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새로운 용어가 나오는데, 그 차이가 애매해서 뭔지 잘 모를 수 있어요. 작은 차이를 잘 이해해야 합니다.

개념을 이해하기 어려워서 그렇지 실제 계산하는 건 어렵지 않아요. 반대로 개념을 못 잡으면 쉬운 계산도 할 수 없어요.

양이 별로 많지 않으니 굳이 나눠서 하기보다는 글 하나에 모두 담겠습니다. 차이를 서로 비교하는 데 조금 더 도움이 될 거예요.

오차의 한계와 참값의 범위는 서로 연관성이 높으니까 잘 보세요.

참값, 근삿값, 오차

참값은 진짜 값이에요. 나이, 개수, 번호 등 실제 값 등은 대체로 참값이에요. 물론 어림잡아 말하는 값들은 나이나 개수더라도 참값이 아닐 수도 있어요.

측정값은 자나 저울 등의 기구로 측정해서 얻은 값이에요. 길이나 무게, 부피 등이 있겠지요. 근삿값은 참값은 아니지만, 참값에 가까운 값이에요. 측정값은 모두 근삿값이에요.

측정값이라 하더라도 문제에서 참값이라고 하면 그건 참값이에요. 예를 들어 "참값이 1.25m인 책상의 길이를 다시 재봤더니 1.30m가 나왔다"는 문제에서 1.25m라는 값도 실제로는 길이를 재봤으니까 알 수 있는 값으로 측정값이에요. 하지만 문제에서 참값이라고 했으니까 참값이라고 생각해야 합니다. 1.25m는 참값, 1.30m는 측정값이죠.

오차는 참값과 근삿값의 차이인데, 근삿값에서 참값을 빼서 구합니다. 빼는 순서가 중요하니까 주의하세요. 오차는 양수일 수도 있고, 음수일 수도 있어요.

오차 = 근삿값 - 참값

다음을 참값과 근삿값으로 나누어라.
(1) 3반의 학생 수는 30명이다.
(2) 수정이의 키는 163cm이다.
(3) 집에서 학교까지의 거리가 1.3km다.
(4) 빅토리아가 반장 선거에서 얻은 표는 25표이다.
(5) 어제 비가 15mm 내렸다.
(6) 엠버는 2학년 5반이다.

사람 수, 개수 등은 참값이고 자나 저울 등으로 재서 얻은 측정값은 근삿값이에요.

(1), (4), (6) 번은 개수와 번호로 참값이고, (2), (3), (5)는 길이, 거리, 부피로 기구를 이용해서 측정한 근삿값입니다.

무게가 230g인 연필을 진리와 선영이가 저울을 이용하여 무게를 쟀더니 진리는 235g, 선영이는 220g이 나왔다. 두 사람이 측정한 값의 오차를 구하여라.

먼저 문제에서 "무게가 230g"이라고 했는데, 이 230g은 저울을 이용해서 얻은 측정값이라고 생각할 수 있어요. 하지만 문제에서 주어진 만큼 참값이라고 생각해야 합니다.

오차 = 근삿값 - 참값이므로 여기에 넣어서 오차를 구해보죠.
진리의 오차 = 235 - 230 = 5(g)
선영이의 오차 = 220 - 230 = -10(g)

오차의 한계

어떤 수를 일의 자리에서 반올림해서 130이라는 값을 얻었다고 해보죠. 그렇다면 어떤 수 x는 125 ≤ x < 135에요. 130은 반올림해서 얻은 값이므로 근삿값이고, 125와 135 사이의 어떤 수가 참값이지요.

오차를 구해보면 130 - 125 = 5일 때 가장 크고, 130 - 135 = -5일 때 가장 작아요. -5 < 오차 ≤ 5

오차의 한계는 오차가 가장 클 때의 절댓값을 말해요. 위 경우에서는 5가 되겠죠.

오차는 오차의 한계 내에서 생길 수 있어요. 오차의 한계를 넘어가는 오차는 없는 거죠.

1cm 단위만 표시된 자를 이용해서 연필의 길이를 쟀다고 해보죠. 이 연필이 9cm와 10cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있어요. 그럼 10cm라고 얘기할 수 있죠? 이 10cm는 근삿값이에요. 연필이 9cm보다는 10cm에 더 가깝게 있었기 때문에 실제 연필의 길이는 9.5cm보다는 길거나 같아요.

이번에는 다른 연필을 쟀더니 10cm와 11cm 사이에 있는데, 10cm 눈금에 더 가깝게 있을 때도 10cm라는 근삿값을 얻을 수 있어요. 이때 연필은 10.5cm보다는 더 짧을 거예요.

두 경우에서 모두 10cm라는 길이를 얻었어요. 하지만 실제 길이는 9.5cm ≤ 연필의 길이 < 10.5cm에요.

-0.5 < 오차 ≤ 0.5로 오차가 가장 클 때의 절댓값은 0.5cm에요. 1cm 단위의 자에서 오차의 한계는 0.5cm인 거죠.

오차의 한계는 아래 방법으로 구할 수 있어요.

반올림했을 때: 반올림 받은 자리의 절반
기구를 이용해서 측정했을 때: 최소눈금 단위의 절반
오차의 한계는 절댓값이므로 무조건 양수

다음에서 오차의 한계를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

반올림했을 때 오차의 한계는 반올림 받은 자리의 절반이고, 도구를 이용하여 측정했을 때는 최소눈금 단위의 절반이에요. 오차의 한계를 구할 때 근삿값은 전혀 신경 쓰지 않아도 됩니다. 어느 자리에서 반올림했는지 최소눈금 단위가 얼마인지만 보세요.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

참값의 범위

근삿값과 오차만 알고, 실제 참값을 모를 때는 참값의 대략적인 범위만 알 수 있어요.

(오차) = (근삿값) - (참값)에서 이항하면 (참값) = (근삿값) - (오차)에요. 그런데 오차를 정확하고 알고 있으면 상관없지만, 오차를 범위로 알고 있을 때, 즉 오차의 한계만 알고 있을 때는 참값을 딱 떨어지는 어떤 값으로 얘기할 수 없어요. 오차는 -(오차의 한계)와 +(오차의 한계) 사이에서 생기기 때문에, 이 오차를 위 식에 대입해서 참값의 범위를 구할 수 있어요.

(근삿값) - (오차의 한계) ≤ (참값의 범위) < (근삿값) + (오차의 한계)

잘 보세요. 왼쪽에는 등호가 있고, 오른쪽에는 등호가 없어요.

다음에서 참값의 범위를 구하여라.
(1) 십의 자리에서 반올림하여 얻은 수 1200
(2) 최소눈금이 10cm인 자로 측정하여 얻은 1m 50cm
(3) 최소눈금이 5g인 저울로 측정하여 얻은 300g

참값의 범위를 구할 때는 먼저 오차의 한계를 구해야 해요. 그리고 근삿값과의 합, 차를 이용해서 참값의 범위를 구하죠.

(1) 십의 자리에서 반올림을 했으니까 백의 자리가 반올림을 받은 자리에요. 오차의 한계는 100 ×  = 50

1200 - 50 ≤ 참값의 범위 < 1200 + 50
1150 ≤ 참값의 범위 < 1250

(2) 최소눈금 단위가 10cm이므로 오차의 한계는 10 ×  = 5(cm)

(150 - 5)cm ≤ 참값의 범위 < (150 + 5)cm
145cm ≤ 참값의 범위 < 155cm

(3) 최소눈금 단위가 5g이므로 오차의 한계는 5 ×  = 2.5(g)

(300 - 2.5)g ≤ 참값의 범위 < (300 + 2.5)g
297.5g ≤ 참값의 범위 < 302.5g

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현재 우리가 공부했던 가장 큰 수 체계는 유리수예요. 자연수, 정수, 유리수로 그 영역을 넓혀왔죠. 그렇다면  순환소수는 자연수, 정수, 유리수 중에 어느 영역에 속할까요?

순환소수는 기본적으로 소수예요. 그러니까 순환소수가 유한소수인지 무한소수인지도 알아봐야겠죠.

순환소수도 숫자니까 대소를 비교할 수 있어야 하고, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산도 할 수 있어야 해요. 다만, 순환소수는 그 상태 그대로 사칙연산을 하지 않고 변형을 시켜서 사칙연산을 하는데 그 방법을 알아보죠.

순환소수와 유리수

소수에는 유한소수와 무한소수가 있다고 했어요. 순환소수는 같은 부분이 끝도 없이 계속 반복되니까 무한소수예요. 순환소수를 분수로 바꿨더니 아주 잘 바뀌었어요. 분수로 나타낼 수 있는 수는 유리수이므로 순환소수는 유리수지요.

그에 반해 어떤 소수는 특정 부분이 반복되지 않으면서 끝없이 이어지는 소수도 있겠죠? 이 소수도 끝이 없이 계속되니까 무한소수인데, 순환하는 부분이 없어서 순환하지 않는 무한소수라고 합니다. 3.141592…인 원주율 π가 대표적인 순환하지 않는 무한소수예요. 순환하지 않는 무한소수는 분수 꼴로 바꿀 수 없어요. 유리수가 아니에요.

모든 유한소수는 유리수
무한소수 중에서 순환소수는 유리수
무한소수 중에서 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아니다.
→ 무한소수 중에는 유리수도 있고, 유리수가 아닌 것도 있다.

순환소수의 대소비교

소수의 대소비교는 자연수 부분부터 비교하는 거 알고 있죠? 자연수 부분이 같다면 소수점 이하 자릿수를 하나씩 비교하고요. 순환소수도 소수의 한 종류니까 그 방법 그대로 합니다.

순환소수는 순환마디를 그냥 쭉 풀어서 둘을 비교하면 돼요.

세 순환소수에서 소수 셋째 자리까지는 같고, 소수 넷째 자리의 숫자를 보니 순서네요.

순환마디를 풀어서 쓰지 않고 분수로 바꿔서 통분한 다음에 크기를 비교할 수도 있어요.

순환소수의 사칙계산

순환소수의 계산을 할 때는 분수로 바꿔서 계산해요. 순환마디를 쭉 풀어서 계산할 수도 있지만 받아 올림이 생기는 경우라면 계산이 틀리게 될 수 있거든요. 순환소수를 분수로 바꾼 다음에는 통상적인 분수의 계산대로 통분하고, 계산, 약분하면 돼요.

분수로 바꿔서 계산한 다음에 답은 그냥 분수로 둬도 돼요. 굳이 다시 소수로 바꿀 필요는 없어요.

1. 순환소수를 분수로
2. 통분
3. 계산
4. 약분

다음을 계산하여라.

순환소수가 포함된 계산에서는 순환소수를 분수로 바꿔서 계산합니다.

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순환소수는 분수로 나타낼 수 있어요. 분수로 나타낼 수 있다는 얘기는 유리수라는 얘기죠. 반대로 순환소수 아닌 무한소수는 분수로 나타낼 수 없어요. 따라서 순환소수 아닌 무한소수는 유리수가 아니에요……

이 글에서는 순환소수를 분수로 나타내는 방법을 공부할 거예요. 그냥 글만 보고 이해하기에는 너무 어려운 내용이라서 여러 번 반복해서 읽어봐야 이해가 될 겁니다. 어렵긴 하지만 원리를 이해하면 답을 바로 구할 수 있는 공식도 있으니까 끝까지 집중해서 잘 보세요.

글로 된 설명과 그림을 잘 비교하면서 읽어보세요.

순환소수를 분수로 나타내는 방법

순환소수를 분수로 나타낼 때 가장 중요한 건 10의 거듭제곱을 곱해주는 거예요. 10의 거듭제곱을 곱해서 소수점 이하 자리를 같게 만들어준 다음 없애주는 거지요.

순환소수 을 분수로 나타내보죠. 을 풀어서 쓴 0.33333…을 x라고 해 볼까요π

x = 0.33333… 이걸 ①식이라고 하고, ①의 양변에 10을 곱해보죠.
10x = 3.33333…이에요. 이걸 ②식이라고 할게요.

①과 ②의 소수점 이하 부분이 같아요. ②식에서 ①을 빼보죠. 식을 뺄 때는 좌변끼리 빼고, 우변끼리 빼는 거예요.

방법이 정말 복잡해서 이해하기 어려운 내용이에요. 잘 봐야 해요.

순환소수를 분수로 나타내기

1. 주어진 순환소수를 x로 놓는다. - ①식
2. 소수점이 순환마디 뒤에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ②식
3. 소수점이 순환마디 앞에 오도록 10의 거듭제곱을 곱한다. - ③식
4. ② - ③
5. 좌변, 우변을 정리 후 x의 계수로 양변을 나눠준다.
6. 약분

을 분수로 나타내는 과정이에요. 설명을 하다 보니 숫자가 복잡한데, 실제 이렇게 복잡한 숫자는 나오지 않아요..

약분하면 이네요.

다음 순환소수를 분수로 나타낼 때, 가장 편리한 식을 <보기>에서 찾으시오..
<보기> 10x - x, 100x - x, 1000x – x
           100x - 10x, 1000x – 10x
           1000x – 100x

소수점을 옮길 때 얼마를 곱해줘야 하는지 찾는 문제입니다. 소수점이 (순환마디 뒤에 있을 때) - (순환마디 앞에 있을 때)가 되어야 해요.

(1)은 순환마디가 2이므로 2 뒤에 소수점이 오려면 10을 곱해서 10x, 2 앞에 소수점이 있으니까 그냥 그대로 x로 하면 되겠네요. 이 둘을 뺀 10x - x가 가장 편리한 식입니다.

(2)는 순환마디가 34이므로 소수점이 34 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 34 앞에 오려면 10을 곱해서 10x가 되므로 1000x - 10x가 되어야 하고요.

(3)은 순환마디가 3으로 소수점이 3 뒤에 오려면 1000을 곱해서 1000x, 소수점이 3 앞에 오려면 100을 곱해서 100x가 되므로 1000x - 100x가 되겠네요..

순환소수를 분수로 나타내는 공식

위의 과정으로 순환소수를 분수로 나타내다 보니 너무 복잡해요. 그래서 결과로 바로 갈 수 있는 공식이 있는데, 이걸 외워야 합니다. 그런데 위 내용을 모르면 공식을 외울 수 없어요.

공식이라고 해서 딱 줄여서 쓸 수 있는 표현법이 마땅히 없어요. 설명을 잘 보고 이해하세요.

순환소수를 분수로 나타내는 거니까 분모, 분자가 있겠죠?

분모는 순환마디의 숫자만큼 9를 써줘요. 순환마디가 두 자리면 99, 세 자리면 999를 쓰는 거죠. 그리고 소수점 이하 자리에서 순환마디가 아닌 자리의 개수만큼 9 뒤에 0을 써줘요.

위 그림의 는 순환마디가 3자리이므로 999를 먼저 쓰고 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자가 하나 있으니까 뒤에 0을 하나 붙인 9990이 분모가 되는 거예요.

분자는 소수점을 고려하지 않은 전체 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 그냥 빼주세요.  에서 소수점을 고려하지 않은 전체 수는 10123이고 순환하지 않는 부분의 수는 10이죠. 10123 - 10 = 10113이 분자가 됩니다.

순환소수를 분수로 나타내는 공식

1. 분모는 순환마디의 숫자 개수만큼 9를 써주고, 9 뒤에 소수점 이하에서 순환마디가 아닌 숫자의 개수만큼 0을 붙여준다.
2. 분자 = (소수점을 고려하지 않은 전체 수) - (순환하지 않는 부분의 수)
3. 분자, 분모를 약분

0.2353535………를 공식을 이용해서 분수로 바꾸는 과정이에요.

다음 순환소수를 분수로 나타내어라.

(1) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 2개이므로 분모는 900
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 1235, 순환하지 않는 부분의 숫자는 123이므로 분자는 1235 - 123

(2) 순환마디는 3자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자가 없어서 0을 붙일 필요가 없으므로 분모는 999
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 123, 순환하지 않는 부분은 0이므로 분자는 123 - 0

(3) 순환마디는 2자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 1개이므로 분모는 990
소수점을 고려하지 않은 전체 수는 12345, 순환하지 않는 부분은 123이므로 분자는 12345 - 123

(4) 순환마디는 1자리, 소수점 이하 순환하지 않는 숫자는 0개이므로 분모는 9
소수점을 고려하지 않는 전체수는 9, 순환하지 않는 숫자는 0이므로 분자는 9 - 0

0.9999999999………라서 절대로 1은 안될 것 같은데, 1하고 같아요. 0.99990.9999999999……… 가 1과 같은 이유

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소수에 대해서 공부하고 있어요.

이번 글에서는 소수 중에서 순환소수에 대해서 공부할 거예요. 순환소수의 특징과 순환소수를 표시하는 방법까지요. 순환소수는 순환마디라는 걸 이용한 특별한 표시 방법이 있거든요.

또 순환소수는 유한소수와 무한소수 중 어디에 속하는지도 알아볼 거예요. 정의만 알면 금방 알 수 있는 부분이긴 하죠.

나눗셈을 많이 해야 하기 때문에 조금은 귀찮은 내용일 수도 있지만 잘 참고 해봐요.

순환소수와 순환마디

순환이라는 단어는 주기적으로 반복되는 걸 말해요. 그러니까 순환소수는 어떤 게 주기적으로 반복되는 소수를 말하죠. 소수점 아래의 일정한 숫자의 배열이 반복되는 소수를 순환소수라고 해요.

예를 들어 0.3333…은 3이 계속 반복되죠? 0.121212…는 12가 계속 반복돼요. 이런 걸 순환소수라고 합니다. 참고로 0.123124125126…은 12O가 반복되는 특징이 있지만 이건 순환소수가 아니에요. 똑같은 게 계속 반복되어야 해요.

순환소수에서 소수점 아래의 반복되는 부분을 순환마디라고 해요. 0.3333…에서는 3, 0.121212…에서는 12가 순환마디가 되는 거죠.

0.1212121…에서 소수 둘째 자리부터 21이 계속 반복된다고 볼 수도 있어요. 순환마디가 21이 아니냐고 할 수도 있겠죠? 하지만 무조건 처음 반복되는 것부터 순환마디를 정해야 해요.

순환소수를 쓸 때는 …을 찍어서 쓸 수도 있지만 좀 더 정확한 표현법이 있어요. 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자의 바로 위에 점을 찍어서 표시해요. 순환마디가 한 자리일 때는 점을 한 번만 찍고요.

0.123123…에서는 순환마디가 123이죠? 첫 번째 1과 마지막 3의 위에 점을 찍어서 나타냈어요.

다음 분수를 순환소수로 나타내어라.

분수를 순환소수로 나타내려면 실제로 나누기를 해봐야 해요. 그래서 반복되는 부분을 찾아야 하죠. 반복되는 부분이 순환마디이고, 순환마디의 첫 번째와 마지막 숫자 위에 점을 찍어서 나타냅니다.

(1) 로 소수점 아래에서 5가 계속 반복돼요. 5가 순환마디죠. 따라서 순환소수로 나타내면 가 되겠네요.

(2) 에서는 6이 반복되는 순환마디에요. 순환소수로 나타내면 이 됩니다.

(3)에서는 소수점 아래의 15가 계속 반복되는 순환마디에요. 순환소수로 나타내면 이에요.

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새로운 학년이 되었네요. 1학년 수학은 기초편이고, 이제부터 진짜 수학이 시작되는 거예요. 재밌겠죠? 조금 어렵긴 하지만 1학년 때보다는 덜 지루할 거예요.

처음으로 공부할 내용은 유리수의 확장판인데요, 유리수를 조금 더 세분화해서 나눌 거예요. 유한소수와 무한소수입니다. 우리가 알고 있던 유리수를 조금 더 자세히 공부하는 거죠.

유한소수와 무한소수의 뜻과 차이점을 알아봐요. 첫 시간인 만큼 조금만 할게요. 하지만 수의 체계와 관계있는  내용이니까 꼭 기억하고 있어야 해요.

유리수

일단 1학년 때 배웠던 유리수에 대해서 한 번 정리해볼까요?

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수라고 했어요. 부호에 따라 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있지요. 유리수를 다른 방법으로 분류하면, 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다고도 했어요.

유한소수와 무한소수

정수 아닌 유리수를 조금 더 자세히 나눠보죠.

유리수는 분수꼴로 나타냈었는데, 이걸 소수로 바꿔보는 거예요. 여기서 소수는 소수와 합성수에서의 소수가 아니라 0.1, 0.2처럼 소수점이 있는 숫자를 말해요.

는 소수점 아래 숫자가 어느 정도 이어지다가 멈추는 소수지만 는 0.6666…처럼 소수점 아래에서 숫자가 멈추지 않고 계속되죠? 이렇게 분수를 소수로 바꿨을 때 숫자가 계속되지 않고 멈추는 소수를 유한소수, 멈추지 않고 계속해서 이어지는 소수를 무한소수라고 해요.

0.5000…처럼 0이 계속되는 건 무한소수가 아니라 유한소수입니다. 0은 취급하지 않아요.

유한소수와 무한소수를 조금 더 정확하게 정의하면 아래와 같아요.

유한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수
무한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수

유한소수의 유한은 한계가 있다는 뜻으로 소수점 아래의 숫자들이 끝나는 지점이 있다는 얘기에요. 무한소수의 무한은 소수점 아래에 숫자들이 끝도 없이 계속된다는 뜻이고요.

유한소수와 무한소수 구별법

어떤 분수가 유한소수인지 무한소수인지를 구별하려면 실제로 분자를 분모로 나눠봐야 할까요? 소수점 아래 100번째 자리에서 끝날 수도 있고, 1,000번째 자리에서 끝날 수도 있는데 직접 나눠보는 건 정말 귀찮은 방법이죠. 그래서 분수를 나눠보지 않고, 유한소수인지 무한소수인지 구별하는 방법이 있는데, 이걸 알아보죠.

우선 1단계는 분수의 분자와 분모를 약분해서 기약분수로 만들어요. 그다음 분모를 소인수분해합니다. 분자는 할 필요 없어요. 분모의 소인수가 2나 5뿐이라면 이 분수는 유한소수, 2나 5 외에 다른 소인수가 있다면 이 분수는 무한소수에요.

소인수가 2나 5뿐이라는 건 거듭제곱이어도 상관없다는 거예요. 2, 2², 2³, 5, 5², 2² × 5³ 등 어떤 것도 가능하다는 얘기죠.

몇 가지 해볼까요?

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해했더니 소인수가 2만 있어요. 2나 5만 있으면 유한소수니까 2만 있는 은 유한소수로 나타낼 수 있어요. 실제 소수로 나타내면 0.25에요.

만약에 기약분수로 약분하지 않고 바로 소인수분해를 해버리면 분모가 120 = 2³ × 3 × 5가 돼요. 그러면 분모에 2, 5 말고 3이 있으니까 무한소수로 나와서 답이 틀리게 되죠. 따라서 꼭 기약분수로 약분을 먼저 해야 합니다.

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해 했더니 3과 5가 있네요. 5 외에 3이 있으므로 무한소수에요. 실제 소수로 나타내면 0.466666…이 네요.

다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 걸 모두 고르시오.

분수가 유한소수인지 무한소수인지 구별하려면 기약분수로 약분한 다음, 분모를 소인수분해해서 소인수가 2나 5뿐인지 보는 거죠.

(1) 에서 분모의 소인수에 11이 있으니까 무한소수네요.

(2) 에서 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수

(3) 에서 분모의 소인수가 2, 5뿐이므로 유한소수

(4) 에서 분모의 소인수에 3이 있으므로 무한소수

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[중등수학/중1 수학] - 유리수, 유리수의 분류

중2 수학 마지막 글입니다. 벌써 끝이라니 ㅠㅠ. 2학년 과정을 다 마친 다음에는 중3 수학을 미리 예습해보세요.

닮은 도형의 활용에서 제일 중요한 건 닮음비에요. 닮음비는 비니까 계산할 때도 비례식을 세워서 계산하는 게 핵심이죠. 비례식 세우는 건 그렇게 어려운 일은 아니잖아요. 계산도 그렇고요.

그런 면에서 닮은 도형의 활용은 다른 단원에서 나오는 활용문제보다 조금은 쉬운 편이라고 할 수 있어요.

문제 유형에 따라 조금 더 쉬운 방법이 있을 수는 있겠지만, 굳이 유형별 문제 풀이법을 따로 익히기보다는 쉽고 공통으로 사용할 수 있는 비례식을 사용하는 게 제일 좋아요.

닮은 도형의 활용

지도에서 거리 구하기

지도는 실제 지형을 작게 표시해서 평면에 나타낸 거예요. 작게 표시할 때 그냥 작게 표시하는 게 아니라 실제 거리를 일정한 비율로 줄이죠. 작게 줄일 때 사용하는 일정한 비율을 바로 축척이라고 하고요. 바로 이 축척이 닮은 도형의 닮음비에 해당합니다.

지도의 축척은 보통 비례식이나 분수로 나타내요. 1 : 50,000이나 으로요. 여기서 1은 지도상에서의 거리, 50,000은 실제 거리로 지도의 1cm는 실제 50,000cm라는 걸 의미해요.

지도의 축척을 주고, 지도상의 거리가 실제로는 몇 m인지 구하거나 반대로 실제 거리가 지도에는 몇 cm로 표시되는지 묻는 문제가 많이 나와요. 실제 거리를 구할 때와 지도상의 거리를 구할 때 모두 공식으로 외워서 문제를 풀기도 하지만 딱히 추천하지는 않아요. ", 지도상의 거리 = 실제 거리 × 축척"이라는 공식이 있는데, 외우려면 헷갈려요.

축척은 비례니까 계산할 때도 "1 : 50,000 = 지도상의 거리 : 실제 거리"처럼 비례식을 세우는 게 더 나은 방법이에요. 좌변은 축척, 우변에는 거리를 쓰는 거죠. 물론 위 공식은 이 비례식을 계산해서 나온 것이긴 하지만 보다 확실하고 안전한 게 좋죠.

축척이 주어진 지도에서 실제 거리 구하기
축척 = 닮음비
공식을 이용하기보다는 비례식을 세워서 계산
문제에서 요구하는 단위에 맞게 숫자 변환

단위를 변환할 때, 가지 주의해야 할 게 있어요.

1m = 100cm, 1km = 1,000m = 100,000cm인 건 다 알고 있을 거예요. 거리를 하는 건 별로 어렵지 않아요. 넓이를 변환하는 게 문제죠.

1m² = 10,000cm², 1km² = 1,000,000m²이에요. 단위만 제곱하는 게 아니라 숫자도 제곱을 해줘야 해요.

축척이 인 지도에서 다음을 구하여라.
(1) 두 지점 사이의 거리가 10cm일 때 실제 두 지점 사이의 거리는 몇 km인지 구하여라.
(2) 지도에서 넓이가 2cm²인 부분의 실제 넓이는 몇 m²인지 구하여라.

(1) 은 비례식으로 나타내면 1 : 50,000이에요. 지도에서 1cm는 실제 거리로는 50,000cm라는 거지요. 문제에서 구하는 건 10cm가 실제로 몇 km인지를 구하는 거잖아요. 구하라고 하는 값을 x라고 놓고 비례식으로 써보면 1 : 50,000 = 10cm : x cm라는 비례식을 세울 수 있어요.

1 : 50,000 = 10cm : x cm
x = 50,000 × 10 = 500,000(cm)

문제에서는 몇 km냐고 물어봤으니 단위에 맞게 숫자를 고쳐줘야겠죠?

500,000cm = 5,000m = 5km네요.

(2) 넓이에요. 일단 비례식을 세워보죠. 실제 넓이를 ycm²이라고 놓죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 넓이의 비는 닮음비의 제곱이라고 했어요. 따라서 1 : 50,000이 아니라 1² : (50,000)²라는 비를 사용해야 해요. (50,000)² = (5 × 10⁴)² = 25 × 10⁸이네요.

1 : 25 × 10⁸ = 2cm² : ycm²
y = 2 × 25 × 10⁸ = 50 × 10⁸ = 5 × 10⁹(cm²)

우리가 구한 값은 단위가 cm²이고, 문제에서 요구하는 단위는 m²이에요. 변환할 때 주의하세요.
1m² = 10,000cm²이니까 5,000,000,000cm² = 500,000m²입니다.

높이 구하기

건물, 나무의 높이 구하기는 축척 문제보다 조금 더 쉬워요. 그림이 함께 있으니까요. 나무 그림을 그려주고 그 옆에는 닮은 도형인 삼각형이 함께 나와요.

이런 유형은 나무가 있는 그림에서 삼각형을 찾아서 옆의 삼각형과 닮음비를 이용해서 높이를 구하면 돼요.

높이 구하기
닮은 삼각형을 찾아서 대응변의 비례식을 세워서 계산

죠스 나무의 높이를 구하기 위해 삼각형을 그리고, 그 삼각형을 축소하여 오른쪽에 나타내었다. 죠스 나무의 높이를 구하여라.

축소해서 그렸으니까 두 삼각형은 닮은 도형이에요. 죠스나무의 높이를 x m라고 하지요. 그리고 m 단위를 사용할 거니까 오른쪽 삼각형의 높이도 m로 바꿔줘야 해요. 80cm = 0.8m네요

5m : xm = 1m : 0.8m
x = 5 × 0.8 = 4(m)

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닮은 도형의 겉넓이비와 부피비예요. 겉넓이와 부피를 구하는 거니까 당연히 입체도형이라는 얘기죠.

입체도형에서 닮은 도형의 성질을 먼저 정리해볼까요? 입체도형에서는 대응하는 모서리의 길이의 비가 모두 일정해요. 이 일정한 비가 바로 닮음비지요. 그리고 대응하는 면은 서로 닮은 도형이고요.

닮은 도형의 겉넓이의 비, 닮은 도형의 부피의 비와 대응하는 모서리의 길이의 비, 즉 닮음비 사이에 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

닮은 도형의 겉넓이의 비

두 직육면체가 있어요. 두 입체도형에서 대응하는 모서리의 길이의 비는 m : n이죠.

왼쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S₁ = 2 × ma × mb + 2 × (ma + mb) × mc
   = 2m²ab + 2m²ac + 2m²bc

여기서 세 항에 모두 2m²이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2m²(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아지죠?
2m²(ab + bc + ca) = 2m²ab + 2m²bc + 2m²ca

이번에는 오른쪽 직육면체의 겉넓이를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면
S₂ = 2 × na × nb + 2 × (na + nb) × nc
   = 2n²ab + 2n²ac + 2n²bc

여기서 세 항에 모두 2n²이 들어있으니까 이걸 앞으로 빼고 나머지 부분을 전부 괄호로 넣어볼게요. 그러면 2n²(ab + bc + ca)가 되는데, 이걸 분배법칙으로 풀어보면 위 식과 같아져요.
2n²(ab + bc + ca) = 2n²ab + 2n²bc + 2n²ca

두 직육면체의 겉넓이의 비를 구해보죠.
S₁ : S₂ = 2m²(ab + bc + ca) : 2n²(ab + bc + ca) = m² : n²

닮음비가 m : n → 겉넓이 비는 m² : n²

새로운 건 아니죠? 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1에서 닮은 도형의 넓이의 비는 닮음비의 각 항을 제곱한 거라는 걸 이미 공부했잖아요. 겉넓이도 넓이니까 똑같은 거예요.

닮은 도형의 부피의 비

왼쪽 직육면체의 부피를 구해보죠. 각기둥의 부피와 겉넓이 공식에 따라서 구해보면 V₁ = ma × mb × mc = m³abc죠.

오른쪽 직육면체의 부피 V₂ = na × nb × nc = n³abc고요.

V₁ : V₂ = m³abc : n³abc = m³ : n³

닮음비가 m : n → 부피의 비는 m³ : n³

이 내용은 직육면체 뿐 아니라 원기둥, 각뿔, 원뿔, 구 등 모든 입체도형의 부피에 똑같이 적용돼요.

닮음비, 겉넓이의 비, 부피의 비

이 세 비의 관계는 단위를 생각해보면 쉽게 이해할 수 있어요. 길이의 단위, 겉넓이의 단위, 부피의 단위를 잘 보세요. 단위가 제곱이면 해당 항목도 제곱, 단위가 세제곱이면 그 항목도 세제곱이에요.

반지름이 3cm인 쇠구슬을 녹여서 반지름이 1cm인 쇠구슬을 몇 개 만들 수 있는지 구하시오.

큰 구슬을 녹여서 작은 구슬을 만든다고 했으니까 겉넓이가 아닌 부피의 비를 구해야 하는 문제예요.

작은 쇠구슬의 반지름 : 큰 쇠구슬의 반지름 = 1 : 3이에요. 이게 바로 닮음비죠. 부피의 비는 닮음비를 세제곱하는 거니까 1 : 3의 각 항을 세제곱한 1³ : 3³ = 1 : 27이네요.

작은 구슬 27개와 큰 구슬 1개의 부피가 같으니까 큰 구슬 1개로 작은 구슬 27개를 만들 수 있어요.

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이번에는 닮은 도형의 기본으로 다시 돌아가서 두 닮은 도형 사이의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같아요. 이 비를 닮음비라고 하며 모든 대응변에서 같죠. 닮은 도형에서는 대응변의 길이뿐 아니라 둘레의 길이와 넓이에도 일정한 비가 성립해요.

닮은 도형의 길이의 비(=닮음비), 닮은 도형의 둘레의 비, 닮은 도형의 넓이의 비가 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

닮은 도형의 둘레의 길이의 비

닮음비가 m : n인 두 삼각형 △ABC, △DEF가 있어요.

△ABC의 둘레의 길이를 구해보죠. ma + mb + mc인데, 여기서 m을 앞에 쓰고 m을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 m(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 ma + mb + mc가 되죠? 그러니까 둘을 같은 거죠?

m(a + b + c) = ma + mb + mc

이번에는 △DEF의 둘레의 길이를 구해보죠. na + nb + nc인데, 여기서 n을 앞에 쓰고 n을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 n(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 na + nb + nc가 되니까 둘을 같은 거예요.

n(a + b + c) = na + nb + nc

두 삼각형의 둘레의 길이의 비는 m(a + b + c) : n(a + b + c) 인데, (a + b + c)가 모두 들어있으니까 지우고 나면 m : n이에요. 닮음비와 같아요.

닮은 도형의 닮음비 = 닮은 도형의 둘레의 길이의 비
닮음비가 m : n → 둘레의 길이의 비도 m : n

닮은 도형의 넓이의 비

이번에는 닮은 도형의 넓이의 비를 구해보죠.

□ABCD와 □EFGH가 있어요. 두 도형의 닮음비는 m : n이에요.

□ABCD의 넓이 = ma × mb = m²ab
□EFGH의 넓이 = na × nb = n²ab

□ABCD : □EFGH = m²ab : n²ab

두 항 모두에 ab가 들어있으니까 약분하면 m²ab : n²ab = m² : n²가 되죠.

닮은 도형의 넓이의 비
닮음비가 m : n → 넓이의 비 m² : n²

두 원이 있다. 큰 원의 반지름은 작은 원의 반지름의 3배이고, 작은 원의 반지름이 2cm일 때, 큰 원의 넓이를 구하여라.

닮은 도형, 도형의 닮음에서 정다각형, 원 등은 항상 닮은 도형이라고 했어요. 따라서 별다른 얘기가 없어도 이런 도형들은 닮은 도형이라는 걸 전제로 하고 문제를 풀어야 해요. 그리고 원에서는 변의 길이 대신에 반지름의 길이의 비를 닮음비로 한다고 했어요.

닮음비가 1 : 3이니까 넓이의 비는 1 : 3² = 1 : 9가 되겠죠?

작은 원의 반지름이 2cm니까 넓이는 πr² = 4π(cm²)이군요.

큰 원의 넓이는 작은 원 넓이의 9배니까 4π × 9 = 36π(cm²)입니다.

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삼각형의 무게중심은 매우 중요한 내용입니다. 꼭 알고 있어야 해요.

이번에는 삼각형의 무게중심과 삼각형 넓이의 관계를 알아볼 거예요. 언제나 그랬듯이 설명은 거창하지만, 결론은 쉬워요. 이 글에서는 딱 하나의 결론만 나와요.

그렇다고 결론만 보지 말고 설명도 잘 보세요. 설명을 잘 이해하지 못하면 응용문제를 풀 수 없거든요.

삼각형의 외심과 내심에서는 넓이와 관련된 내용이 없었으니 헷갈리지는 않을 거예요.

삼각형의 중선과 넓이

먼저 삼각형의 중선과 삼각형의 넓이에 대해서 알아보지요.

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선이에요.

△ABC에 중선을 그어서 △ABD, △ACD의 두 삼각형으로 나눴어요.

평행선과 삼각형의 넓이, 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비에서 두 삼각형의 높이가 같으면 밑변의 길이의 비와 넓이의 비가 같다고 했어요. 여기서는 밑변의 길이도 같으니 넓이도 같겠죠.

위 그림에서는 로 밑변의 길이가 같아요. 높이도 같고요. 따라서 두 삼각형 △ABD, △ACD의 넓이는 같아요. 즉, 중선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이가 같은 거죠.

△ABC의 중선
△ABD = △ACD = △ABC

삼각형의 무게 중심과 넓이

△ABC에 세 중선을 그 교점을 G라고 해보죠. G는 삼각형의 무게중심이에요.

위에서 봤던 것처럼 중선으로 나누어진 삼각형은 넓이가 같아요.

△ABC의 중선 → △ABD  = △ACD ……… ①

이번에는 무게중심 G와 B, C로 이루어진 삼각형을 보죠.

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD ……… ②

연립방정식의 풀이법 - 가감법처럼 ① - ②를 해보면

△ABD - △GBD = △ACD - △GCD
△GAB = △GCA

같은 방법으로 계산하면 결국 △GAB, △GBC, △GCA 세 삼각형의 넓이가 모두 같음을 알 수 있어요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G일 때,
△GAB = △GBC  = △GCA = △ABC

조금 더 들어가 볼까요?

△GBC의 중선  → △GBD = △GCD = △GBC

△GCA의 중선  → △GCE  = △GAE = △GCA

△GAB의 중선  → △GAF = △GBF = △GAB

△GAB = △ABC이므로 결국 △GAF = △GBF = △GAB = △ABC이에요. 다른 모든 삼각형에서도 똑같아요.

△ABC에서 삼각형의 무게중심이 G이고 각 변의 중점이 D, E, F일 때
△GBD = △GCD  = △GCE  = △GAE = △GAF = △GBF
= △GAB = △GBC = △GCA
= △ABC

다음 평행사변형 ABCD에서 점 O는 두 대각선 와 의 교점, 점 F는 의 중점, 점 E는 와 의 교점이다. □ABCD의 넓이가 30cm²일 때, □OEFC의 넓이를 구하여라.

평행사변형의 성질에 따르면 두 대각선은 서로를 이등분해요. 따라서 죠. 도 △ABC의 중선이라는 거죠. 점 E는 두 중선 , 의 교점이므로 무게중심이에요.

를 그어보세요. □OEFC는 넓이가 같은 두 개의 삼각형으로 나누어지는데, 여기서 하나의 삼각형은 전체 삼각형 △ABC의 넓이의 이에요.

□OEFC = △EFC + △EOC= △ABC + △ABC = △ABC에요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나누어진 두 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 절반이에요. △ABC = □ABCD

자 이제 이 식을 위 식에 대입해보죠.

□OEFC = △EFC + △EOC = △ABC = × □ABCD = × 30 = 5(cm²)

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삼각형의 내심과 외심 기억하고 있죠? 오늘은 또 다른 삼각형의 중심을 공부할 거예요. 바로 삼각형의 무게중심이에요. 너무도 당연한 얘기지만 삼각형의 무게중심은 이름 그대로 무게의 중심입니다.

삼각형의 무게중심은 삼각형의 외심, 삼각형의 내심보다 복잡하지 않고, 내용도 더 적어요. 그래서 더 쉽게 공부할 수 있죠.

무게중심의 정의와 성질을 잘 이해하고, 외심과 내심과 구별할 줄 알아야 합니다.

삼각형의 중선

삼각형의 중선은 이름에서 유추할 수 있어요. 가운데 선이라는 뜻이죠.

삼각형의 중선은 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 연결한 선을 말해요. 삼각형에는 꼭짓점이 세 개니까 중선은 세 개가 있어요.

삼각형의 무게중심

삼각형에는 세 개의 중선이 있죠. 이 세 개의 중선은 한 점에서 만나게 되는데, 이 교점이 바로 삼각형의 무게중심이에요. 보통은 Gravity의 첫 글자를 따서 G라고 써요. (삼각형의 세 중선이 한 점에서 만나는 이유)

삼각형의 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점이고, 무게중심은 그냥 이등분선의 교점이에요. 둘의 차이를 잘 구별하세요.

삼각형의 중점에는 중요한 성질이 하나 있어요. 삼각형의 한 중선에는 꼭짓점, 무게중심, 대변의 중점의 세 점이 있죠? 이 세 점 사이의 거리에 관한 성질이에요.

꼭짓점 ~ 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1

왜 그런지 알아볼까요?

의 중점 점 E와 점 F를 연결하면, 두 변의 중점을 연결한 직선이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 가 됩니다.

△GEF와 △GBC를 보세요.

∠GEF = ∠GBC (이므로 평행선에서 엇각)
∠GFE = ∠GCB (이므로 평행선에서 엇각)

∴ △GEF ∽와 △GBC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이므로 각 대응변의 길이의 비가 같죠? 이 성립합니다.

여기서 우리가 필요한 부분만 가져오면 이죠.

점 F와 점 D를 연결해서 같은 방법을 이용하면 도 구할 수 있지요.

결국, 꼭짓점에서 무게중심에 이르는 거리와 무게중심에서 대변의 중점까지의 거리는 2 : 1이 성립함을 알 수 있어요.

△ABC의 무게중심이 점 G이고, △GBC의 무게중심이 점 G'다. = 18cm일 때 를 구하여라.

꼭짓점 ~ 삼각형의 무게중심 : 무게중심 ~ 대변의 중점 = 2 : 1이므로 무게중심에서 대변의 꼭짓점까지의 거리는 중선의 1/3이죠.

꼭짓점에서 무게중심까지의 거리는 중선의 2/3이니까

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삼각형의 중점 연결 정리에 이어 사다리꼴의 중점 연결 정리입니다. 평행사변형, 정사각형, 마름모의 중점 연결 정리는 따로 하지 않으니까 중점 연결 정리는 여기가 끝이에요.

사다리꼴의 중점 연결정리는 사다리꼴에 대각선을 그어서 삼각형을 만든 다음 삼각형의 중점 연결 정리를 적용하는 거예요.

그리고 등변사다리꼴의 중점 연결 정리에는 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질에서 공부했던 내용이 나오니까 기억이 나지 않는다면 미리 읽어두세요.

사다리꼴의 중점 연결 정리

사다리꼴에서 평행하지 않은 두 변의 중점을 각각 M, N이라고 하죠. 그리고 대각선과 중점을 연결한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라고 하고요.

그러면 아래 그림 같은 성질이 성립합니다.

중점을 연결한 직선

첫 번째 중점을 연결한 선이 다른 두 변과 평행한지부터 증명해보죠.

의 연장선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

△AND와 △ENC가 생기죠.

두 삼각형에서
점 N은 의 중점이므로
∠AND = ∠ENC (맞꼭지각)
이므로 ∠ADN = ∠ECN (평행선에서 엇각)

따라서 두 삼각형은 ASA 합동이에요. △AND ≡ △ENC

합동인 삼각형에서 대응변의 길이는 같으므로 이죠.

△ABE에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리 때문에 이 성립해요.

등변사다리꼴에서는 이므로 결국 이 성립합니다.

중점을 연결한 직선의 길이

이번에는 중점을 연결한 직선의 길이를 구해볼까요?

사다리꼴의 윗변의 길이를 a, 아랫변의 길이를 b라고 해보죠. 점 A에서 점 C로 대각선을 긋고, 중점을 연결한 선과 만나는 점을 Q라고 할게요.

이므로 둘을 구해서 더하면 되겠죠?

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ACD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

중점을 연결한 직선과 대각선의 두 교점 사이의 거리

중점을 연결한 직선과 대각선이 만나는 점을 각각 점 P, Q라고 할게요.

로 구할 수 있어요.

△ABC에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

△ABD에서 , 이므로 삼각형의 중점 연결 정리의 역에 의해 에요.

위 그림에서 = 5cm, = 2cm일 때, a, b를 구하여라.

이므로 a = 2= 10(cm)

이고, 이므로 b = 2(5 + 2) = 14(cm)

등변사다리꼴의 중점 연결 정리

사각형의 중점을 연결하여 만든 사각형에서 사다리꼴은 없었지요? 여기서 해보자고요.

등변사다리꼴에서는 두 변의 중점을 바로 연결하는 게 아니라 네 변의 중점을 모두 연결해요. 등변사다리꼴의 네 변의 중점을 각각 E, F, G, H라고 할 때 이 네 점을 연결한 □EFGH는 마름모가 됩니다.

점 A와 점 C를 연결하는 대각선을 그어보죠.

△ABC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. △ADC에서 이므로 삼각형의 중점 연결 정리에 의해 에요. 정리해보면

점 B와 점 D를 연결하는 대각선을 그어서 같은 방법을 사용하면 를 구할 수 있어요.

등변사다리꼴의 성질에 따르면 두 대각선의 길이가 같아요. 이므로 결국 가 되어 네 변의 길이가 모두 같은 마름모가 됩니다.

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삼각형의 중점 연결 정리입니다.

중점이 뭔지는 알죠? 정리가 뭔지도 알고요. (수학에서의 정의, 정리, 증명)

삼각형의 중점 연결 정리는 이름 그대로 삼각형에서 각 변의 중점을 연결했더니 어떤 특징이 있는데, 그 특징을 다른 여러 곳에 쓸 수 있는 거지요.

다른 내용과 달리 두세 개의 삼각형에 선을 여러 개 그어서 문제가 좀 복잡하게 나오기 때문에 기본을 잘 알고 있어야 하는 내용입니다.

삼각형의 중점 연결 정리

삼각형의 중점 연결 정리를 말로 표현하면 삼각형의 두 변의 길이의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이라는 거예요.

그림으로 표현하면 훨씬 더 이해하기 쉬울 거예요.

왼쪽 그림을 보세요.

점 M은 의 중점, 점 N은 의 중점이에요.

△ABC와 △AMN에서 의 비가 성립하고, ∠A는 공통이에요. 따라서 두 삼각형은 SAS 닮음이에요. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응각의 크기가 같죠? (닮은 도형의 성질) ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM으로 동위각의 크기가 같으므로 평행선의 성질에 의해 예요. 또 다른 한 대응변에서도 2 : 1의 비가 성립하죠.

다음 그림을 보고 x를 구하여라.

삼각형의 양쪽 변의 중점을 연결한 선분은 다른 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이죠. 따라는 x는 16cm입니다.

삼각형의 중점 연결 정리의 역

이번에는 위 정리의 역이에요. 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 역은 명제의 가정과 결론의 자리를 바꾸는 거라고 했어요.

명제: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
역 : 삼각형에서 한 변과 평행하고 길이가 절반인 직선은 다른 두 변의 중점을 연결한 선이다

명제와 역이 위처럼 되어야 맞지요? 그런데, 이 삼각형의 중점 연결 정리의 역은 좀 달라요. 내용은 같지만 표현을 다르게 해요. 삼각형에서 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

두 역 사이에 어떤 차이가 있나요? 한 변의 중점을 지난다는 얘기가 추가되었고, 길이가 절반이라는 내용이 빠졌어요. 잘 이해하셔야 해요.

왼쪽 그림을 보세요.

△ABC와 △AMN에서 이므로 ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM이에요. 두 대응각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △ABC ∽ △AMN

두 삼각형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같아요. 이므로 이죠. 따라서 이 됩니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2의 내용을 이용해도 이 증명되죠.

다음 그림을 보고 x, y를 구하여라.

△ABC에서 이에요. 한 변의 중점을 지나고 다른 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나므로 입니다. y = 10cm네요.

∠ABC = ∠DNC = 90° →
→ N이 의 중점

한 변의 중점을 지나는 선이 다른 변과 평행이므로 삼각형 중점 연결정리의 역에 의해 점 D도 의 중점이에요. 그런데 그림에서 이죠.

따라서 중점 연결정리에 의해 이죠. 따라서 x = 10cm입니다.

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삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2
삼각형의 닮음 조건, 삼각형 닮음의 조건
닮은 도형의 성질

닮은 도형을 계속 공부하고 있는데요. 이번에는 조금 응용된 과정이에요. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선을 이용해서 변의 길이를 구하는 내용이지요.

이번 내용은 그림이 살짝 이상하게 생겨서 조금은 낯설 수 있어요. 하지만 어차피 도형의 닮음이므로 이상하게(?) 생각할 필요는 없어요.

닮은 삼각형이 눈에 바로 보이지는 않지만, 공식을 유도하는 과정이 아니면 닮은 삼각형을 찾지 못해도 문제를 푸는 데는 전혀 지장이 없어요. 혹시, 유도하는 과정이 이해가 안 되더라도 공식은 꼭 외우길 바랍니다.

삼각형 내각의 이등분선과 닮음

△ABC에서 ∠A의 이등분선과 가 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

증명해볼까요?

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

여기서 가 없다고 생각해보세요. 어떤 그림이죠? 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠?

△ABD와 △ECD가 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD (AA 닮음). 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

이제 가 다시 있다고 생각해 보죠. △ABC에서 는 ∠A의 이등분선이니까 ∠BAD = ∠CAD죠. 그리고 ∠BAD와 ∠CED는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠BAD = ∠CED

∠BAD = ∠CAD = ∠CED로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

바로 공식에 대입해보죠.

10 : 15 = 4 : x
10x = 60
x = 6 (cm)

삼각형 외각의 이등분선과 닮음

이번에는 △ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선과 의 연장선이 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 외각의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 가 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고  의 연장선 위의 임의의 점 F를 잡아요.

△ABD와 △ECD는 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD. 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

는 ∠A의 외각의 이등분선이니까 ∠CAE = ∠FAE에요. ∠FAE와 ∠CEA는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠FAE = ∠CEA

따라서 ∠FAE = ∠CAE = ∠CEA죠. △CAE에서 ∠CAE = ∠CEA로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 한 가지 함정이 있어요. △ABC에서 한 외각의 크기의 이등분선이 주어졌는데, 이때 우리가 쓸 수 있는 공식은 에요. 그런데 문제에서는 가 아니라 를 알려줬어요.  = (x - 4)cm에요.

공식에 대입해보죠.

10 : 8 = x : x - 4
8x = 10x - 40
2x = 40
x = 20 (cm)

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평행선 사이의 선분의 길이의 비

평행선 사이의 선분의 길이의 비는 새로운 내용이 아니고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 합친 거예요.

삼각형을 먼저 그려놓고 평행선을 그렸었잖아요. 이번에는 평행선을 먼저 그려놓고 삼각형을 나중에 그리는 것만 달라요.

따라서 두 글의 내용을 제대로 이해하고 있지 않다면 아래 내용을 전혀 알 수 없어요. 이 글을 읽기 전에 두 글을 먼저 읽고 오세요.

두 글의 내용을 다 이해하고 있다면 그리 어렵지 않으니까 추가적인 증명은 최대한 줄이도록 할게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비

선분 l, m, n이 서로 평행해요. 평형한 세 선분을 지나는 두 직선이 있을 때, 두 직선과 평행한 세 선분이 만나면 위 그림처럼 총 네 개의 길이가 생겨요. 네 변의 길이에는 위와 같은 비례식이 성립합니다.

물론 그림으로 외워야겠죠?

특히 오른쪽 그림에서 비례식을 세우기가 어려워하는 경우가 많은데, 한 가지만 기억하면 비례식을 쉽게 세울 수 있어요. 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요. ①, ②가 한 직선 위에 있으니까 이 둘이 한 변에 오도록 ① : ②를 좌변으로, ③, ④가 한 직선 위에 있으니까 ③ : ④를 우변으로 만들면 돼요.

증명은 어렵지 않아요.

여러 가지 할 필요없이 그냥 각 그림에서 오른쪽에 있는 직선을 왼쪽으로 옮겨서 두 직선이 평행선 위의 한 점에서 만나게 하면 돼요.

왼쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에서, 오른쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠? 따로 설명하지는 않을게요.

평행선 사이의 선분의 길이의 비 두 번째

이번에는 평행선을 잘 연결해서 삼각형을 만들었을 때에요.

뭔가 그림이 참 복잡한데 세로로 그어진 세 직선이 평행이에요. 그리고 그 중간에 여러 선을 그어서 삼각형을 만든 거죠. 색깔에 유의해서 보세요

여기서도 마찬가지로 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요.

그림에서 필요한 부분만 떼서 보죠.

△ABE와 △CDE를 보세요. 두 삼각형은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 그림을 옆으로 눕혀놓은 거예요. 두 삼각형은 닮은 도형이므로 길이의 비가 같아요. 각 선의 색으로 구별할 수 있어요.

또 필요한 부분만 떼왔어요. 이 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에 나오는 그림이죠? 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있죠?

위 두 비례식에 가 공통으로 들어있으니까 이걸 이용하면 아래 비례식을 만들 수 있어요.

다음 그림에서 변 EF의 길이를 구하여라.

위 내용정리에서 변EF에 관한 내용은 없어요. 하지만 EF를 뺀 나머지 변의 길이의 비는 모두 구할 수 있죠? 6 : 12 = 1 : 2요.

이 1 : 2라는 비와 △ABC와 △EFC가 닮음이라는 것을 이용하면 EF의 길이를 구할 수 있어요.

에요. 따라서 가 되는 거죠. 3 : 2는 두 삼각형 △ABC와 △EFC의 닮음비에요. 이 닮음비는 모든 대응변에서 같아요.

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닮은 도형, 도형의 닮음

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 두 번째입니다. 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서는 평행선을 그었을 때 생기는 새로운 삼각형과 원래 삼각형이 닮았다는 걸 중심으로 해서 각 길이의 관계를 알아봤는데요.

이 글에서는 새로운 삼각형과의 관계가 아니라 다른 내용의 길이의 비에 관한 내용이에요.

두 내용에 차이가 있으니까 잘 구별하세요.

이 글의 내용도 마찬가지로 공식으로 외우기보다는 그림으로 외워야 합니다.

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2

△ABC에서 밑변에 평행한 선을 그어요. 그러면 두 부분으로 나뉘죠? 보라색 변의 길이 비는 파란색 변의 길이 비와 같아요.

증명해볼까요?

△ABC에서 와 평행한 선을 그어서 와 만나는 점을 점 D, 와 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 와 평행하고, 점 E를 지나는 선을 그어요. 와 만나는 점을 점 F라고 하면 △EFC가 생기죠? 이 삼각형과 △ADE의 관계를 알아봐요.

∠ADE = ∠ABC = ∠EFC (평행선에서 동위각)

∠AED = ∠ECF (평행선에서 동위각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE ∽ △EFC (AA 닮음)

두 삼각형이 닮음이니까 길이의 비에 관한 식을 세울 수 있어요. 

□DBFE는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

6 : 3 = 8 : x이므로
x = 4 (cm)

이번에는 △ABC에서 밑변의 평행선을 꼭짓점보다 더 위에 그렸을 때에요. 삼각형 한 변의 길이와 연장선 길이의 비 사이의 관계죠. 이 그림에서도 마찬가지로 파란색 선과 보라색 선 사이에 길이의 비가 성립해요.

증명해 볼까요?

△ABC에서 점 A위에 와 평행한 선을 그어서 의 연장선과 만나는 점을 점 D, 의 연장선과 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고 점 D를 지나고 에 평행한 선을 긋고, 의 연장선과 만나는 점을 점 F라고 해보죠. △ADE와 △DBF의 관계를 알아볼 거예요.

∠ADE = ∠DBF (평행선에서 엇각)
∠AED = ∠DFB (평행사변형에서 대각)

두 각의 크기가 같으므로 △ADE와 △DBF는 AA 닮음이에요. △ADE ∽ △DBF

변의 길이를 이용해서 비례식을 세워보죠.

□EDFC는 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 평행사변형이에요. 평행사변형의 성질에 따라 대변의 길이는 같으므로 죠. 이걸 위 비례식에 대입하면 가 성립함을 알 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

삼각형의 한 변의 길이와 그 연장선 사이의 비가 같으므로,

x : 12 = 6 : 9
x = 8 (cm)

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