삼각형의 성질에 이어 사각형의 성질입니다.

그 첫 번째로 평행사변형의 성질인데요. 평행사변형이 어떻게 생겼는지는 알고 있을 거예요.

이 글에서는 평행사변형을 어떻게 정의하는지 그리고 평행사변형은 어떤 성질을 가졌는지 알아보고, 그 성질들을 증명해볼 거예요. 증명은 어렵지 않아요. 모든 성질이 하나의 증명방법으로 증명되거든요.

여러 사각형이 나오고 사각형 별로 비슷하면서도 다른 성질을 가지고 있으니 잘 구별할 줄 알아야 합니다.

평행사변형이란?

평행사변형이라는 이름을 잘 들여다보세요. 평행은 두 직선이 서로 만나지 않은 걸 말하죠? 사변은 네 개의 변을 말해요. 즉 네 개의 변이 있는데 이게 평행하다는 거예요. 네 개가 다 평행한 게 아니고 이 중 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형을 말하는 거죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각에서 대변과 대각의 정의에 대해서 공부했었어요. 대변은 마주 보는 변이고, 대각은 마주 보는 각이죠.

평행사변형

평행사변형의 성질

두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

평행사변형의 성질 1 - 두 쌍의 대각의 크기가 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그으면 △ABC와 △CDA가 생기죠?

평행사변형의 정의에 따르면 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응각인 ∠B = ∠D이 되죠.
또 ∠A = ∠BAC + ∠DAC = ∠DCA + ∠BCA = ∠C가 됩니다.

따라서 ∠B = ∠D, ∠A = ∠C입니다.       (증명 끝.)

이 성질에서 나온 다른 성질이 하나 있는데, 알아두면 좋을 겁니다.

평행사변형의 성질 - 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°

∠B = ∠D, ∠A = ∠C이므로 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 2∠A + 2∠B = 360°가 돼요.

∠A + ∠B = 180°라는 결론이 나오죠. ∠A = ∠C니까 A와 C를 바꿔도 되겠죠? 또 ∠B = ∠D니까 B와 D를 바꿔도 되고요.

결국, 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°가 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 x + y를 구하여라.
평행사변형의 성질 예제 1

이웃한 두 각의 크기의 합은 180°에요. x° + 80° = 180°이므로 x = 100가 됩니다. 마주 보는 두 각, 즉 대각은 크기가 같으므로 2y° = 80°에서 y = 40이 되고요.

따라서 x + y = 100 + 40 = 140

두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

평행사변형의 성질 2 - 두 쌍의 대변의 길이가 같다.

점 A와 점 C를 연결하는 선을 그어 △ABC와 △CDA를 만듭니다.

평행사변형의 정의에 따르면 가 평행하므로 ∠BAC = ∠DCA (엇각) … (1)    (평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각)
가 평행하므로 ∠BCA = ∠DAC (엇각) … (2)
는 공통 … (3)

(1), (2), (3)에 의해서 ASA 합동으로 △ABC ≡ △CDA가 돼요.

대응변인 = , = 가 됩니다.       (증명 끝.)

다음 그림을 보고 평행사변형 ABCD의 둘레의 길이를 구하여라.
평행사변형의 성질 예제 2

두 대변의 길이는 같으므로 2x + 4 = 3x + 1이에요. x = 3이네요. x = 3을 대입하면,  = = 10cm이고요. = = 14cm죠.

따라서 평행사변형 ABCD의 둘레는 2 × (14 + 10) = 48(cm)입니다.

두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

평행사변형의 성질 3 - 두 대각선은 다른 대각선을 이등분한다.

대각선을 긋고 대각선의 교점을 점 O라고 하죠.

△OAB와 △OCD를 볼게요. 위 평행사변형의 성질 증명에서 = 임을 알 수 있어요. … (1)
평행사변형의 정의에 따르면 가 평행하므로 ∠OAB = ∠OCD (엇각) … (2)
가 평행하므로 ∠OBA = ∠ODC (엇각) … (3)
(1), (2), (3)에 의해서 △OAB ≡ △OCD (ASA 합동)

따라서 대응변인 , 가 됩니다.       (증명 끝.)

점 O가 평행사변형 ABCD의 대각선의 교점일 때 △OAB의 둘레의 길이를 구하여라.
평행사변형의 성질 예제 3

평행사변형에서 두 대변의 길이는 같으므로 = = 6cm

평행사변형의 대각선은 서로를 이등분하므로  =  =  × = 5cm

마찬가지로  =  × = 4cm

삼각형 △OAB의 둘레는 6 + 4 + 5 = 15(cm)

평행사변형의 성질
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다. → 이웃한 두 각의 크기의 합은 180°
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.

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정리해볼까요

평행사변형

  • 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
  • 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
    이웃한 두 내각의 크기의 합은 180°
  • 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
  • 두 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다.
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