1학년 때 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기를 공부했었죠? 내용이 기억나나요? 똑같은 수를 여러 번 곱할 때, 거듭제곱을 이용해서 나타낸다고 했지요? 거듭제곱에서 곱해지는 수를 보통 크기로 쓰고, 곱하는 횟수는 오른쪽 위에 작게 쓰기로 했어요. 이때, 아래에 있는 걸 밑, 오른쪽 위에 작게 쓰여진 걸 지수라고 했지요.
지수법칙에서 지수는 바로 거듭제곱에서의 지수를 말해요.
지수법칙은 거듭제곱에서 지수를 계산하는 법칙인데, 얼마나 중요하면 이름이 공식도 아니고 법칙이겠어요. 꼭 외워야겠죠?
지수법칙
지수법칙 1 - 거듭제곱의 곱
23 × 25을 계산해볼까요? 거듭제곱으로 쓰여있는 걸 곱하기로 풀어서 계산한 다음 다시 거듭제곱으로 써 보죠.
23 × 25
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 28
가운데 지수를 풀어쓴 부분을 제외하면 23 × 25 = 28이 돼요. 지수만 보죠. 두 지수 3과 5를 더하면 8이죠? 이게 지수법칙의 첫 번째 입니다. 밑이 같은 두 거듭제곱의 곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 더해주는 거죠.
위 지수법칙이 성립하려면 조건이 있어요. 밑이 같아야 하고, 두 거듭제곱이 곱셈이어야 해요. 밑이 다르거나 곱셈이 아니면 성립하지 않아요.
밑은 같지만, 곱셈이 아니라 덧셈인 경우를 보죠.
23 + 25
= (2 × 2 × 2) + (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 8 + 32
= 40
= 23 × 5
28 = 256 ≠ 23 + 25에요.
곱셈이지만 밑이 다르면 어떻게 되는지 볼까요?
23 × 32
= (2 × 2 × 2) × (3 × 3)
= 8 × 9
= 72
23 × 32에서 지수는 더하라고 했으니까 3 + 2 = 5이고, 밑은 그대로인데, 2와 3 두 개 중 어떤 걸 쓸까 고민하다가 2 × 3 = 6이니까 6으로 해서 65으로 쓰는 경우가 많이 있어요. 이렇게 하면 절대로 안 돼요.
다시 정리할게요. 첫 번째 지수법칙이 성립하려면 밑이 같고, 거듭제곱의 곱셈이어야 해요.
다음을 간단히 하여라.
(1) (-1)2 × (-1)3
(2) a2 × a3 × a4
(3) a3 × b2 × a5 × b4
밑이 같은 거듭제곱의 곱셈은 밑은 그대로 쓰고, 지수만 더해주는 거예요.
(1) (-1)2 × (-1)3 = (-1)2 + 3 = (-1)5 = -1
(2)는 항이 세 개인데, 세 개 다 밑이 같고 곱셈이므로 지수법칙을 한꺼번에 적용할 수 있어요.
a2 × a3 × a4 = a2 + 3 + 4 = a9
(3)은 밑이 a와 b가 섞여 있죠? a, b를 따로 계산해야 해요.
a3 × b2 × a5 × b4
= a3 × a5 × b2 × b4
= a3 + 5 × b2 + 4
= a8 × b6
= a8b6
밑이 다르므로 더 이상 계산할 수 없고, 곱셈기호만 생략할 수 있어요.
지수법칙 두 번째 - 거듭제곱의 거듭제곱
지수법칙 두 번째는 거듭제곱의 거듭제곱이에요.
(23)2를 해보죠. 23을 통째로 하나의 문자라고 생각해보세요. (23)2는 23를 두 번 곱하는 거죠?
(23)2
= (23) × (23)
= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
= 26
처음하고 끝줄만 볼까요? (23)2 = 26에서 지수 2와 지수 3을 곱하면 6이 되죠?
바로 지수법칙 두 번째에요. 거듭제곱의 거듭제곱은 밑은 그대로 쓰고 지수만 서로 곱해주는 거예요.
여기는 별다른 조건이 없어요. 그냥 계산하면 돼요.
곱셈에서는 교환법칙이 성립하죠? 그래서 지수 m, n의 자리를 바꿔서 계산한 (am)n = amn = anm = (an)m가 성립해요.
다음을 간단히 하여라.
(1) (x3)4
(2) (a2)3 × (a3)3
(3) (a2)3 × (b3)2
거듭제곱의 거듭제곱에서는 밑을 그대로 쓰고, 지수를 곱해줘요.
(1) (x3)4 = x3 × 4 = x12
(2)는 (거듭제곱의 거듭제곱) 두 개가 곱해져 있어요. 지수법칙 첫 번째와 두 번째가 섞여있는 거죠. 두 번째 지수법칙을 먼저 적용한 다음 첫 번째 지수법칙을 이용해서 계산해야 합니다.
(a2)3 × (a3)3
= (a2 × 3) × (a3 × 3)
= a6 × a9
= a6 + 9
= a15
(3)도 같은 건데, 밑이 a와 b로 달라요. 주의하세요.
(a2)3 × (b3)2
= (a2 × 3) × (b3 × 2)
= a6 × b6
= a6b6
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[중등수학/중1 수학] - 교환법칙
넘 감사합니다.
댓글 고맙습니다.
a^n에서 n이 꼭 자연수가 아니어도 괜찮은거 아닌가요? 예를 들어 a^(-1)같은 경우에는 그 역수로 바꿔준다고 알고 있거든요... 어떻게 된건가요? 햇갈리네요.
지수는 음수도 되고, 유리수도 되고 다 돼요. 근데 그건 고등학교 과정이고 여기는 중학과정이라 자연수로 제한하는 거지요.
고등학교 과정의 지수법칙은 http://mathbang.net/586에 있어요.
그렇군요 감사합니다
덕분에 잘 알아갑니다^^
또 오세요.^^
덕분에 잘알아가요 수요일 중간고사인데
너무 도움이되네요^^
열심히 준비해서 100점 받으세요.^^
알기 쉬운 설명 감사드립니다
기운 나는 댓글 고맙습니다. ㅎ
저도 강사이지만 정말 큰 일을 하시는군요. ㅎㅎ 부럽습니다. 이런 멋진 콘텐츠 개발을 응원합니다. ^^
응원만 하지 마시고 선생님도 한 번 해보세요.^^
그럼 2 x ( 2²+ 3²) 은 어떻게 계산할 수 있을까요?
그냥 4²+ 6² 인가요???
이렇게 된 형식을 못찾아서 질문드려욥
거듭제곱이라는 건 같은 수나 문자를 여러 번 곱하는 걸 얘기하는 건데, 이건 2와 3으로 밑이 다르죠. 계다가 괄호 안이 덧셈이고요.
그냥 간단하게 분배법칙을 이용해서 계산하면 돼요.
2^3 + 2 x (3^2)
거듭제곱이란? https://mathbang.net/198
최근에 알게되었는데 이해되는 설명 감사합니다👾😆
우리 앞으로 계속 봐요. ㅎㅎ
궁금합니당
선생님 혹시 두 공식 모두 한 식에 적용할 때 무조건 두번째 공식부터 적용하는 건가요? 아님 예외형이 따로 있나요?
둘 중에 우선 순위가 있는 건 아니고, 괄호 쳐진 게 먼저입니다.
중3거 혼자 예습하는데 막막한 부분들이 가끔 있었는데 풀이 보며는 이해가 잘 돼요 감사합니다!
이건 중2이긴 하지만 혼자서 중3 거까지 하다니 정말 대단하네요.
정말 이해하기쉽게 설명되어있네요 수학방 잘이용하겠습니다
네, 많이 이용해주세요.
그렇다면 지수법칙의 전제조건은 무엇일까요? 즉, 밑과 지수의 조건에 대해 궁금합니다.
중2 과정에서는 밑은 유리수, 지수는 자연수입니다.
8의 3제곱 곱하기 4의 제곱 = 2의(제곱을 구하라) 인데 정답이 뭘가요.....
8 = 2^3 이잖아요.
4 = 2^2이고요.
이렇게 바꾼 내용을 본문의 공식에 넣어보세요.
2^x×4^x 는 뭐에요?
4 = 2^2 이니까 4^x = (2^2)^x = 2^(2x)예요.
나머지 과정은 공식에 넣으면 답이 바로 나오죠?
2^3+2^5 = 왜 2^3 × 5 가 되나요? 답이 같다는 것은 알겠는데 왜 저런 계산이 나왔는지 이해가 안가서요. 위에서 2^3+2^5=(2×2×2)+(2×2×2×2×2)=8+32=40 여기까지는 이해가 가는데 이 뒤에 40=2^3 × 5 나와있는 부분이요.
40을 소인수분해 한 거예요.
너무 유용하네요! 감사합니다
댓글 고맙습니다. ㅎ
모르는게 있었는데 보면서 이해가 됐어요! 감사합니다😀
다른 거 또 모르는 거 생기면 찾아오세요.
2의 3승이다 라고 하는데 그게 제곱인가요?
네, 맞아요.
자세한 건 거듭제곱 http://mathbang.net/198 을 참고하세요.
지수가 음수가 될 때 역수가 되는 건 어떻게 증명할 수 있을까요?
고등과정의 지수의 확장 - 정수에 설명되어 있어요.
https://mathbang.net/586
혹시-(-짝수)의2제곱은무엇으로쓰나요?
-(짝수)^2이요.
괄호 밖의 (-)는 그대로고, 괄호 안의 (-)는 제곱을 하면 (+)로 바뀌는데 생략할 수 있어요.
정수의 곱셈 참고해주세요.
https://mathbang.net/217