서 △ABD와 △ACD는 두 변의 길이와 그 끼인각이 같은 합동인 삼각형이에요. (4) △ABD ≡ △ACD
대응변인 선분 BD와 선분 CD의 길이는 같죠. (5) 이다
그리고, 대응각인 ∠BDA와 ∠CDA도 같아요. ∠BDA = ∠CDA
그런데 이 크기가 같은 두 각을 더하면 평각인 ∠BDC가 돼요. ∠BDA + ∠CDA = 180° 결국 (6) ∠BDA = ∠CDA = 90°인 거죠.
(4)에 의해 가 되고, (6)에 의해서
가 됩니다. (증명 끝.)
이등변삼각형이 되는 조건
이등변삼각형이 어떤 삼각형인지 어떤 성질이 있는지 알아봤어요.
이번에는 반대로 어떤 삼각형이 있는데, 이게 이등변삼각형인지 아닌지 알아보려고 해요. 어떻게 알 수 있을까요?
이등변삼각형의 성질을 거꾸로 하면 돼요. 이등변삼각형은 두 밑각의 크기가 같다고 했어요. 이걸 거꾸로 해서 세 내각 중 두 내각의 크기가 같은 삼각형이 이등변삼각형인 거죠.
이등변삼각형이 될 조건 - 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형
이것도 가정과 결론으로 나누어 증명해보죠.
가정: △ABC에서 ∠B = ∠C
결론:
△ABC에서 ∠A의 각의 이등분선을 긋고 밑변과 만나는 점을 점 D라고 해보죠. 그러면 △ABD와 △ACD로 나뉘어요.
(1) ∠BAD = ∠CAD (∠A의 이등분)
(2) 는 공통
모든 삼각형 내각의 합은 180°에요. △ABD의 내각의 합과 △ACD의 내각의 합은 같죠.
∠BAD + ∠B + ∠ADB = ∠CAD + ∠C + ∠ADC인데, (1) ∠BAD = ∠CAD와 가정 ∠B = ∠C에 의해서 (3) ∠ADB = ∠ADC가 돼요. 결국 두 삼각형에서 세 각의 크기가 서로 같아요.
(1), (2), (3)에 의해서 △ABD와 △ACD는 한 변의 길이와 그 양끝각이 같은 합동이지요. (4) △ABD ≡ △ACD.
따라서 대응변인 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같아요. (증명 끝.)
다음 그림에서 x를 구하여라.
그림에 보면 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같다고 표시되어 있네요. 즉 이등변삼각형이에요. 이등변삼각형에서 밑각의 크기는 서로 같아요.
삼각형 내각의 크기의 합은 180°인데, 한 각은 110° 다른 두 같은 x로 크기가 같아요.
x + x + 110 = 180
x = 35(°)
당신의수학이등변삼각형잘봤어용!^^*
당신?????
이등변 삼각형이 될 조건 증명에서
삼각형 내각의 합 쓰신 식에서
△CAD + ∠C = ∠ADC라고 써있어여
+를 =로 썼네요.
세번째줄
배워볼꺼에요
=> 배워볼 거예요.
(실제로 맞춤법이 틀리다고 나온답니다.)
이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. 의 증명에서요
넷째 줄
결론:에 밑변을 이등분한 건 빠졌어요. <-(선분 BD = 선분 CD)
제일 중요한 결론이 잘못써져있네요.
꼭지각의 이등분선이라는 것은 꼭지각의 크기를 2로 나누었다는 것인가요>?
이등분선은 둘로 똑같이 나누는 선이잖아요.
각의 이등분선은 각을 똑같이 둘로 나눴다는 뜻이죠.
두밑각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형임을 증명하는 과정에서 각A의 이등분선과 밑변BC가 만나는점을 D라하면 삼각형 ABD와 삼각형ACD에서 선분AB=선분AC/각BAD=각CAD/각B=각C
삼각형 ABD는 삼각형ACD와 합동(ASA합동)
[선분AB=선분AC]
이렇게나타낼수도있느건가요?
AB = AC인 걸 증명해야하는데 증명 과정에 AB = AC가 사용되었네요. 그러니까 적어주신 방법으로는 증명할 수 없어요.
그런데요,,,, 이등변삼각형의 조건에서 두밑각의 크기가 같으면 이등변 삼각형이다; 이것을 증명했잖아요..... 근데 이등변 삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다, 이거는 왜 될수 없는지 알려주세요~~
안된다는 얘기는 없어요.
다만, 그런 상황(한 각의 이등분선이 대변을 수직이등분하는 경우)가 흔지 않기때문에 다루지 않을 뿐이에요.
이등변 삼각형의 경우에는 꼭지각의 이등분선이 항상 대변을 수직이등분하지 않나요? 이등변 삼각형의 경우라면 그것이 성질이 될 수 있지 않나요?
본문의 내용이 그 내용이에요.
다시 책을 보다가 2학년 통합 152페이지 이등변삼각형의 성질을 증명하는 내용에 많은부분이 잘못된것같아 여기 와서 다시 확인했습니다
보니까 도형의 성질 시작 이후부터 책과는 많이 다르더군요, 웹페이지 내용을 살펴보고 맞춰 제 책의 내용을 수정했습니다.
지난번에 원고 확인해보시라고 말씀드린건 저 말고 다른분들께 도움을 드리고자하는 의도였지 주인장님께 독촉이나 재촉같은걸 하려고 한건 아니었습니다 뭔가 기분상하신것이 있다면 죄송합니다 그런 의도는 없었습니다
답변적어주셨듯이 책의 원고를 수정, 반영하여 다음 출판시 반영되도록 한다는것은 여러 과정을 거쳐야 하는것으로 쉬운일이 아닐것입니다
제 생각에는, 어떤 책의 저자이건 처음부터 완벽한 서적을 내는것은 거의 불가능하다고 봅니다. 사람이 하는일이고, 제대로 썼다고 하더라도 편집과정에서 실수로 오탈자가 발생할수도 있는것이니까요
이런 문제들을 모두 예측하거나 방지하는것은 거의 불가능할것입니다.
보통, 이 문제를 해결하기 위해 출판사 홈페이지나, 책의 저자의 홈페이지, 또는 번역서적의 경우 번역자의 홈페이지같은곳에서, 오/탈자와 올바른 내용을 따로 한군데 모아서 표기해둔 페이지를 제공하곤 합니다.
수학방 주인장님도 이런것을 도입하시면 어떨까 합니다
물론 그런경우 책에서도 오/탈자 확인을 위해 홈페이지를 참조해달라는 이야기를 해주시면 더 좋겠지요
이상입니다 좋은하루 되세요
아니요. 기분이 나쁘거나 하진 않습니다. 다만, 제가 고민하고 있는 부분을 정확하게 찔려서(?) 아픈 거죠. ㅎㅎ
오탈자를 수정해야하는 것이나 그 과정이나 이런 것들을 미리 계획했었다면 좋았을텐데 그렇지 못한 부분때문에 일이 쉽지 않더라고요. 처음부터 꼼꼼하게 진행하지 못해서 이리저리 일이 꼬이고 있어요. ㅠㅠ
정오표는 만들도록 하겠습니다.
[오타신고1]
[이등변삼각형의 정의, 이등변삼각형의 성질] 단원 노란박스 아래문장에 "이등변삼각형이 무엇인지, 꼭지각과 밑각, 밑변은 어떤 걸 가리키는 (것이지) 설명한 것은 정의에 해당해요."
[오타신고2]
[이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.] 단원 바로 아래 문장에 "꼭지각의 이등분선이라고 했으니까 둘로 (나는) 각은 크기가 같겠죠?"
[오타신고3]
[이등변삼각형이 되는 조건] 단원 3번째 문장 마지막에 "삼각형이 (이등분삼각형인) 거죠"
1,2번 각각 괄호부분이 어색한 느낌이어서 오타신고해요.
3번은 문장자체는 어색하지 않은데 문맥상 괄호안에 이등변삼각형이 들어가야 되는것이 아닌가 라는 생각이 들어서 오타신고해요.
3. 이등변삼각형인데, 이등분삼각형이라고 되어 있네요. ㅠㅠ
1. 2번도 다 수정했습니다.
다른데에서 또 문맥상 어색한 부분이나 오타 있으면 댓글로 알려주세요.
항상 잘 보고 있습니다 ㅠㅠ
이등변 삼각형이 되는 조건
1. 두 변의 길이가 같다.
2. 두 내각의 크기가 같다.
3. 꼭지각의 이등분선이 밑변을 수직이등분 한다.
이렇게 세 개를 조건으로 해야 더 정확하지 않을까요?
평행사변형이 되는 조건에 보면, 정의도 들어가니까요.
칵칵칵칵
항상 잘보고있어요ㅠㅠ 정말 감사합니다
고등수학 하다가 빈틈 생길때 틈틈이 검색해서 보고있어요♥
감사합니다
SAS 합동은 뭐죠? 분명히 배웠던것같은데 기억이 안나요ㅠ
두변의 길이가 같고 그 두변이 가지고 있는 끼인각의 크기가 같은거 아닌가요?ㅜㅜ
양끝각이 뭐에용
홀라리껌
사랑해요
힘드시겠다~~