새로운 학년이 되었네요. 1학년 수학은 기초편이고, 이제부터 진짜 수학이 시작되는 거예요. 재밌겠죠? 조금 어렵긴 하지만 1학년 때보다는 덜 지루할 거예요.
처음으로 공부할 내용은 유리수의 확장판인데요, 유리수를 조금 더 세분화해서 나눌 거예요. 유한소수와 무한소수입니다. 우리가 알고 있던 유리수를 조금 더 자세히 공부하는 거죠.
유한소수와 무한소수의 뜻과 차이점을 알아봐요. 첫 시간인 만큼 조금만 할게요. 하지만 수의 체계와 관계있는 내용이니까 꼭 기억하고 있어야 해요.
유리수
일단 1학년 때 배웠던 유리수에 대해서 한 번 정리해볼까요?
유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수라고 했어요. 부호에 따라 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있지요. 유리수를 다른 방법으로 분류하면, 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다고도 했어요.
유한소수와 무한소수
정수 아닌 유리수를 조금 더 자세히 나눠보죠.
유리수는 분수꼴로 나타냈었는데, 이걸 소수로 바꿔보는 거예요. 여기서 소수는 소수와 합성수에서의 소수가 아니라 0.1, 0.2처럼 소수점이 있는 숫자를 말해요.
는 소수점 아래 숫자가 어느 정도 이어지다가 멈추는 소수지만
는 0.6666…처럼 소수점 아래에서 숫자가 멈추지 않고 계속되죠? 이렇게 분수를 소수로 바꿨을 때 숫자가 계속되지 않고 멈추는 소수를 유한소수, 멈추지 않고 계속해서 이어지는 소수를 무한소수라고 해요.
0.5000…처럼 0이 계속되는 건 무한소수가 아니라 유한소수입니다. 0은 취급하지 않아요.
유한소수와 무한소수를 조금 더 정확하게 정의하면 아래와 같아요.
유한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수
무한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수
유한소수의 유한은 한계가 있다는 뜻으로 소수점 아래의 숫자들이 끝나는 지점이 있다는 얘기에요. 무한소수의 무한은 소수점 아래에 숫자들이 끝도 없이 계속된다는 뜻이고요.
유한소수와 무한소수 구별법
어떤 분수가 유한소수인지 무한소수인지를 구별하려면 실제로 분자를 분모로 나눠봐야 할까요? 소수점 아래 100번째 자리에서 끝날 수도 있고, 1,000번째 자리에서 끝날 수도 있는데 직접 나눠보는 건 정말 귀찮은 방법이죠. 그래서 분수를 나눠보지 않고, 유한소수인지 무한소수인지 구별하는 방법이 있는데, 이걸 알아보죠.
우선 1단계는 분수의 분자와 분모를 약분해서 기약분수로 만들어요. 그다음 분모를 소인수분해합니다. 분자는 할 필요 없어요. 분모의 소인수가 2나 5뿐이라면 이 분수는 유한소수, 2나 5 외에 다른 소인수가 있다면 이 분수는 무한소수에요.
소인수가 2나 5뿐이라는 건 거듭제곱이어도 상관없다는 거예요. 2, 22, 23, 5, 52, 22 × 53 등 어떤 것도 가능하다는 얘기죠.
몇 가지 해볼까요?
기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해했더니 소인수가 2만 있어요. 2나 5만 있으면 유한소수니까 2만 있는 은 유한소수로 나타낼 수 있어요. 실제 소수로 나타내면 0.25에요.
만약에 기약분수로 약분하지 않고 바로 소인수분해를 해버리면 분모가 120 = 23 × 3 × 5가 돼요. 그러면 분모에 2, 5 말고 3이 있으니까 무한소수로 나와서 답이 틀리게 되죠. 따라서 꼭 기약분수로 약분을 먼저 해야 합니다.
기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해 했더니 3과 5가 있네요. 5 외에 3이 있으므로 무한소수에요. 실제 소수로 나타내면 0.466666…이 네요.
다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 걸 모두 고르시오.
분수가 유한소수인지 무한소수인지 구별하려면 기약분수로 약분한 다음, 분모를 소인수분해해서 소인수가 2나 5뿐인지 보는 거죠.
(1) 에서 분모의 소인수에 11이 있으니까 무한소수네요.
(2) 에서 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수
(3) 에서 분모의 소인수가 2, 5뿐이므로 유한소수
(4) 에서 분모의 소인수에 3이 있으므로 무한소수
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순환소수와 유리수, 순환소수의 대소비교와 사칙연산
[중등수학/중1 수학] - 유리수, 유리수의 분류
와 설명이 쏙쏙 들어오네요
머릿속에 쏙쏙 들어와도 금방 쑥쑥 나가요. ㅎㅎ 여러 번 읽어보세요.
정말도움이되네여
댓글 고마워요. 앞으로도 많이 도와줄게요.
“소수점 아래의 0이 아닌 숫자“의 개념이 약간 헷갈려요. 예를 들어 1/13은 0.076923076923~처럼 "076923"이 반복되거든요. 이건 유한소수나 무한소수가 아닌가요?
같은 숫자가 반복되는 건 바로 다음 글에 설명되어 있어요.
순환소수와 순환마디
http://mathbang.net/237
비밀댓글입니다
계속 이어지지 않고 멈춘다는 의미로 "딱 떨어진다"를 강조해서 사용하려다 보니 잘못된 표현을 썼네요.
말씀하신 내용을 참고하여 수정하겠습니다.
존경~~ 도움 많이 되었습니다.
이런 칭찬 댓글이 저에게 큰 힘이 됩니다. 댓글 남겨주셔서 고맙습니다.
소수의 정의가 뭐에요?
숫자와 소숫점으로 표현되는 수를 소수라고 해요.
아니면 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수도 소수라고 하고요.
https://mathbang.net/199
중2아들이 온라인 수업 후 수학을 어려워하네요.. 학원을 보내달라고 하는데 지금상태로는 학원가도 따라갈수 있을까도 싶고... 수학방에 기본적인 개념이 잘 정리되어 있는듯 싶어 도움받고자 합니다.
혹시 출력은 안되는 건가요? 교재구입도 기다려야하는 상황인듯 싶구요.
어떻게 아들에게 도움을 줘야할까요? 안쓰럽기도하고 답답하기도하고 막막합니다.
브라우저의 인쇄 기능을 이용하시면 모양은 조금 이상하게 나오지만 인쇄할 수 있어요.
교재는 지금 교육과정과 다르니까 구입하시기를 권해드리지는 않아요.
중2 1학기 수학은 상대적으로 어렵다고 할 수준은 아니에요. (2학기에 도형 나오면 그 때부터는 ...) 아마 혼자서 공부하다보니 자신감이 좀 떨어졌나 봅니다. 많이 격려해주시고, 쉬운 내용부터 차근차근 공부하도록 지도해주세요.
오늘 시험을 쳤는데 유한소수는 자연수도 포함이라고 하더라고요. 그래서 선생님한테 물어보니 그냥 대꾸도 안 해주네요. 이 한을 우리 수학방님이 풀어주세요. 전 그냥 아예 이해가 안되서
자연수는 기본적으로 "소수"가 아니므로 소수의 한 종류인 "유한소수"라고 할 수 없죠.
분수 3/11 에 어떤수 x를 곱하면 유한소수가 될 때 x의 값이 될 수 있는 두자리 수가 11,22, 33..이라는데 그러면 결과가 3, 6, 9..이렇게 정수가 되는거 아닌가요?
윗 댓글에 정수는 유한소수가 아니라고 했는데..
이유 설명좀 부탁드려요
순환소수를 유한소수또는 자연수가되도록하는 미지수 구하는법??도 올려주세요ㅠㅠㅠㅠ
정말 귀에 쏙쏙 박히네요 교과서말고 이걸로 공부할걸 감사해용 ♡♡ 정주행~~
귀에 때려 박아드릴게요.
정주행, 또 정주행, 또 정주행 부탁드려요.
예습하고있는데 이렇게 쉽게 말씀해주시니 벌써 이해가되었습니다. 정말 감사합니다.
기약분수에서 분모가 2나 5 그리고 10이 아닌 분수가 유한 소수가 될 순 없나요?
2와 5가 분모에 들어가면 그건 유한 소수가 된다는 점은 이해했으나, 분모에 2나 5가 들어가지 않는 분수는 무조건 무한소수라는 건 이해가 안 됩니다.
기약분수에서 분모가 2나 5의 거듭제곱으로만 된 분수가 유한소수예요.
2나 5의 거듭제곱이 들어있건 없건 상관없이 다른 수가 포함되어 있으며 무한소수고요.
분모가 30 = 2 x 3 x 5일 때, 2, 5의 거듭제곱이 있지만 3이 있어서 무한소수예요.
분모가 21 = 3 x 7이면 2, 5의 거듭제곱이 없고 3, 7있어서 무한소수예요.
비밀댓글입니다
감사합니다 ㅎㅎ
감사합니다!
비밀댓글입니다
순환소수는 무한소수예요. 분수로 나타낼 수 있어서 유리수이기도 하고요.
순환소수와 유리수를 참고해주세요.
https://mathbang.net/239
정수는 유한소수라고 할 수 있나요?
이게 너무 개념적인 문제이긴 한데, 정수는 소수가 아니므로 유한소수가 아니에요.
정수를 유한소수라고 정의하시는 선생님이 있기도 하니까 학교 선생님께 직접 확인해보시는 게 좋을 듯 합니다.
저도 아직 중1인데 수학에 빠져서 고등학고 수학내용까지 다 훑어보고 갑니다
도움 많이되었어요!!
만약 저희가 익명으로 글 써도 수학방님께선 저희 닉 볼 수 있으시죠??~
네, 저는 보이죠.