지금까지 사각형을 배워왔어요. 사각형별로 정의와 성질, 조건을 알아봤죠. 또 이러한 내용을 표로 정리도 해봤고요. 사각형의 정의와 성질, 조건

이 글에서는 이 사각형들의 다른 점을 비교하는 게 아니라 서로의 관련성을 알아볼 거예요. 서로 어떤 관계가 있는지 어떻게 하면 다른 사각형이 되는지요.

그리고 각 사각형의 특징을 가장 잘 알 수 있는 대각선에 대해서도 알아볼 거예요.

이미 배웠던 사각형의 정의와 성질, 조건을 잘 이해하고 있어야 해요.

여러 가지 사각형의 포함관계

그냥 사각형이 있어요.
이 사각형의 한 쌍의 대변이 평행하면 사다리꼴이에요.
사다리꼴에서 나머지 한 쌍의 대변도 평행하다면 모두 두 쌍의 대변이 평행하니까 평행사변형이 돼요.
평행사변형에서 내각의 크기가 모두 같으면 직사각형이죠? 또 평행사변형의 네 변의 길이가 모두 같으면 마름모에요.
직사각형의 네 변의 길이가 같거나 마름모의 네 각의 크기가 모두 같으면 정사각형이 되지요.

이걸 집합으로 표시해보면

{사각형} {사다리꼴} {평행사변형} {직사각형} {정사각형}
{마름모}

⊃의 방향 잘 보세요. ⊃의 닫힌 쪽이 부분집합이에요. 또 {정사각형} = {직사각형} ∩ {마름모}이고요.

조건이 하나씩 추가될 때마다 사각형의 범위가 줄어들어요. 사각형들의 포함관계를 이해할 수 있겠죠? 아래는 벤다이어그램으로 표시한 거예요.

여러가지 사각형의 포함 관계

여러 가지 사각형의 조건

자 이제는 하나의 사각형이 어떤 조건을 갖추면 다른 형태의 사각형이 되는지 알아볼 거예요. 각 사각형의 정의와 조건에 대해서 잘 이해하고 있어야 하는 내용입니다.

여러가지 사각형의 조건

위 그림에서 사각형의 포함관계도 엿볼 수 있는데요. 화살표를 받는 쪽이 화살표를 받는 쪽에 포함되는 사각형이에요.

화살표 옆에 숫자가 보이죠? 그 숫자에는 사각형이 되려면 갖추어야 할 조건을 적어볼까요?

①번은 그냥 사각형이 사다리꼴이 되는 조건이에요. 사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형이죠? 따라서 ①번에는 "한 쌍의 대변이 평행"이라는 조건이 들어가야 해요. 사다리꼴의 정의

②번은 사다리꼴이 등변사다리꼴이 되는 조건이에요. 등변사다리꼴은 밑변의 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴이니까 ②번에는 "밑변의 양 끝각이 같다."라는 조건이 들어가면 되겠고요. 등변사다리꼴의 정의와 등변사다리꼴의 성질

③번은 사다리꼴이 평행사변형이 되는 조건이에요. 평행사변형이 되는 조건에서 총 다섯 가지의 조건을 알아봤어요. 그런데 사다리꼴이라는 전제가 주어져 있으니 다 쓰지는 않고, 이걸 이용하는 조건만 적어보죠. 사다리꼴은 이미 한 쌍의 대변이 평행하니까 나머지 한 쌍의 대변이 평행하면 두 쌍의 대변이 평행해지겠죠? 그래서 ③번에는 "다른 한 쌍의 대변도 평행"이라는 조건이 들어가면 되겠네요. 또 한 쌍의 대변이 평행하고 길이가 같으면 평행사변형이 될 수 있어요. 그래서 사다리꼴에서 "평행한 대변의 길이가 같다"가 되어도 괜찮습니다.

원래 조건이 5가지인데, 이건 그냥 사각형이나 사다리꼴이나 다 상관없이 적용되는 조건이니까 일반적인 사각형과 사다리꼴과 굳이 분리해서 생각할 필요는 없어요.

④번은 평행사변형이 직사각형이 되는 조건이에요. 직사각형은 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형이에요. 따라서 평행사변형의 한 내각이 90°가 되면 직사각형이 되죠. ④번에는 한 내각의 크기가 90°라는 조건이 맞겠네요. 이걸 다르게 표현하면 이웃한 두 내각의 크기가 같다고도 할 수 있죠. 또는 직사각형의 두 대각선의 길이는 같으므로 이 조건을 써도 되고요. 직사각형이 되는 조건

⑤번은 평행사변형이 마름모가 되는 조건이에요. 마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형이에요. 평행사변형의 이웃한 두 변의 길이가 같으면 마름모가 되죠. 따라서 ⑤번에는 이웃한 두 변의 길이가 같다고 쓰면 되겠네요. 또 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하지요? 평행사변형의 두 대각선이 서로 직교하면 마름모가 되니까 이걸 ⑤번에 써도 상관없어요. 마름모가 되는 조건

직사각형이 정사각형이 되는 조건은 ⑤번이고, 마름모가 정사각형이 되는 조건은 ④번이에요. 번호가 같다는 건 그 조건도 같다는 거니까 위에 있는 걸 그대로 쓰면 되지요.

정리해보죠.

  1. 사각형 → 사다리꼴
    • 한 쌍의 대변이 평행
  2. 사다리꼴 → 등변사다리꼴
    • 밑변의 양 끝각의 크기가 같다.
  3. 사다리꼴 → 평행사변형
    • 다른 한 쌍의 대변이 평행
    • 평행한 한 쌍의 대변의 길이가 같다.
    • 참고. 사각형 → 평행사변형의 조건은 총 5개
  4. (평행사변형 → 직사각형) = (마름모 → 정사각형)
    • 한 내각의 크기 = 90°
    • 이웃한 두 내각의 크기가 같다.
    • 두 대각선의 길이가 같다.
  5. (평행사변형 → 마름모) = (직사각형 → 정사각형)
    • 이웃한 두 변의 길이가 같다.
    • 두 대각선이 서로 직교

여러가지 사각형의 대각선

사각형의 특징을 가장 잘 나타내는 것 한 가지를 고르라고 하면 대각선이에요. 각 사각형별로 대각선이 어떤 특징을 나타내고 어떤 차이가 있는 지를 표로 나타내봤어요. 같은 성질을 지닌 게 하나도 없죠? 따라서 대각선만 잘 봐도 그 사각형이 어떤 사각형인지 알 수 있어요.

사각형의 대각선 성질 비교
서로 다른 것을 이등분 길이가 같다 직교
평행사변형 O X X
직사각형 O O X
마름모 O X O
정사각형 O O O
등변사다리꼴 X O X

예를 들어 문제를 푸는데 사각형의 대각선이 서로 직교해요. 대각선의 길이도 같으면 그 사각형은 정사각형이고, 길이가 같지 않으면 마름모가 되는 거죠.

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