명제에 이어 정의증명, 정리에 관한 내용이에요.

이 단원에서는 새로운 내용을 배우기보다는 기존에 알고 있는 용어들을 이용할 거예요. 비슷한 용어들이 나오고 그 뜻의 차이가 크지 않아서 헷갈릴 수 있으니까 이 기회에 그 뜻을 정확하게 정리하세요. 특히 도형과 관련된 내용이 많이 나오니까 1학년 때 배웠던 도형 관련 내용들을 쭉 한 번 읽어보는 것도 좋아요.

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정의, 정리, 증명

정의는 용어의 뜻을 명확하게 정한 것으로 용어의 뜻에 대한 약속이에요. 약속이므로 증명할 필요가 없어요. 약속은 참, 거짓의 문제가 아니니까요.

방정식이라는 용어가 있어요. 식에 미지수가 있어서 이 미지수가 특정한 값을 가질 때만 참이 되는 등식을 말하죠. 이건 그냥 그런 특징이 있는 식을 방정식이라고 부르기로 사람들끼리 약속한 거예요. 다른 이름으로 약속했다면 그렇게 부르면 되는 거예요.

증명은 실험이나 경험에 따르지 않고, 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것을 말해요.

어떤 가정이 있다면 그 가정이 진짜인지 증거를 대는 거죠. 그 증거에 잘 맞으면 참이고, 증거에 맞지 않으면 거짓이 되는 거예요.

정리는 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것으로 여러 개가 있어요. 정리는 원래는 가정이었는데, 증명을 통해서 참으로 밝혀진 걸 말해요. 이 정리를 이용해서 다른 명제의 참, 거짓을 증명하게 되는 거죠.

정의와 정리는 달라요. 정의는 그냥 약속이라서 증명을 할 필요가 없어요. 물론 증명할 수도 없지만요. 정리는 증명을 통해서 그것이 참임을 밝혀야 해요. 그래야 정리로서 가치를 인정받을 수 있죠.

도형의 정의

아래는 다각형 중에서 삼각형과 사각형의 정의를 나타낸 거예요.

삼각형: 세 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
정삼각형: 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형
이등변삼각형: 두 변의 길이가 같은 삼각형
직각삼각형: 한 내각의 크기가 직각인 삼각형
예각삼각형: 세 내각의 크기가 모두 예각인 삼각형
둔각삼각형: 한 내각의 크기가 둔각인 삼각형

사각형: 네 개의 선분으로 둘러싸인 다각형
직사각형: 네 각의 크기가 모두 같은 사각형
마름모: 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
정사각형: 네 내각의 크기와 네 변의 길이가 모두 같은 사각형
평행사변형: 두 쌍의 대변이 각각 평행인 사각형
사다리꼴: 한 쌍의 대변이 평행인 사각형
등변사다리꼴: 한 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴

증명에서 자주 사용되는 정리

평행한 두 직선과 한 직선이 만날 때 → 동위각, 엇각의 크기가 같다
평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각

삼각형의 합동 → 대응변의 길이와 대응각의 크기는 서로 같다
도형의 합동, 삼각형의 합동조건

두 직선 l, m이 아래 그림처럼 한 점 O에서 만난다. 일 때 다음을 증명하여라.
<
(1) ∠AOB = ∠COD
(2)

(1)에서 ∠AOC는 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠AOC = ∠AOD + ∠COD이고요.
∠BOD도 평각이라서 180°에요. 그리고 ∠BOD = ∠AOB + ∠AOD이고요.
∠AOD + ∠COD = ∠AOB + ∠AOD = 180° 가 되는 거죠.
양변의 ∠AOD를 없애주면 ∠COD = ∠AOB가 됩니다.

사실 (1)번은 새로운 증명이 아니라 맞꼭지각, 동위각, 엇각에 나온 "두 직선이 한 점에서 만날 때 맞꼭지각의 크기는 같다."는 걸 한 번 더 증명해 본 거예요.

(2)번은 삼각형의 합동을 이용할 거예요. 점 A와 점 B에 선을 그으면 △AOB가 되고, 점 C와 점 D에 선을 그으면 △COD가 돼요. 두 삼각형에서 이고, ∠AOB = ∠COD에요. 즉 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각의 크기가 가죠? 두 삼각형은 합동이에요. △AOB ≡ △COD
두 삼각형의 합동이니까 대응변의 길이는 같고, 대응각의 크기도 같아요.
따라서 서로 대응변인 변 AB와 변 CD의 길이는 같아요.

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정리해볼까요

정의, 증명, 정리

  • 정의: 용어의 뜻을 정한 것
  • 증명: 정의 또는 이미 옳다고 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 보이는 것
  • 정리: 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것
 
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