순환소수는 분수로 나타낼 수 있어요. 분수로 나타낼 수 있다는 얘기는 유리수라는 얘기죠. 반대로 순환하지 않는 무한소수는 분수로 나타낼 수 없어요. 따라서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니에요.
이 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공부할 거예요. 그냥 글만 보고 이해하기에는 너무 어려운 내용이라서 여러 번 반복해서 읽어봐야 이해가 될 겁니다. 어렵긴 하지만 원리를 이해하면 답을 바로 구할 수 있는 공식도 있으니까 끝까지 집중해서 잘 보세요.
글로 된 설명과 그림을 잘 비교하면서 읽어보세요.
순환소수를 분수로 나타내는 방법
순환소수를 분수로 나타낼 때 가장 중요한 건 10의 거듭제곱을 곱해주는 거예요. 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 이하 자리를 같게 만들어준 다음 없애주는 거지요.
순환소수 을 분수로 나타내보죠.
을 풀어서 쓴 0.33333…을 x라고 해 볼까요?
x = 0.33333… 이걸 ①식이라고 하고, ①의 양변에 10을 곱해보죠.
10x = 3.33333…이 돼요. 이걸 ②식이라고 할게요.
①과 ②의 소수점 이하 부분이 같아요. ②식에서 ①을 빼보죠. 식을 뺄 때는 좌변끼리 빼고, 우변끼리 빼는 거예요.
으로 쓸 수 있어요.
방법이 정말 복잡해서 이해하기 어려운 내용이에요. 잘 보셔야 해요.
순환소수를 분수로 나타내기
- 주어진 순환소수를 x로 놓는다.
- 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ②식
- 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. ……… ③식
- ② - ③
- 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
- 약분
을 분수로 나타내는 과정이에요. 설명하다 보니 숫자가 복잡한데, 실제 이렇게 복잡한 숫자는 나오지 않아요.
약분하면 이 되네요.
다음 순환소수를 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식을 <보기>에서 찾으시오.
<보기> 10x - x, 100x - x, 1000x - x
100x - 10x, 1000x - 10x
1000x - 100x
소수점을 옮길 때 얼마를 곱해줘야 하는지 찾는 문제입니다. 소수점이 (순환마디 뒤에 있을 때) - (순환마디 앞에 있을 때)가 되어야 해요.
(1)은 순환마디가 2이므로 2 뒤에 소수점이 오려면 10을 곱해서 10x, 2 앞에 소수점이 있으니까 그냥 그대로 x로 하면 되겠네요. 이 둘을 뺀 10x - x가 가장 편리한 식입니다.
(2)는 순환마디가 34이므로 소수점이 34 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 34 앞에 오려면 10을 곱해서 10x가 되므로 1000x - 10x가 되어야 하고요.
(3)은 순환마디가 3으로 소수점이 3 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 3 앞에 오려면 100을 곱해서 100x가 되므로 1000x - 100x가 되겠네요.
순환소수를 분수로 나타내는 공식
위의 과정으로 순환소수를 분수로 나타내다 보니 너무 복잡해요. 그래서 결과로 바로 갈 수 있는 공식이 있는데, 이걸 외워야 합니다. 그런데 위 내용을 모르면 공식을 외울 수 없어요. ㅠㅠ
공식이라고 해서 딱 줄여서 쓸 수 있는 표현법이 마땅히 없어요. 설명을 잘 보고 이해하세요.
순환소수를 분수로 나타내는 거니까 분모, 분자가 있겠죠?
분모는 순환마디의 숫자만큼 9를 써줘요. 순환마디가 두 자리면 99, 세 자리면 999를 쓰는 거죠. 그리고 소수점 이하 자리에서 순환마디가 아닌 자리의 개수만큼 9 뒤에 0을 써줘요.
위 그림의 는 순환마디가 3자리이므로 999를 먼저 쓰고 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자가 하나 있으니까 뒤에 0을 붙인 9990이 분모가 되는 거예요.
분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 그냥 빼주세요. 에서 소수점을 고려하지 않은 전체 수는 10123이고 순환하지 않는 부분의 수는 10이죠. 10123 - 10 = 10113이 분자가 됩니다.
순환소수를 분수로 나타내는 공식
- 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
- 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
- 분자, 분모를 약분
0.2353535………를 공식을 이용해서 분수로 바꾸는 과정이에요.
다음 순환소수를 분수로 나타내어라.
(1) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 2개이므로 분모는 900
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 1235, 순환하지 않는 부분의 숫자는 123이므로 분자는 1235 - 123
(2) 순환마디는 3자리이므로 분모는 999
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 123, 순환하지 않는 부분은 0이므로 분자는 123 - 0
(3) 순환마디는 2자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 1개이므로 분모는 990
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 12345, 순환하지 않는 부분은 123이므로 분자는 12345 - 123
(4) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 0개이므로 분모는 9
소수점을 고려하지 않는 전체수는 9, 순환하지 않는 숫자는 0이므로 분자는 9 - 0
0.9999999999……… 라서 절대로 1은 안될 것 같은데, 1하고 같아요.
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정말 좋은정보 감사합니다. 이해가 안됬는데 이글 보고 이해 완벽히 됬네요 ㅎㅎ :) 좋은글 감사하고, 앞으로도 많은 글 써주세요 ㅎㅎ 새해복 많이받으세요 ㅎ
앞으로도 계속 운영할 겁니다. ㅎㅎ
님도 새해복 많이 받으세요.
두번째공식은 아무거나 사용해도문제없는건가요?
네, 순환소수라면 상관없어요.
오..!!!덕분에 헷갈렸던 개념이었는데 바로잡고 갑니다!
잘 정리되어있는 예제가 무척이나 인상깊군요.^^
공식이라고 딱 표현할 수 없는 내용이라서 헷갈릴 수가 있어요. 연습을 많이 해보세요.
순환소수 0.262626...을 분수로는 어떻게 나타내죠?
본문의 내용이 그 내용입니다. 본문을 충분히 읽어보면 알 수 있어요.
0.944444....같은것은 분수로 어떻게 나타내나요.
본문에 나온 내용을 충분히 이해한다면 0.94444.. 정도는 분수로 쉽게 나타낼 수 있을 거예요. 본문을 다시 읽어보세요.
인쇄할수잇나욤?
인쇄 기능은 따로 없어요.
다음 순환소수를 분수로 나타내어라 라는 문제에서
1번 문제 맨마지막으로 나온 답이 2로 한번 더 약분 가능해요
덕분에 어려울때마다 여기 찾아와서 궁금증 해결해가고가여 감사해요 ㅠㅠㅠㅠㅠ
그러네요. ㅠㅠㅠ
어려울 때만 오지말고 매일 와요. ㅎㅎ
순환소수 0.9999...는 9/9니까 1 이되는데 어디서 오류가 난걸까요??
오류 없어요. 생긴 것만 다를 뿐 둘이 같은 거예요.
양변에 10을 어떡해 곱하는거예요???
제가 잘 몰라서요ㅜ
식의 모든 항(양변에 있는 모든 항)에 10을 곱해줘요.
정말 설명 잘 해주시는데 죄송해요ㅜ
제가 약분하는 법을 잘 몰라서 알려주심 안될까요?
죄송합니다ㅠ
약분은 초등과정인데요.
이 블로그에는 약분이 없어요. 다른 블로그나 인강을 보시면 어렵지 않게 이해하실 수 있을 거예요. 초등과정이라서 쉬우니까 부담갖지 마시고 가벼운 마음으로 공부해보세요.
좋은 글 잘보고 가요~
좋은 글에 좋은 댓글 남겨주셨군요.
또 오세요.~
음수인 순환소수는 어떻게 기약분수로 나타내나요?
기약분수로 나타내는 방법은 양수, 음수 모두 같아요.
시험인데 이거 보고 요점 정리해요 감사합니다
시험 잘 보세요.
까먹었었는데 이글보고 안까먹겠네요 ㅋㅋ
이제는 까먹지 마세요.
그럼 영점 구 땡은 분수로 나타내면 1과 같은 것이 되는 건 가요? (영점 구 땡 은요 : 제가 다니는 학원에선 선생님께서 --땡 이라고 하시더라고요 ㅎㅎ)
본문 제일 마지막에 분수로 바꿔서 설명을 했을 뿐, 분수로 나타내도 분수로 나타내지 않아도 1이에요.
머리에서 연기 나오네요..
내가 이렇게 기초가 없었다니ㅜㅜ
근데 이거 고등에서도 안쓰이지 않나요?ㅜㅜ
이 단원 지나면 아무데서도 나오지 않아요. ㅋㅋ
그렇다고 해서 안하고 그냥 넘어가서는 안되니 머리 열 식으면 다시 도전해보세요.
너무 어려운 것 같아요ㅠㅠ
한 번에 이해가 되지 않을 때가 있어요. 그럴 때는 며칠 뒤에 천천히 잘 줄씩 정독해서 읽어보시면 이해가 될 거예요.
시차를 두고 여러 번 읽어보면 이해가 되거든요.
진짜 교과서 엄청 보고 문제집 잔뜩 봐도 이해가 하나도 안 갔었는데 이 글 보고 바로 이해가 갔어요ㅜㅜ 진짜 감사합니다 알러뷰!!!!
수학방님
제가 순환소수를 풀고있었는데 이 문제가 너무 어렵네요
ㅣㅣㅣㅣㅣㅣ(정수)
순환소수는 --------------로 나타낼수 있다
ㅣㅣㅣㅣ(0이 아닌 정수)
이것좀 알려주세요 ox 형식입니다
정답에는 o로 나오는데 전 x가 나와서... 부탁드립니다
마지막 예제에 나와있는 0.9999.... = 1이라는 걸 이용하는 문제인 듯 보이기도 한데, 정확하게 어디를 OX로 판단하라는 건지 이해가 되지 않네요.
정말 유익합니다 감사합니다 모르는 문제는 여기 오면 해결되네용
처음부터 여기서 공부하면 모르는 문제가 있을 리가 없어요. ㅎ