수학방

초등학교에서 분수를 처음 공부할 때를 생각해보세요. 피자 1판을 8조각으로 나누는 걸 예시로 들었던 기억나나요?

$$1 \div 8 = \frac{1}{8}$$

자연수를 나눠서 소수로 표현하는 방법도 공부했어요.

$$1 \div 8 = 0.125$$

1을 8로 나누어 분수로 표현한 값와 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{8} = 0.125$

이렇게 나눈 조각이 8개 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠?

$$\frac{1}{8} \times 8 = 1\\0.125 \times 8 = 1$$

분수로 표현한 $\frac{1}{8}$에 8을 곱한 것도 소수로 표현한 0.125에 8을 곱한 것도 둘 다 1로 같아요.

$$\frac{1}{8} \times 8 = 0.125 \times 8$$

이번에는 피자를 9조각으로 나눴다고 해보죠.

$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}$$

여기서도 마찬가지로 1을 9로 나누어 분수로 표현한 값과 소수로 표현한 값은 같아요. $\frac{1}{9} = 0.\dot{1}$

이렇게 나눈 조각 9개가 있으면 다시 1판을 만들 수 있죠?

$$\frac{1}{9} \times 9 = 1\\0.\dot{1} \times 9 = 0.999\dots = 0.\dot{9}$$

$\frac{1}{8}$에 8을 곱한 값과 0.125에 8을 곱한 값이 같은 것처럼, 분수로 표현한 $\frac{1}{9}$에 9를 곱한 값이나 소수로 표현한 $0.\dot{1}$에 9를 곱한 값이 같아요.

정리해보죠.

$$1 \div 9 = \frac{1}{9}\\ 1 \div 9 = 0.111\dots = 0.\dot{1}\\ \downarrow \\ \frac{1}{9} = 0.\dot{1}\\ \downarrow\\\frac{1}{9} \times 9 = 0.\dot{1} \times 9 \\\downarrow \\ 1 = 0.\dot{9}$$

결국 $1 = 0.\dot{9}$인 걸 알 수 있어요.

[중등수학/중2 수학] - 순환소수를 분수로 나타내기

삼각형의 중선에 이어서 삼각형의 무게중심이라는 걸 공부합니다. 삼각형의 내심, 외심과 달리 삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유에 대한 내용이 빠져있어서 이 글에서 추가로 설명합니다. 삼각형의 외심, 내심은 합동인 삼각형을 이용해서 증명했는데, 삼각형의 중선이 한 점에서 만나 삼각형의 무게중심이 되는 이유는 닮음인 삼각형을 이용해서 증명합니다.

이 글에는 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유만 설명되어 있으므로 삼각형의 중선과 삼각형의 무게중심에 대한 더 자세한 내용은 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선을 참고하세요.

삼각형의 중선이 한 점에서 만나는 이유를 이해하려면 삼각형의 중점 연결 정리에 대해 알고 있어야 합니다. 삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유를 증명하는 내용은 무게중심의 성질을 설명하는 내용과 거의 비슷하니까 잘 이해할 수 있을 거예요.

삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유

△ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 E라고 해보죠. 점 B와 점 E를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 M이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△MEF와 △MBC를 보세요.

∠MEF = ∠MBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠MFE = ∠MCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △MEF ∽와 △MBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 M은 를 2 : 1로 나누는 점이에요. (※ 고등학교에 가면 선분의 내분점이라는 걸 공부하는데, 여기서는 그냥 선분을 나누는 점이라는 정도만 알고 있으면 됩니다.)

이번에는 △ABC에서 의 중점을 점 F, 의 중점을 점 D라고 해보죠. 점 A와 점 D를 연결한 와 점 C와 점 F를 연결한 가 만나는 점을 점 N이라고 하고요.

와 는 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 따라 가 됩니다.

△NDF와 △NAC를 보세요.

∠NDF = ∠NAC (이므로 평행선에서 엇각)
∠NFD = ∠NCA (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △NDF ∽와 △NAC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠. 따라서 점 N은 를 2 : 1로 나누는 점이에요.

를 2 : 1로 나누는 점이 점 M과 점 N 두 개가 있죠? 이 두 점 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

중점은 선분의 두 점 사이의 거리를 절반으로 나누는 점이에요. 이때 두 점과 중점 사이의 거리의 비는 1 : 1이죠? 한 선분에서 중점은 하나밖에 없죠? 그럼 선분의 두 점 사이의 거리를 2 : 1로 나누는 점은 몇 개가 있을까요? 이것도 마찬가지로 하나밖에 없어요. 따라서 를 2 : 1로 나누는 점인 점 M과 점 N은 같은 점이죠.

와 가 한 점 M에서 만나고, 와 가 한 점 N에서 만나는 데 이 두 점 M과 N이 서로 같은 점이므로 삼각형 △ABC의 세 중선 , , 는 한 점에서 만나요.

그리고 삼각형의 세 중선이 만나는 점을 삼각형의 무게중심 G라고 하는데, 삼각형의 무게중심과 삼각형의 중선에 더 자세히 소개되어 있습니다.

삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다.

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연립방정식의 활용 두 번째예요. 보통 모든 단원 마지막에 나오는 활용 문제의 유형은 사실 거기서 거기예요. 식의 종류만 달라지죠. 일차방정식, 연립방정식 이렇게요.

하지만 연립방정식에만 나오는 특이한 유형이 있는데, 바로 흐르는 강물에서 배의 속력에 대한 문제예요. 일반적인 속력이나 소금물 농도 문제는 자주 다루니까 복습을 하는 효과가 있어서 잊어버리는 경우가 별로 없는데, 흐르는 강물에서 배의 속력 문제는 연립방정식의 풀이에서만 나오는 유형이라 잊어버리기 쉬운 유형이에요.

하지만 한가지 간단한 팁만 알고 있으면 일반적인 속력 문제와 다르지 않으니까 쉽게 풀 수 있어요. 여기서 알려주는 이 팁을 꼭 기억하세요.

연립방정식의 활용 두 번째

흐르는 강물에서 배의 속력 문제

배의 속력은 원래 정지된 호수 위를 움직일 때의 속력이에요. 하지만 강물은 흐르죠? 그래서 강물이 흐르는 경우에는 따로 이야기하지 않아도 강물의 속력까지 고려해줘야 해요. 강물은 아래쪽으로 흐르니까 강을 거슬러 올라갈 때는 강물의 속력을 빼주고 강을 내려올 때는 강물의 속력을 더해줘야 배가 실제로 움직이는 속력이 나와요. 문제만 읽어서는 찾기 어려운 내용이죠.

• 배가 강물을 거슬러 올라갈 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 - 강물의 속력
• 배가 강을 따라 내려올 때: 배의 실제 속력 = 배의 속력 + 강물의 속력

길이가 10km인 강을 배로 거슬러 올라갈 때는 5시간, 내려올 때는 2시간이 걸렸다. 배의 속력을 구하여라.

배의 속력을 구하라고 했는데, 배의 속력만 생각해서는 이 문제를 풀 수 없어요. 강물도 움직인다는 것을 고려해야 해요.

배의 속력을 x, 강물의 속력을 y라고 하죠.

강을 거슬러 올라갈 때 배의 실제 속력 = x - y
강을 내려올 때의 배의 실제 속력 = x + y

강을 올라갈 때와 내려올 때의 이동거리는 강의 길이와 같아요. 둘 다 10km

니까 공식에 대입하면 연립방정식을 세울 수 있어요.

① + ②
2x = 7
x = 3.5
y = 1.5

배의 속력은 시속 3.5km, 강물의 속력은 시속 1.5km네요.

두 자리 수에 관한 문제

두 자리 수에 관한 문제에서는 10의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y로 놓고 풀면 돼요. 조심해야 할 건 실제로 구하는 수는 10 × x + y라는 거예요.

각 자리의 숫자의 합이 15인 두 자리 자연수가 있다. 십의 자리와 일의 자리를 바꾼 수가 처음의 수보다 9가 클 때 처음 수를 구하여라.

십의 자리 숫자를 x, 일의 자리 숫자를 y라고 할 때 처음 수는 10x + y에요.

처음 수의 두 자리의 숫자의 합이 15라고 했으니까 x + y = 15

십의 자리와 일의 자리를 바꾼 숫자는 10y + x인데 이게 처음 수보다 9가 크다고 했어요.
10y + x = 10x + y + 9
x - y = -1

연립방정식이 세워졌죠?

① + ②
2x = 14
x = 7
y = 8

처음 수는 10x + y = 78이네요.

이 외에도 나이에 관한 문제(몇 년 후 나이가 OO배가 된다는 형식), 비용에 관한 문제(어른은 입장료 10,000원 어린이는 5,000원일 때 총 요금이 OO원, 어른 몇 명?, 어린이 몇 명?) 등 여러 형태가 나옵니다. 위에서 얘기한 유형의 문제에 비해서는 비교적 쉽다고 할 수 있죠.

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인터넷에서 쉬운 수학 문제 풀이법을 봤어요. 정말 열심히 풀었더라고요.

그래서 그 노력이 너무나 가상하여 저도 한 번 풀어봤어요. 주사위를 이용한 경우의 수 문제고요 원본의 풀이법과 조금 색다른(?) 방법으로 풀어봤습니다.

너무 꼼수를 부린 게 아닌가 해서 사진 속 풀이를 한 학생에게 미안하기도 하네요. 제가 푸는 방법이 꼭 옳은 건 아니에요. 풀이과정만 정확하다면 어떤 방법으로 풀어도 상관없겠죠? 여러분들도 한 번 풀어보세요.

아주 쉬운 경우의 수 문제

사진 속의 학생은 모든 경우의 수를 다 쓰고, 그 수를 세었군요.

세 주사위 A, B, C를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 곱이 짝수인 경우의 수를 구하시오.

세 수를 곱해서 짝수가 되는 경우의 수를 구하는 문제에요. 이 때 세 수는 1 ~ 6까지의 자연수죠. 순서쌍으로 몇 개만 써보죠.

(1, 1, 1) = 1
(1, 1, 2) = 2
(1, 1, 3) = 3
(1, 1, 4) = 4

(6, 2, 1) = 12
(6, 2, 2) = 24
(6, 2, 3) = 36
(6, 2, 4) = 48

해보니까 어떤 특징이 보이나요?

(1, 1, 1) (1, 1, 3) 처럼 세 수가 모두 홀수이면 그 곱은 홀수에요.
(1, 1, 2) (1, 1, 4) 처럼 세 수중 하나만 짝수여도 그 곱은 짝수네요.
(6, 2, 1) (6, 2, 3) 처럼 두 수만 짝수여도 그 곱이 짝수고요.
(6, 2, 2) (6, 2, 4) 처럼 세 수가 모두 짝수여도 그 곱은 짝수네요.

결국 구하는 건 하나 이상의 수가 짝수인 경우에요. 이걸 구하려면 어떻게 해야할까요? 막막하죠? 그러니까 반대로 생각해보기로 해요.

위에서 세 수가 다 홀수이면 그 곱이 홀수죠? 그 외에는 전부 짝수잖아요. 그래서 전체 경우의 수에서 곱이 홀수인 경우의 수를 빼서 구하는 거지요.

(세 수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수의 곱이 홀수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세 수가 모두 홀수인 경우의 수)

주사위를 한 개 던졌을 때 나올 수 있는 경우의 수는 6가지이고, 그 중 3개가 홀수에요. A, B, C 세 개의 주사위를 던지는 사건은 동시에 일어나니까 곱의 법칙을 적용해야겠죠?

전체 경우의 수 = 6 × 6 × 6 = 216
세 주사위의 수가 모두 홀수인 경우의 수 = 3 × 3 × 3 = 27

(세수의 곱이 짝수인 경우의 수)
= (전체 경우의 수) - (세수가 모두 홀수인 경우의 수)
= 216 - 27
= 189

답은 189에요.

사진속에 답은 안써져 있지만 동그라미가 쳐져있으니 답을 정확히 구했나 봅니다. 저 학생은 수학은 열심히 노력하면 되는 거라는 걸 보여주는 군요. 여러분들도 포기하지 말고 끝까지 도전해 보세요.

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곰셈공식의 변형은 곱셈공식과 등식의 변형을 하나로 합친 내용이에요.

곱셈공식은 다섯 가지가 있었는데, 모두 외우고 있죠? 필수공식이니까 반드시 외워야 해요. 그리고 등식의 변형에서 가장 기본이 되는 건 이항이었어요. 이 두 가지만 잘 알고 있으면 이번 글은 비교적 쉽게 넘어갈 수 있는 내용이에요.

곱셈공식의 모양을 바꾸면 새로운 공식이 나오는데, 외우면 좋아요. 하지만 헷갈려서 외우기가 어렵다면 외우지 않아도 돼요. 단 원리는 꼭 이해해야 하고, 곱셈공식을 변형할 수 있어야 해요.

곱셈공식의 변형

곱셈공식의 변형 - 제곱의 합

곱셈공식(완전제곱식, 합차공식 외)은 총 다섯 가지가 있었는데, 그중 완전제곱식 두 가지 있었죠?

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

이 두 공식의 우변에서 2ab를 이항해서 모양을 바꿀 거예요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² - 2ab = a² + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a - b)² + 2ab = a² + b²

첫 번째 곱셈공식은 두 수의 합(a + b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 이루어져 있어요. 두 번째 곱셈공식은 두 수의 차(a - b), 두 수의 곱(ab), 각각을 제곱한 것의 합(a² + b²)으로 되어 있고요. 그러니까 두 수의 합/차, 곱, 제곱한 것의 합 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있는 거죠. 두 수가 무엇인지는 구할 필요가 없어요.

a² + b² = (a + b)² - 2ab
           = (a - b)² + 2ab

곱셈공식의 변형 공식은 외우면 좋아요. 하지만 외워지지 않는다면 굳이 외우지 말고, 변형하는 방법만 알아두세요. 문제 푸는 데 전혀 지장이 없으니까요.

변형된 곱셈공식을 이용해서 문제를 풀 때는 문제에서 구하라고 하는 것과 문제에서 주어진 것들이 들어있는 공식을 사용해야 해요. x + y를 구하라고 하는 문제에서 엉뚱하게 (x - y)가 들어있는 공식을 사용해서는 안 되겠죠?

어떤 두 수 x, y의 합이 5이고, 곱이 10일 때 x² + y²을 구하여라.

합과 곱을 주고 제곱한 것의 합을 구하는 문제예요. 세 가지가 들어있는 공식은 (a + b)² = a²+ 2ab + b²이네요. 각 자리에 수를 대입해볼까요?

5² = x² + 20 + y²
x² + y² = 25 - 20
x² + y² = 5

곱셈공식의 변형 - 합의 제곱, 차의 제곱

변형된 곱셈 공식을 보면 둘 다 좌변이 a² + b²예요. 그러니까 두 공식의 우변을 서로 같다고 놓을 수도 있겠죠? 그런 다음 2ab를 이항해보죠.

(a + b)² - 2ab = (a - b)² + 2ab
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

합의 제곱, 차의 제곱, 두 수의 곱 중 두 가지를 알면 나머지를 구할 수 있는 공식이에요. 두 수가 어떤 수인지 몰라도 상관없는 거죠. 두 수의 합이 아니라 합의 제곱, 두 수의 차가 아니라 차의 제곱이라는 걸 주의하세요.

새로운 공식들이 만들어졌어요. 외우면 좋겠지만 외우지 못하겠다면 변형하는 방법을 잘 이해하면 돼요.

x + y = 4, x² + y² = 10일 때 다음을 구하여라.
(1) xy
(2) (x - y)²

두 수의 합과 제곱의 합이 주어졌어요. 두 가지가 들어있는 공식은 (x + y)² = x² + 2xy + y²이에요. 여기서 모르는 xy를 구할 수 있어요.

(1) 4² = 10 + 2xy
2xy = 6
xy = 3

(2)는 차의 제곱을 구하라고 했어요. 차의 제곱이 들어있는 공식은 (x - y)² = x² - 2xy + y²이죠. 대입하면
(x - y)² = 10 - 2 × 3
(x - y)² = 10 - 6
(x - y)² = 4

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등식의 변형

등식의 변형은 등식의 성질과 이항을 이용해서 등식의 모양을 바꾸는 걸 말해요. 이항이라는 게 어차피 등식의 성질을 응용한 것이니까 등식의 성질만 잘 알고 있어도 되죠.

1학년 때 해봤던 대입도 다시 공부할 거니까 기억나지 않는다면 대입, 식의 값을 얼른 읽어보고 오세요.

이 글에서는 한 문자에 대하여와 한 문자에 대한 식을 공부할 건데, ~ 대하여와 ~ 대한 식이라는 글자에 따라 의미가 엄청나게 달라지니까 잘 구별해야 합니다.

등식의 변형을 잘 이용하면 거리, 속력, 시간처럼 같은 내용으로 이루어진 모양이 비슷한 공식도 쉽게 외울 수 있어서 상당히 도움이 많이 되는 내용이에요.

등식의 변형

식의 대입

1학년 때 대입과 식의 값을 공부했어요. 대입은 대신 넣는 거고, 식의 값은 문자에 특정한 값을 대입해서 얻은 결과를 말해요. a = 3을 a + 2에 대입하면 3 + 2 = 5라는 식의 값을 얻었죠?

여기서 공부할 대입은 식의 문자에 일정한 값을 대입하는데, 대입하는 값이 숫자가 아니라 다항식이에요.

x = 3a + 5를 2x + 3에 대입해보죠. 대입하면 x를 3a + 5로 바꾸는 거예요.

2x + 3
= 2(3a + 5) + 3      ∵ 식의 대입
= 6a + 10 + 3         ∵ 분배법칙
= 6a + 13             ∵ 식의 값

식을 대입할 때는 괄호를 꼭 넣어야 해요. 만약 위의 계산 과정에서 괄호를 넣지 않는다면 어떻게 될까요?

2x + 3
= 2 × 3a + 5 + 3
= 6a + 8

괄호를 있을 때와 괄호가 없을 때의 식의 값이 달라지죠? 괄호를 넣지 않으면 답을 틀리게 돼요.

한 문자에 대하여

"한 문자에 대하여"와 "한 문자에 관하여"는 같은 말이라는 걸 미리 얘기해 둘께요.

일차방정식을 풀 때 좌변에는 x가 있는 항, 우변에는 상수항이 오도록 이항했죠? 그리고 마지막에 x의 계수로 양변을 나눠줬어요. 이렇게 하는 걸 문자 x에 대하여 푼다고 해요.

x에 대하여 푼다는 건 좌변에는 x만 남기고 그 이외의 문자와 숫자들은 모두 우변으로 이항하는 거예요. 만약에 y에 대하여 푼다고 한다면 y가 있는 항을 좌변, 그 외의 항을 우변으로 이항하는 거고요.

x에 대하여 푼다. → x = (x가 없는 항) + 상수항
y에 대하여 푼다. → y = (y가 없는 항) + 상수항

이때 좌변에 있는 문자의 계수는 1이 되어야 해요. 또 정해진 문자를 제외한 모든 문자는 숫자 취급해요.
2x = 4y + 2 (X)
x = 2y + 1 (O)

첫 번째는 x의 계수가 2라서 틀린 거고, 세 번째는 x의 계수가 y라서 틀렸어요. 양변을 각각 2와 y로 나눠준 두 번째, 네 번째 식이 맞아요.

한 문자에 대하여 풀 때는 등식의 성질을 이용해요.

1. 해당 문자가 들어있는 항은 좌변으로, 나머지 항은 모두 우변으로 이항
2. 해당 문자의 계수로 양변을 나눈다.

x + 2y - 4 = 10을 x에 대하여 풀어보죠. x가 있는 항만 좌변, x가 없는 항은 우변으로 이항해요.

x + 2y - 4 = 10
x = -2y + 4 + 10
x = -2y + 14

다음 식을 a에 대하여 풀어라.
(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
(2) 2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8

a에 대하여 풀라고 했으니 a = (a가 없는 항)의 꼴이 되어야 해요.

(1) 3a - 2b = 6a + b - 3
3a - 6a = b - 3 + 2b
-3a = 3b - 3
a = -b + 1

(2)는 괄호가 있으니 분배법칙으로 먼저 괄호를 풀어야 해요.
2(a + 3b) - 3(2a - b) = b + 8
2a + 6b - 6a + 3b = b + 8
-4a + 9b = b + 8
-4a = b + 8 - 9b
-4a = -8b + 8
a = 2b - 2

윗변의 길이가 a, 밑변의 길이가 b, 높이가 h인 사다리꼴의 넓이를 S라고 할 때, a, b, h, S의 관계식을 높이 h에 대하여 풀어라.

높이 h에 대하여 풀면 h = (……………)의 꼴이니까 h는 좌변으로, h가 아닌 다른 문자는 모두 우변으로 보내야 해요. 넓이 식을 써보면 문자가 계수처럼 되어있는데, 여기서 h가 아닌 문자는 모두 숫자 취급해서 처리합니다.

참고로 는 좌변에 S만 있으니까 S에 대하여 풀어서 나타낸 거예요.

거리, 속력, 시간에 관한 공식은 세 가지가 있어요. 세 개를 외우는 건 정말 헷갈려요. 이럴 때는 공식을 하나만 외우세요. 거리를 s, 시간을 t, 속력을 v라고 할게요.

만 외웠다고 해보죠.

그럼 거리 s는 어떻게 구하나요? 위 식을 s에 대하여 풀면 돼요. 위 식의 양변에 t를 곱해보면 vt = s가 되네요.

이번에는 시간 t를 구해보죠. t에 대하여 풀면 되겠죠? vt = s에서 양변을 v로 나눠주면 t = s ÷ v가 돼요.

이뿐만 아니라 소금물의 농도 구하는 공식도 둘 중 하나만 외우면 같은 방법으로 다른 값을 구하는 공식을 만들어 낼 수 있어요. 헷갈리는 공식도 다 외우면 좋지만, 굳이 헷갈리면서까지 외우기보다는 하나만 완전히 외우고 나머지는 이런 방법으로 구할 수 있다는 것도 알아두세요.

한 문자에 대한 식

"한 문자에 대한"과 "한 문자에 관한"은 같은 말이에요.

한 문자에 대한 식은 어떤 식을 해당 문자와 상수항만으로 표현하는 걸 말해요. 그러니까 주어진 문자를 제외한 문자를 모두 없애야 하는 거죠.

없애려고 하는 문자에 식을 대입하면 해당 문자는 없어지잖아요. 이걸 이용하는 거예요. y를 없애려면 y = (………) 식을 y자리에 대입하는 거죠.

x + y = 3일 때, 2x + 3y + 6을 x에 대한 식으로 나타낸다고 해보죠. 순서를 잘 보세요.

1. x + y = 3을 y에 대하여 풀어서 정리
   y = - x + 3
2. ①식을 2x + 3y + 6에 대입
   2x + 3(-x + 3) + 6
3. ②식을 전개하여 정리
   2x + 3(-x + 3) + 6
   = 2x - 3x + 9 + 6
   = -x + 15

한 문자에 대한 식의 문제에서는 식이 2개 이상 나와요. 한 문자로 나타낼 식과 다른 문자를 제외할 수 있도록 대입할 수 있는 식이요.

x - y = 6일 때 다음을 구하여라.
(1) 2x + 3y + 7을 x에 대한 식으로 나타내어라.
(2) 2x + 3y + 7을 y에 대한 식으로 나타내어라.

어떤 식을 한 문자에 대한 식으로 나타내려면 주어진 문자가 아닌 문자는 모두 없애야 해요. 이때 없앨 문자에 대하여 식을 정리해서 대입합니다.

(1)에서는 x에 대한 식이므로 x와 상수항만 남기고 y를 지워야 해요. 주어진 식을 y에 대하여 풀어서 대입해야겠네요.
x - y = 6
-y = -x + 6
y = x - 6

2x + 3y + 7
= 2x + 3(x - 6) + 7
= 2x + 3x - 18 + 7
= 5x - 11

(2)에서는 y에 대한 식이므로 y와 상수항만 남기고 x를 지워야 해요. 주어진 식을 x에 대하여 풀어서 대입해야겠군요.
x - y = 6
x = y + 6

2x + 3y + 7
= 2(y + 6) + 3y + 7
= 2y + 12 + 3y + 7
= 5y + 19

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곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.

이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.

공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.

곱셈공식

곱셈공식 (3) - 합차공식

세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.

(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?

(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a² - ab + ba - b²
= a² - b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.

그림으로 확인해보죠.

한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.

가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.

색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a² - b²

합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.

(a + b)(a - c) ≠ a² - b²
(b + c)(d - c) ≠ b² - c²

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)

합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.

(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)² - b²
= 9a² - b²

(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)² - (3b)²
= 4a² - 9b²

(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)² - (2b)²
= 25a² - 4b²

곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때

이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.

(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.

(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.

역시 그림으로 확인해보죠.

가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
                    = x² + (a + b)x + ab

다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)

계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.

(1) (x + 2)(x + 3)
= x² + (2 + 3)x + 2 × 3
= x² + 5x + 6

(2) (x + 3)(x - 5)
= x² + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x² - 2x - 15

(3) (x - 2)(x - 3)
= x² + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x² - 5x + 6

곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때

이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.

(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.

(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx² + adx + bcx + bd
= acx² + (ad + bc)x + bd

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.

그림을 보죠.

가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx² + adx + bcx + bd
                       = acx² + (ad + bc)x + bd

다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)

(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x² + 11x + 3

(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x² + x - 1

(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x² + 2x - 3

곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. (a + b)(a - b) = a² - b²
4. (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
5. (ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

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곱셈공식 - 완전제곱식
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단항식의 곱셈, 다항식과 단항식의 곱셈을 해봤어요. 단항식의 곱셈과 나눗셈, 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈

이 글에서는 다항식과 다항식의 곱셈을 해볼 거예요. 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하면 되니까 그냥 넘어가고요. 그리고 다항식과 다항식을 곱할 때, 계산과정을 생략하고 그 결과를 바로 만들어낼 수 있는 공식인 곱셈공식도 공부할 거예요.

앞으로 공부할 식은 기본적으로 모두 다항식이기 때문에 곱셈공식은 꼭 알아야 하는 공식이에요. 총 다섯 개가 있는데, 이 글에서는 먼저 2개를 알아보죠.

다항식 × 다항식

두 개의 다항식의 곱 (a + b)(c + d)을 해보죠. 분배법칙을 이용할 거예요.

먼저 앞에 있는 a + b를 m이라고 한 번 생각해볼까요? 그러면 식은 m(c + d)로 바꿀 수 있죠? 이 모양이라면 분배법칙으로 괄호를 풀 수 있죠?

(a + b)(c + d)
= m(c + d)
= (m × c) + (m × d)

그런데, 원래 m = a + b였잖아요. 원래 값을 대입해보죠.
= {(a + b) × c} + {(a + b) × d}

다시 분배법칙으로 괄호를 풀면
= {(a × c) + (b × c)} + {(a × d) + (b × d)}
= ac + bc + ad + bd

항이 두 개인 다항식을 곱할 때는 분배법칙을 2번 이용해서 전개하는 거죠.

위의 계산 결과가 맞는지 그림으로 증명해볼까요? 가로 길이가 (a + b)이고, 세로 길이가 (c + d)인 사각형의 넓이는 (a + b)(c + d)죠?

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd

다항식의 곱셈을 하는 방법이에요. 앞에 있는 다항식의 항 하나를 뒤에 있는 다항식의 항에 모두 곱하고, 앞에 있는 다항식의 다른 항을 뒤에 있는 다항식의 모든 항에 곱하는 거예요. 말로 하면 어려우니까 그림으로 보고 외우세요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + 2)(a + 3)
(2) (a + 3)(a - 2)
(3) (a + 3)(2a + b - 1)

첫 번째 다항식의 한 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주고, 첫 번째 다항식의 다른 항을 두 번째 다항식의 모든 항에 곱해주는 거예요.

(1) (3a + 2)(a + 3)
= 3a(a + 3) + 2(a + 3)
= 3a² + 9a + 2a + 6
= 3a² + 11a + 6

(2) (a + 3)(a - 2)
= a(a - 2) + 3(a - 2)
= a² - 2a + 3a - 6
= a² + a - 6

(3) 번은 두 번째 다항식의 항이 세 개인데 항의 개수만 다를 뿐 방법이 똑같아요.
(a + 3)(2a + b - 1)
= a(2a + b - 1) + 3(2a + b - 1)
= 2a² + ab - a + 6a + 3b - 3
= 2a² + ab + 5a + 3b - 3

곱셈공식(1) - 완전제곱식(합의 공식)

완전제곱식은 똑같은 다항식을 여러 번 곱하는 거예요. 같은 수를 곱하는 걸 거듭제곱이라고 한다면 같은 식을 곱하는 게 완전제곱식이죠.

(a + b) 라는 다항식을 2번 곱하면 (a + b)(a + b) = (a + b)²에요. 한 번 전개해보죠.

(a + b)²
= (a + b)(a + b)
= a² + ab + ba + b²
= a² + 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a + b)² = a² + 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 더해주는 거예요.

그림으로 보면 공식을 더 쉽게 이해할 수 있어요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 늘린 후 넓이를 구하는 거예요.

전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 넓이의 합
(a + b)² =  a² + ab + ba + b²
            = a² + 2ab + b²

곱셈공식(2) - 완전제곱식(차의 공식)

이번에는 (a - b) 의 완전제곱을 구해보죠.

(a - b)²
= (a - b)(a - b)
= a² - ab - ba + b²
= a² - 2ab + b²

결과만 볼까요?

(a - b)² = a² - 2ab + b²

다항식의 각 항을 제곱(a², b²)해서 더해주고, 그다음 두 항을 곱한 것의 두 배(2ab)를 빼주는 거예요.

아래 그림을 보세요. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 길이를 b만큼 줄인 다음에 사각형의 넓이를 구하는 과정이에요.

색칠한 사각형의 넓이 = 큰 사각형 - 흰 사각형 세 개의 넓이
(a - b)² = a² - b(a - b) - (a - b)b - b²
            = a² - ba + b² - ab + b² - b²
            = a² - 2ab + b²

두 완전제곱식의 차이를 잘 비교해서 외우세요. 각 항을 제곱해주는 건 같은데, 가운데 부호에 따라서 2ab를 더해주고, 빼주는 차이가 있어요.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

다음을 간단히 하여라.
(1) (a + 5)²
(2) (2a + 3b)²
(3) (3a - 5)²
(4) (4a - 2b)²

완전제곱식은 각 항은 제곱해서 더해주고, 두 항의 곱에 2배 한 것을 더해주거나 빼주는 거예요.

(1) (a + 5)²
= a² + 2 × a × 5 + 5²
= a² + 10a + 25

(2) (2a + 3b)²
= (2a)² + 2 × 2a × 3b + (3b)²
= 4a² + 12ab + 9b²

(3) (3a - 5)²
= (3a)² - 2 × 3a × 5 + 5²
= 9a² - 30a + 25

(4) (4a - 2b)²
= (4a)² - 2 × 4a × 2b + (2b)²
= 16a² - 16ab + 4b²

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단항식끼리의 사칙연산, 다항식끼리의 사칙연산을 공부했어요. 이제는 다항식과 단항식의 계산을 공부할 차례에요. 이 글에서는 단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈에 대해서 공부합니다. 어차피 다항식의 계산은 분배법칙과 동류항 계산이라는 큰 틀 안에 있어요. 이 두 가지만 잘 잘 기억하고 있으면 돼요.

항도 많은데다가 지수 같은 건 글자도 작아서 헷갈리기도 쉬워서 제일 짜증 나는 단원이기도 해요. 하지만 복잡하다고 해서 어려운 건 아니에요. 하나씩 짚어가면서 계산하면 할 수 있어요. 몰라서 틀리는 경우보다 실수로 틀리는 게 많은 단원입니다. 연습을 많이 하셔야 해요.

단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈

(다항식) × (단항식)

다항식에는 항이 두 개 이상이 들어있어요. 각각의 항에 단항식을 곱해줘야 합니다. 이걸 바로 분배법칙이라고 하죠?

분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 정리해서 하나의 다항식으로 바꾸는 걸 전개라고 하고, 이 과정을 거쳐 생긴 새로운 다항식을 전개식이라고 해요.

전개할 때는 다항식의 항과 단항식을 곱하게 되는데, 이때 단항식의 곱셈에서 했던 것처럼 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 곱해야 해요.

4a(2a - 3b)를 계산해보죠. 전개하려면 4a를 2a - 3b의 두 항에 모두 곱해요.

전개하는 과정에서 동류항이 있다면 동류항끼리 계산을 하면 됩니다. 위에서는 동류항이 없네요.

다항식과 단항식의 곱셈
분배법칙으로 괄호 풀기 → 단항식의 곱셈(숫자끼리, 문자끼리 곱) → 동류항 계산 → 결과(전개식)

다음을 간단히 하여라.
(1) (2a² + 3ab) × a
(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)

단항식과 다항식의 곱셈에서는 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고, 동류항 계산해서 정리합니다.

(1) (2a² + 3ab) × a
= 2a² × a + 3ab × a
= 2a³ + 3a²b

(2) 2ab(3a³b + 2ab²)
= 2ab × 3a³b + 2ab × 2ab²
= 6a⁴b² + 4a²b³

(3) 4a(2a + 3b) - 2b(a + 3b)
= 4a × 2a + 4a × 3b - (2b × a + 2b × 3b)
= 8a² + 12ab - (2ab + 6b²)
= 8a² + 12ab - 2ab - 6b²
= 8a² + 10ab - 6b²
밑에서 두 번째 줄에 보면 동류항이 있어서 동류항 정리까지 했어요.

(다항식) ÷ (단항식)

유리수의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 계산하는 게 편하죠? 다항식과 단항식도 나눗셈은 곱셈으로 고쳐서 계산합니다.

나누기를 곱하기로 바꾸고 역수를 취하면 모양이 바뀌는데, 위 곱셈에서 했던 것처럼 분배법칙을 이용해서 전개하는 거예요. 나눗셈을 계산하는 방법은 여러 가지가 있는데, 곱셈으로 바꿔서 하는 방법이 실수가 가장 적은 방법이에요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (15ab + 5ab²) ÷ 5b
(2) (4a²b - 6ab² + 3ab) ÷ 2ab
(3)

다항식과 단항식의 나눗셈은 곱셈으로 바꿔서 분배법칙을 이용하여 전개합니다.

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1학년 때 다항식의 계산을 공부했어요. 특히 일차식의 덧셈과 뺄셈을 많이 연습했었죠? 이번 글에서는 다항식 중에서도 이차식의 덧셈과 뺄셈을 공부할 거예요. 그리고 문자가 한 개가 아니라 여러 개 있는 식도 계산할 거예요.

큰 틀에서 보면 1학년 때 했던 동류항의 계산과 똑같으니까 어렵게 생각할 필요는 없어요. 다만 항의 개수가 늘어나다 보니 뭔가 더 복잡해 보이고 어려워 보이는 것뿐이에요.

계산과정에서 실수가 많이 나올 수 있으니까 집중해서 보세요. 계산을 한 항에는 줄을 긋는 등의 표시를 하는 것도 괜찮은 방법이니까 사용해 보시고요. 

다항식의 덧셈과 뺄셈

1학년 때의 다항식의 계산과 달라진 것이 있다면 문자의 개수와 차수가 늘어났다는 거예요. 1학년 때는 문자가 한 개였고, 차수는 1이었죠. 이제는 문자의 개수가 2개 이상이고, 차수도 2로 높아져요.

하지만 문자와 차수가 같은 동류항끼리 묶어서 계산한다는 원칙만 기억하고 있다면 크게 어렵지는 않죠.

2a + b + 3a - 2b라는 식을 볼까요? a라는 문자와 b라는 문자가 있어요. 2a와 3a가 동류항이고, b와 -2b가 동류항이죠. 따로 계산하면 돼요.

2a + b + 3a - 2b
= 2a + 3a + b - 2b
= 5a - b

괄호가 있으면 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀고 동류항끼리 묶어서 계산해요. 또, 괄호가 여러 개 있으면 소괄호(), 중괄호{}, 대괄호[] 순으로 풀어요.

3(5a - 2b) - (3a + b)
= 15a - 6b - 3a - b
= 15a - 3a - 6b - b
= 12a - 7b

다항식의 계산: 문자와 차수가 같은 동류항끼리 계산
괄호가 있으면 분배법칙을 이용
소괄호, 중괄호, 대괄호 순으로 괄호를 푼다.

다음을 간단히 하여라.
(1) 3(a + b) - 2(a - b)
(2) 3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]

괄호가 있으면 소괄호, 중괄호, 대괄호 순서로 분배법칙을 이용해서 풀고 동류항끼리 계산을 해요.

(1)은 분배법칙을 이용해서 풀어야겠네요.
3(a + b) - 2(a - b)
= 3a + 3b - 2a + 2b
= 3a - 2a + 3b + 2b
= a + 5b

(2)번은 괄호가 여러 개 있어요. 소괄호부터 차례로 하나씩 풀어보죠.
3a + 2[b + 3{a + 3b - (2b - b)} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 3b - b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3{a + 2b} + 3a]
= 3a + 2[b + 3a + 6b + 3a]
= 3a + 2[7b + 6a]
= 3a + 14b + 12a
= 15a + 14b

이차식의 덧셈과 뺄셈

일차식은 최고차항의 차수가 1인 식이에요. 그럼 이차식은 최고차항의 차수가 2인 식을 말하겠죠? 이차식은 차수가 2인 항이 하나 더 생기는 것뿐이에요.

3a² + 5a - 1 이런 식이 이차식이죠. 이때 일차항이나 상수항이 없어도 이차식이에요. 3a² + 5a도 이차식이고, 3a² - 1도 이차식, 3a²만 있어도 이차식이에요. 하지만 이차항은 꼭 있어야 해요.

이차식을 계산한 후에 답을 쓸 때는 차수가 높은 수부터 내림차순으로 정리해요. 이차항, 일차항, 상수항의 순서로 쓰는 거죠. 순서가 다르다고 해서 틀린 건 아니지만, 내림차순으로 쓰기로 약속했어요.

이차식: 최고차항의 차수가 2인 다항식
동류항 계산: 이차항끼리, 일차항끼리, 상수항끼리 계산
내림차순: 이차항, 일차항, 상수항의 순서로

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)을 계산해보죠. a²라는 이차항, a의 일차항, 상수항으로 되어 있어요. 두 번째 괄호 안에는 일차항이 없지만 상관없어요.

(2a² + 3a + 1) + (a² + 3)
= 2a² + a² + 3a + 1 + 3
= 3a² + 3a + 4

여기서도 괄호가 있다면 분배법칙을 이용해서 풀어서 동류항끼리 묶어서 계산합니다.

2(a² + 3a + 1) - 3(a² + a - 1)
= 2a² + 6a + 2 - 3a² - 3a + 3
= 2a² - 3a² + 6a - 3a + 2 + 3
= -a² + 3a + 5

다음을 간단히 하여라.
(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2

이차식에서는 동류항이 이차항, 일차항, 상수항의 세 항이 있으니까 따로 계산하면 돼요. 그리고 답을 쓸 때는 내림차순으로 쓰고요.

(1) (2 - a - 3a²) + (4a² + 2a - 2)
= -3a² + 4a² - a + 2a + 2 - 2
= a² + a

(2) 3(a² + 3a + 3) + 4(a² - 3a) - 2
= 3a² + 9a + 9 + 4a² - 12a - 2
= 3a² + 4a² + 9a - 12a + 9 - 2
= 7a² - 3a + 7

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[중등수학/중1 수학] - 일차식의 덧셈과 뺄셈, 동류항, 동류항의 덧셈과 뺄셈

단항식과 계수라는 용어는 1학년 때 들어봤어요. 그리고 단항식의 곱셈과 나눗셈도 해봤죠? 그때는 단항식과 수의 곱셈과 나눗셈이었고, 이 글에서 할 건 단항식과 단항식의 곱셈과 나눗셈이에요.

솔직히 말해 좀 짜증 나는 과정이라고 할 수 있어요. 같은 문자에 비슷비슷한 차수의 계산이 많이 나오거든요. 원리가 어렵다기보다는 계산이 복잡하죠. 문자와 차수를 잘 구별하고, 빼먹는 항이 없도록 집중해야하는 단원입니다.

실수를 줄이려면 계산 연습을 많이 해보는 방법밖에 없어요. 교과서의 예제를 많이 풀어보세요.

단항식의 곱셈과 나눗셈

단항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항의 덧셈과 뺄셈에 나온 것처럼 차수와 문자가 같은 동류항끼리 계산해요. 1학년 때 해봤으니까 넘어가죠.

단항식의 곱셈

2a³b × 3ab²을 계산해보죠. 생략된 곱셈기호를 다시 살려서 계산하면 돼요.

2a³b × 3ab²
= (2 × a³ × b) × (3 × a × b²)
= 2 × 3 × a³ × a × b × b²        (∵ 교환법칙)
= 6 × a⁴ × b³
= 6a⁴b³

매번 이렇게 풀어서 계산할 수는 없잖아요. 규칙을 알아보죠.

단항식의 덧셈, 뺄셈에서 숫자끼리 더하거나 빼고 문자는 뒤에 그대로 붙여준다고 했어요. 단항식의 곱셈에서도 숫자끼리 곱해요. 다만 문자는 바뀌죠? 문자는 어떻게 하냐면 지수법칙을 이용해서 밑이 같은 문자끼리 곱하는 거예요.

단항식의 곱셈: 숫자는 숫자끼리, 문자는 밑이 같은 문자끼리 곱

다음을 간단히 하여라.
(1) 3a²b³ × 4a³b³
(2) (2a)³ × 4a × 5a²
(3) (5a²b)² × (2a²b³)³

단항식의 곱셈은 숫자끼리, 문자끼리 곱하는 거예요.

(1) 3a²b³ × 4a³b³
= (3 × 4) (a² × a³) (b³ × b³)
= 12a⁵b⁶

두 번째 줄에서 숫자끼리, 밑이 같은 문자끼리 묶어서 계산했어요.

(2)에는 거듭제곱의 거듭제곱 꼴이므로 지수법칙 - 괄호를 이용해서 먼저 계산해야 해요. 괄호 안의 모든 항목을 거듭제곱해주는 거예요.
(2a)³ × 4a × 5a²
= 2³a³ × × 4a × 5a²
= (8 × 4 × 5) (a³ × a × a²)
= 160a⁶

(3)도 지수법칙을 이용해서 괄호를 먼저 전개한 다음에 곱셈을 해야 합니다.
(5a²b)² × (2a²b³)³
= 5²(a²)²b² × 2³(a²)³(b³)³
= 25a⁴b² × 8a⁶b⁹
= (25 × 8) (a⁴ × a⁶) (b² × b⁹)
= 200a¹⁰b¹¹

단항식의 나눗셈

나눗셈에서도 곱셈처럼 숫자끼리, 밑이 같은 문자끼리 계산해요. 나눗셈은 분수를 이용하기 때문에 약분을 하는데, 이때는 밑이 같은 문자에서 지수를 빼는 거예요. 계산은 분수를 이용하는 방법과 역수를 이용하는 방법으로 합니다.

나눗셈을 분수로 바꿔서 계산하는 방법이에요. 나누는 수를 분수의 분모로 하는 방법이죠.

이번에는 역수를 이용하는 방법을 해보죠. 나누는 수에 분수가 있을 때 유용한 방법이에요.

위 경우처럼 나누는 항의 계수만 분수이고 문자는 분수가 아닐 때, 계수만 역수로 바꾸고 문자는 그대로 두는 경우가 있어요. 이 아니라 3a²b로 말이죠. 실수를 정말 자주 하는 거니까 꼭 주의하세요. 역수로 바꿀 때는 숫자와 문자 모두 다 뒤집어야 해요.

단항식의 나눗셈: 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산(약분)
분수꼴로 고쳐서
나누기를 곱하기로 바꾸고 역수

다음을 간단히 하여라.

단항식의 나눗셈도 숫자는 숫자끼리, 문자는 문자끼리 계산해요. 대신 나누는 수가 분수면 역수를 이용하고, 분수가 아니면 분모로 만들어서 계산하지요.

(1)에서는 나누는 수가 분수가 아니므로 식 전체를 분수꼴로 바꿔서 계산하면 편해요

(2)번에는 괄호가 있으므로 괄호의 거듭제곱을 지수법칙을 이용해서 푼 다음에 나눗셈해야겠네요. 그리고 나누는 수에 분수가 있으니까 역수를 이용해서 계산하고요.

(3)번은 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 계산이네요. 앞에서부터 순서대로 계산하면 돼요.

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지수법칙 두 가지를 공부했었죠? 밑이 같은 거듭제곱의 곱일 때는 밑을 그대로 써주고 지수는 더해주는 거였고요. 거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑은 그대로 쓰고, 지수를 곱해주는 거였어요.

지수법칙 두 번째는 나눗셈과 괄호가 있을 때의 거듭제곱이에요.

나눗셈에서는 지수의 크기가 중요해요. 지수의 크기에 따라 계산 방법이 달라지거든요. 괄호가 있을 때는 분수든 아니든 상관없이 공통된 특징이 있으니 이건 쉽게 이해할 거예요.

지수법칙

2⁵ ÷ 2³을 해볼까요? 지수를 풀어서 계산(약분)한 다음, 다시 거듭제곱으로 나타내보죠.

지수만 보면 5 - 3 = 2가 되죠. 밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 빼면 돼요. 여기까지는 지수법칙 첫 번째에서 했던 밑이 같은 거듭제곱의 곱과 비슷해요. 밑이 다르거나 나눗셈이 아니면 쓸 수 없다는 것까지 같지요.

이번에는 2⁵ ÷ 2⁵을 해보죠.

위처럼 밑은 그대로 쓰고, 지수의 차를 구해보면 2⁵ ÷ 2⁵ = 2^{5 - 5} = 2⁰이 되겠지요? 여기에서 2⁰ = 1이라는 걸 알 수 있어요. 지수가 같으면 나누기의 결과로 지수는 0이 되고, 밑이 2든 3이든 상관없이 모든 수의 0 제곱은 1이에요.

이번에는 2³ ÷ 2⁵를 해볼까요?

밑이 같고 지수의 나눗셈이니까 밑은 그대로 쓰고, 지수끼리 빼면 2³ ÷ 2⁵ = 2^{3 - 5} = 2^-2이 돼요. 지수가 -2인데, (-)는 분수라는 걸 말해요. 지수가 2인 분수꼴이라는 뜻이죠. 나누는 수의 지수가 클 때는 분수로 쓰되, 지수는 큰 것에서 작은 걸 빼주는 거지요.

위 세 경우에서 보듯이 거듭제곱의 나눗셈은 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 크기에 따라 계산 방법이 살짝 달라져요.

a ≠ 0이고, m, n이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.
(1) a⁶ ÷ a²
(2) b⁵ ÷ b³ ÷ b²
(3) c³ ÷ c⁷

밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈에서는 나누어지는 수와 나누는 수의 지수 중 어디가 큰지에 따라 달라져요. 나누어지는 수의 지수가 크면 밑은 그대로 쓰고 지수의 차, 같으면 1, 나누어지는 수의 지수가 더 작으면 분수 형태예요.

(1) 나누어지는 수의 지수가 나누는 수의 지수보다 크네요.

a⁶ ÷ a²
= a^{6 - 2}
= a⁴

(2)에서는 항이 3개지만 밑이 같으면 한꺼번에 계산할 수 있어요.
b⁵ ÷ b³ ÷ b²
= b^{5 - 3 - 2}
= b⁰
= 1

(3)은 나눠지는 수의 지수가 더 작으니까 분수로 나오겠지요.

괄호가 있을 때 지수법칙

이번에는 여러 개의 문자나 수를 한꺼번에 거듭제곱할 때 어떻게 되는지 알아보죠.

(ab)³을 볼까요? ab를 3번 곱한 건데, 원래 a × b에서 곱셈기호가 생략된 거죠.

(ab)³
= (a × b)³                                 곱셈기호 살리기
= (a × b) × (a × b) × (a × b)
= (a × a × a) × (b × b ×b )     곱셈에 대한 교환법칙
= a³ × b³
= a³b³                                      곱셈기호 생략

첫 줄과 끝줄만 보면, (ab)³ = a³b³로 괄호 안에 있는 것들을 각각 세제곱한 것과 같아요.

분수의 거듭제곱도 분자, 분모를 각각 거듭제곱한 것과 같죠.

위 두 가지를 정리해 보면, 괄호로 묶여있는 걸 거듭제곱하면 괄호 안에 있는 것들을 각각 거듭제곱한 것과 같다는 걸 알 수 있어요.

b ≠ 0이고, m이 자연수일 때

다음을 간단히 하여라.

괄호 안에 있는 건 분수든 아니든 상관없이 각각을 거듭제곱해줘야 해요.

(1) (a³b²)²
= (a³)²(b²)²
= a^{3 × 2}b^{2 × 2}
= a⁶b⁴

(2)에서 (-a) = (-1) × a에요.
(-a)⁴ × (-b)³
= (-1)⁴a⁴ × (-1)³b³
= a⁴ × (-b³)
= -a⁴b³

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1학년 때 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기를 공부했었죠? 내용이 기억나나요? 똑같은 수를 여러 번 곱할 때, 거듭제곱을 이용해서 나타낸다고 했지요? 거듭제곱에서 곱해지는 수를 보통 크기로 쓰고, 곱하는 횟수는 오른쪽 위에 작게 쓰기로 했어요. 이때, 아래에 있는 걸 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰여진 걸 지수라고 했지요.

지수법칙에서 지수는 바로 거듭제곱에서의 지수를 말해요.

지수법칙은 거듭제곱에서 지수를 계산하는 법칙인데, 얼마나 중요하면 이름이 공식도 아니고 법칙이겠어요. 꼭 외워야겠죠?

지수법칙

지수법칙 1 - 거듭제곱의 곱

2³ × 2⁵을 계산해볼까요? 거듭제곱으로 쓰여있는 걸 곱하기로 풀어서 계산한 다음 다시 거듭제곱으로 써 보죠.

2³ × 2⁵
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 2⁸

가운데 지수를 풀어쓴 부분을 제외하면 2³ × 2⁵ = 2⁸이 돼요. 지수만 보죠. 두 지수 3과 5를 더하면 8이죠? 이게 지수법칙의 첫 번째 입니다. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 더해주는 거죠.

위 지수법칙이 성립하려면 조건이 있어요. 밑이 같아야 하고, 두 거듭제곱이 곱셈이어야 해요. 밑이 다르거나 곱셈이 아니면 성립하지 않아요.

밑은 같지만, 곱셈이 아니라 덧셈인 경우를 보죠.

2³ + 2⁵
= (2 × 2 × 2) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 8 + 32
= 40
= 2³ × 5

2⁸ = 256 ≠ 2³ + 2⁵에요.

곱셈이지만 밑이 다르면 어떻게 되는지 볼까요?

2³ × 3²
= (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
= 8 × 9
= 72

2³ × 3²에서 지수는 더하라고 했으니까 3 + 2 = 5이고, 밑은 그대로인데, 2와 3 두 개 중 어떤 걸 쓸까 고민하다가 2 × 3 = 6이니까 6으로 해서 6⁵으로 쓰는 경우가 많이 있어요. 이렇게 하면 절대로 안 돼요.

다시 정리할게요. 첫 번째 지수법칙이 성립하려면 밑이 같고, 거듭제곱의 곱셈이어야 해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (-1)² × (-1)³
(2) a² × a³ × a⁴
(3) a³ × b² × a⁵ × b⁴

밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 더해주는 거예요.

(1) (-1)² × (-1)³ = (-1)^{2 + 3} = (-1)⁵ = -1

(2)는 항이 세 개인데, 세 개 다 밑이 같고 곱셈이므로 지수법칙을 한꺼번에 적용할 수 있어요.
a² × a³ × a⁴ = a^{2 + 3 + 4} = a⁹

(3)은 밑이 a와 b가 섞여 있죠? a, b를 따로 계산해야 해요.
a³ × b² × a⁵ × b⁴
= a³ × a⁵ × b² × b⁴
= a^{3 + 5} × b^{2 + 4}
= a⁸ × b⁶
= a⁸b⁶
밑이 다르므로 더 이상 계산할 수 없고, 곱셈기호만 생략할 수 있어요.

지수법칙 두 번째 - 거듭제곱의 거듭제곱

지수법칙 두 번째는 거듭제곱의 거듭제곱이에요.

(2³)²를 해보죠. 2³을 통째로 하나의 문자라고 생각해보세요. (2³)²는 2³를 두 번 곱하는 거죠?

(2³)²
= (2³) × (2³)
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 2⁶

처음하고 끝줄만 볼까요? (2³)² = 2⁶에서 지수 2와 지수 3을 곱하면 6이 되죠?

바로 지수법칙 두 번째에요. 거듭제곱의 거듭제곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 곱해주는 거예요.

여기는 별다른 조건이 없어요. 그냥 계산하면 돼요.

곱셈에서는 교환법칙이 성립하죠? 그래서 지수 m, n의 자리를 바꿔서 계산한 (a^m)ⁿ = a^mn = a^nm = (aⁿ)^m가 성립해요.

다음을 간단히 하여라.
(1) (x³)⁴
(2) (a²)³ × (a³)³
(3) (a²)³ × (b³)²

거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑을 그대로 쓰고, 지수를 곱해줘요.

(1) (x³)⁴ = x^{3 × 4} = x¹²

(2)는 (거듭제곱의 거듭제곱) 두 개가 곱해져 있어요. 지수법칙 첫 번째와 두 번째가 섞여있는 거죠. 두 번째 지수법칙을 먼저 적용한 다음 첫 번째 지수법칙을 이용해서 계산해야 합니다.
(a²)³ × (a³)³
= (a^{2 × 3}) × (a^{3 × 3})
= a⁶ × a⁹
= a^{6 + 9}
= a¹⁵

(3)도 같은 건데, 밑이 a와 b로 달라요. 주의하세요.
(a²)³ × (b³)²
= (a^{2 × 3}) × (b^{3 × 2})
= a⁶ × b⁶
= a⁶b⁶

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근삿값을 표현하는 방법에 대해서 공부해볼꺼에요. 근삿값을 표현하는 방법을 많이 연습해봐야하고, 또 근삿값으로 표현된 수에서 그 의미를 찾는 방법도 연습을 많이 해야합니다.

근삿값과 유효숫자는 아주 밀접한 관계가 있으니까 유효숫자의 판별법을 모르면 안돼요.

근삿값 단원이 어려운 게 뭐냐면 앞에서 공부한 참값, 근삿값, 오차, 오차의 한계, 참값의 범위, 유효숫자, 이 글에서 배울 근삿값의 표현이 모두 섞여서 한 문제로 나와요. 어느 하나라도 잘 모르면 풀기가 어렵겠지요. 각 용어들의 연관성과 구하는 방법에 대해서 잘 이해하고 있어야 해요.

근삿값의 표현

근삿값을 표현할 때는 유효숫자를 소수로 바꾸고, 거기에 거듭제곱을 곱하는 형태로 표현합니다.

제일 먼저 유효숫자를 찾아야 겠죠.

유효숫자를 소수로 바꿀때는 규칙이 있어요. 첫번째 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지 유효숫자는 모두 소수점 뒤에 적어요. 일의 자리와 소수점 이하 자리의 숫자로만 표시하는 거죠. 어떤 경우에도 가장 앞에 있는 유효숫자가 0이 되는 경우는 없어요. 최소한 1이죠. 따라서 소수로 표현된 수는 1보다 크거나 같지요. 또 십의 자리 숫자는 없으므로 10보다는 작을 거고요.

그런데, 유효숫자로 만든 소수는 원래의 근삿값과 다르죠. 두 값을 같게 해주기위해서 10의 거듭제곱을 뒤에 곱해줘요.

1234라는 근삿값을 표현해보죠.

1. 유효숫자를 찾아요.
   1, 2, 3, 4의 네 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   1.234
3. 1.234 ≠ 1234이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   1234 = 1.234 × 10³

0.00506를 해보죠. 과정은 같아요.

1. 유효숫자를 찾아요.
   5, 0, 6의 세 개가 유효숫자에요.
2. 가장 앞에 있는 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고, 나머지는 모두 소수점 뒤에 써요.
   5.06
3. 5.06 ≠ 0.00506이므로 10의 거듭제곱을 곱해줘서 두 수를 같게 만들어 줍니다.
   0.00506 = 5.06 ×

10의 거듭제곱에서 지수를 찾는 건 소수점을 몇 칸 이동하느냐로 찾아요. 원래 수에서 왼쪽으로 소수점을 세 칸 옮기면 10³, 원래 수에서 오른쪽으로 세 칸 옮기면 을 곱해주는 거죠.

근삿값 36800을 일의 자리에서 반올림해서 얻었다. 유효숫자와 10의 거듭제곱을 이용해서 나타내어라.

일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림받은 자리에요. 반올림받은 자리까지가 유효숫자죠. 따라서 유효숫자는 3, 6, 8, 0이에요.

가장 앞의 유효숫자만 소수점 앞에 쓰고 나머지는 소수점 뒤에 쓰니까 3.680이에요. 3.680은 36800과 다르므로 10의 거듭제곱을 곱해줘야하는데, 소숫점을 원래 수에서 왼쪽으로 네 번 옮겼으므로 10⁴을 곱해줘야 합니다.

36800 = 3.680 × 10⁴

자를 이용해서 어떤 자동차의 길이를 재었더니 3.05 × 10²cm였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 유효숫자를 모두 구하여라.
(2) 길이를 재는데 사용한 자의 최소 눈금 단위는 얼마인가?
(3) 오차의 한계를 구하여라.
(4) 자동차 길이의 참값의 범위를 구하여라.

(1) 근삿값은 유효숫자와 10의 거듭제곱의 곱으로 표시해요. 따라서 앞에 있는 소수 부분의 숫자가 모두 유효숫자지요. 3, 0, 5가 유효숫자에요.

(2) 측정값에서 유효숫자는 앞에서부터 최소 눈금 단위까지에요. 이걸 거꾸로 생각해보면 유효숫자의 마지막 숫자가 있는 단위가 최소 눈금 단위죠. 3.05 × 10² = 305cm 에서 마지막 유효숫자가 5이므로 5가 나타내는 단위인 1cm가 최소 눈금 단위에요.

(3) 오차의 한계는 최소 눈금 단위의 절반이에요. 1cm × ½ = 0.5cm

(4) 근삿값 - 오차의 한계 ≤ 참값의 범위 < 근삿값 + 오차의 한계 이므로 대입하면
(305 - 0.5)cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < (305 + 0.5)cm
304.5cm ≤ 자동차의 진짜 길이 < 305.5cm

유효숫자라는 걸 공부할 거예요. 유효숫자가 무엇인지 또 어떤 숫자들이 유효숫자인지도요. 특히 0은 유효숫자인지 아닌 지 알아보기가 까다롭기 때문에 이 부분도 살펴볼 겁니다.

유효숫자는 오차의 한계와 구하는 방법이 비슷하기때문에 둘을 함께 비교하면서 공부하면 좋아요. 그래야 외우기도 쉽고, 헷갈리지 않아요.

유효숫자는 다음에 공부할 근삿값의 표현에서 꼭 필요하기때문에 정확히 알아야 해요.

유효숫자

유효숫자는 믿을 수 있는 숫자에요. 근삿값을 사용하다보면 오차가 생기기때문에 근삿값의 모든 숫자가 다 정확한 건 아니에요. 하지만 오차를 고려하더라도 몇 개는 신뢰할 만한 숫자가 있는데, 그게 바로 유효숫자에요

일반적으로 백화점에서 49,800원짜리 옷을 하나 산 후에 누군가 옷의 가격을 물어보면 "50,000원에 샀어"라고 얘기합니다. 실제는 49,800원인데 50,000원 줬다고 얘기하면 둘 사이에 200원이라는 오차가 생기죠. 오차는 200원이니까 100원 단위를 틀리게 말할 수 있지만, 만원 단위, 천원 단위까지 틀리게 말하는 건 아니잖아요. 이 경우에는 만원 단위인 5와 천원 단위인 0의 두 숫자는 믿을 수 있는 숫자로 유효숫자에요.

유효숫자는 이름 그대로 숫자로 표현합니다. 단위는 무시해요. 위 경우에서 유효숫자는 5만과 0천이 아니라 5, 0입니다.

유효숫자를 구하는 방법

어떤 숫자를 일의 자리에서 반올림한다고 해보죠. 일의 자리에서 반올림을 하면 일의 자리 숫자는 그냥 그대로 버리고 0으로 쓰죠. 따라서 일의 자리 숫자 0은 원래의 의미가 없어져버려서 믿을 수 없는 숫자가 되버려요.

십의 자리 숫자는 그대로 이거나 +1이 되고, 그 외의 숫자는 그대로죠. 이런 숫자들은 조금씩 바꿀 수는 있겠지만 그 의미까지 완전히 없어졌다고 보기는 힘들겠죠? 따라서 이런 숫자들은 믿을 수 있는 유효숫자로 할 수 있어요.

십의 자리에서 반올림한다면 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자는 그냥 버려서 0이 되니까 의미가 없어지고, 백의 자리 숫자와 그 이의의 숫자는 모양은 바뀔 수 있지만 신뢰할 수 있는 유효숫자에요.

반올림을 할 때는 반올림을 받은 자리까지의 숫자가 유효숫자에요.

어떤 도구를 이용해서 측정한 값도 근삿값이므로 오차가 생기고, 거기에도 유효숫자라는 게 있어요.

측정값에서의 유효숫자는 최소 눈금 단위의 숫자까지 입니다. 최소눈금 단위 아래의 숫자는 그냥 버리잖아요. 1cm눈금이 있는 자로 물건을 잴 때는 9cm, 10cm 이렇게 재지, 9.6cm, 10.3cm 이렇게 하지 않잖아요.

유효숫자는 오차의 한계와 관련성을 이용해서 외우는 게 좋아요.

일의 자리에서 반올림해서 얻은 1110이라는 근삿값에서 유효숫자를 찾아볼까요? 일의 자리에서 반올림했으니까 십의 자리가 반올림을 받은 자리고, 앞에서부터 십의 자리까지의 모든 숫자가 유효숫자에요. 1, 1, 1 이죠. 여기서 1이 세 개라고 해서 1을 하나만 쓰면 안돼요. 중복되는 숫자가 있더라도 모두 써주야 합니다. 유효숫자는 1 하나가 아니라 1, 1, 1 이렇게 세 개입니다.

다음에서 유효숫자를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(2) 백의 자리에서 반올림하여 얻은 12000
(3) 최소 눈금 단위가 1cm인 자로 잰 100cm
(4) 최소 눈금 단위가 10cm인 자로 잰 100cm

유효숫자는 반올림 받은 자리까지 그리고 최소 눈금 단위까지의 숫자가 모두 유효숫자에요. 그 아래의 숫자는 유효숫자가 아니죠.

(1) 십의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 백의 자리에요. 앞에서부터 백의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리인 1, 천의 자리인 2, 백의 자리인 0 세 숫자가 유효숫자에요. 답은 1, 2, 0네요. 1 2 0 0 0

(2) 백의 자리에서 반올림했으므로 반올림받은 자리는 천의 자리에요. 앞에서부터 천의자리까지가 유효숫자입니다. 만의 자리 1, 천의 자리 2이 유효숫자에요. 답은 1, 2입니다. 1 2 0 0 0

(3) 최소 눈금 단위가 1cm이므로 앞에서부터 1cm 단위까지가 유효숫자에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0, 일의 자리 0 세 수가 모두 유효숫자에요. 1, 0, 0이 답이네요. 1 0 0

(4) 최소 눈금 단위가 10cm이므로 앞에서부터 10cm 단위까지만 유효숫자이고, 그 아래 숫자는 유효숫자가 아니에요. 백의 자리 1, 십의 자리 0은 유효숫자고, 마지막 일의 자리 0은 유효숫자가 아닙니다. 1, 0이 답이에요. 1 0 0

유효숫자 판별

근삿값을 구한 다음에 유효숫자를 판별하는 방법은 위 과정으로 하면 됩니다.

그런데, 어떤 방법으로 유효숫자를 구했는지 모른 체 그냥 근삿값만 알려준 경우에는 유효숫자를 구하기가 까다롭죠. 특히 다른 숫자들은 괜찮은데 0이 문제에요.

어느 자리에서 반올림 했는 지는 모르는 근삿값 1200이라는 숫자가 있다고 해보죠. 여기서 십의 자리 0을 보세요. 원래 숫자가 0이었는지, 원래는 9였는데 일의 자리에서 반올림을 받아서 0이 된 거지, 십의 자리에서 반올림을 하고 버려서 0이 되었는 지 알 수가 없지요.

이럴 때 십의 자리 0이 유효숫자인지 아닌 지 알아볼 수 있는 방법이 있어야겠죠?

• 유효숫자
  0이 아닌 모든 숫자
  0이 아닌 숫자 사이에 있는 0 - 2013, 1.05
  소수에서 뒤에 있는 0 - 1.40
• 유효숫자 인지 아닌 지 알 수 없는 경우
  정수의 끝에 있는 0 - 30, 100
• 유효숫자가 아닌 경우
  소수에서 자릿수를 표시하는 0 - 0.002

다음 중 유효숫자의 개수가 다른 것을 고르시오.
(1) 1301     (2) 1031     (3) 1.010     (4) 0.101

0이 아닌 모든 숫자는 유효숫자에요. 0이 아닌 숫자 사이에 있는 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 소수에서 자릿수를 표시하기 위해 사용하는 0은 유효숫자가 아니에요.

(1) 1301은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 3과 1 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개네요.

(2) 1031은 0이 아닌 숫자 1, 3, 1은 유효숫자에요. 또 1과 3 사이에 있는 0도 유효숫자고요. 유효숫자는 4개입니다.

(3) 1.010은 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있어요. 또 1과 1 사이의 0도 유효숫자고, 소수의 마지막에 있는 0도 유효숫자에요. 따라서 유효숫자는 4개에요.

(4) 0.101에서 0이 아닌 숫자 1이 두 개 있고요. 1과 1 사이의 0도 유효숫자에요. 하지만 소수점 앞에 있는 0은 소수라는 걸 알려주기 위한 0이므로 유효숫자가 아니에요. 유효숫자는 3개입니다.

따라서 답은 유효숫자가 3개인 (4)번이 되겠네요.

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