유한소수와 무한소수

새로운 학년이 되었네요. 1학년 수학은 기초편이고, 이제부터 진짜 수학이 시작되는 거예요. 재밌겠죠? 조금 어렵긴 하지만 1학년 때보다는 덜 지루할 거예요.

처음으로 공부할 내용은 유리수의 확장판인데요, 유리수를 조금 더 세분화해서 나눌 거예요. 유한소수와 무한소수입니다. 우리가 알고 있던 유리수를 조금 더 자세히 공부하는 거죠.

유한소수와 무한소수의 뜻과 차이점을 알아봐요. 첫 시간인 만큼 조금만 할게요. 하지만 수의 체계와 관계있는 내용이니까 꼭 기억하고 있어야 해요.

일단 1학년 때 배웠던 유리수에 대해서 한 번 정리해볼까요?

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수라고 했어요. 부호에 따라 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있지요. 유리수를 다른 방법으로 분류하면, 정수와 정수가 아닌 유리수로 나눌 수 있다고도 했어요.

유리수의 분류

정수 아닌 유리수를 조금 더 자세히 나눠보죠.

유리수는 분수꼴로 나타냈었는데, 이걸 소수로 바꿔보는 거예요. 여기서 소수는 소수와 합성수에서의 소수가 아니라 0.1, 0.2처럼 소수점이 있는 숫자를 말해요.

는 딱 떨어지는 소수지만 은 0.6666…처럼 나누어떨어지지 않고 계속되죠? 이렇게 분수를 소수로 바꿨을 때 나누어떨어지는 소수를 유한소수, 나누어떨어지지 않고 계속해서 이어지는 소수를 무한소수라고 해요.

0.5000…처럼 0이 계속되는 건 무한소수가 아니라 유한소수입니다. 0은 취급하지 않아요.

유한소수와 무한소수를 조금 더 정확하게 정의하면 아래와 같아요.

유한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 유한개인 소수
무한소수: 소수점 아래에 0이 아닌 숫자가 무한히 계속되는 소수

유한소수의 유한은 한계가 있다는 뜻으로 소수점 아래의 숫자들이 끝나는 지점이 있다는 얘기에요. 무한소수의 무한은 소수점 아래에 숫자들이 끝도 없이 계속된다는 뜻이에요.

어떤 분수가 유한소수인지 무한소수인지를 구별하려면 실제로 분자를 분모로 나눠봐야 할까요? 이거는 정말 무식한 방법이잖아요. 그래서 분수를 나눠보지 않고, 유한소수인지 무한소수인지 구별하는 방법을 알아보죠.

우선 1단계는 분수의 분자와 분모를 약분해서 기약분수로 만들어요. 그다음 분모를 소인수분해합니다. 분자는 할 필요 없어요. 분모의 소인수가 2나 5뿐이라면 이 분수는 유한소수, 2나 5 외에 다른 소인수가 있다면 이 분수는 무한소수에요.

소인수가 2나 5뿐이라는 건 거듭제곱이어도 상관없다는 거예요. 2, 2², 2³, 5, 5², 2² × 5³ 등 어떤 것도 가능하다는 얘기죠.

몇 가지 해볼까요?

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해했더니 소인수가 2만 있어요. 2나 5만 있으면 유한소수니까 2만 있는 은 유한소수로 나타낼 수 있어요. 실제 소수로 나타내면 0.25에요.

만약에 기약분수로 약분하지 않고 바로 소인수분해를 해버리면 분모가 120 = 2³ × 3 × 5가 돼요. 그러면 분모에 2, 5 말고 3이 있으니까 무한소수로 나와서 답이 틀리게 되죠. 따라서 꼭 기약분수로 약분을 먼저 해야 합니다.

기약분수로 바꾼 후 분모를 소인수분해 했더니 3과 5가 있네요. 5 외에 3이 있으므로 무한소수에요. 실제 소수로 나타내면 0.466666…이 네요.

다음 분수 중 유한소수로 나타낼 수 있는 걸 모두 고르시오.

분수가 유한소수인지 무한소수인지 구별하려면 기약분수로 약분한 다음, 분모를 소인수분해해서 소인수가 2나 5뿐인지 보는 거죠.

(1) 에서 분모의 소인수에 11이 있으니까 무한소수네요.

(2) 에서 분모의 소인수가 5뿐이므로 유한소수

(3) 에서 분모의 소인수가 2, 5뿐이므로 유한소수

(4) 에서 분모의 소인수에 3이 있으므로 무한소수

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