평행사변형과 넓이

평행사변형에 대해서 공부하고 있는데요. 이번에는 평행사변형의 넓이에 대해서 알아볼 거예요.

평행사변형도 사각형이니까 넓이를 구하는 건 알고 있을 거예요.

여기서는 평행사변형을 여러 개의 삼각형으로 나누고, 그 삼각형들의 넓이에는 어떤 관계가 있는지 알아볼 거예요. 또 그 삼각형들의 넓이와 평행사변형의 넓이 사이의 관계도 알아볼 거고요.

삼각형의 넓이를 비교할 때, 평행사변형의 성질을 이용하니까 앞의 내용에 대한 이해가 있어야 해요.

평행사변형과 넓이

대각선을 하나만 그었을 때

평행사변형 □ABCD에 대각선을 하나 그으면 아래 그림처럼 두 개의 삼각형으로 나뉘어요. 두 삼각형의 넓이를 알아보죠.

평행사변형과 넓이 1

평행사변형의 성질에서 두 대변의 길이가 각각 같다고 했으니, = 입니다. △ABC에서 밑변은 , 높이는 점 A에서 까지의 거리죠. △CDA에서 밑변은 , 높이는 점 C에서 까지의 거리에요.

평행사변형과 넓이 1 설명

두 삼각형 △ABC와 △CDA에서 밑변의 길이와 높이가 같으므로 두 삼각형의 넓이는 같아요. S₁ = S₂. 두 삼각형 넓이의 합이 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 두 삼각형은 서로 넓이가 같으므로 삼각형 한 개의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이죠.

대각선을 두 개 그었을 때

이번에는 □ABCD에 대각선을 두 개 그었어요. 네 개의 삼각형이 생겼네요. 두 대각선의 교점을 O라고 해보죠. 평행사변형의 성질에서 대각선은 서로 다른 대각선을 이등분한다고 했어요. 따라서 = , = 입니다.

평행사변형과 넓이 2

△OAB와 △OCD를 볼까요? = , = 이고, 맞꼭지각으로 ∠AOB = ∠COD에요. 두 삼각형은 SAS합동이죠. 합동이니까 넓이가 같아요. S₁ = S₃

평행사변형과 넓이 2 설명

△OAD와 △OCB도 SAS 합동이므로 넓이가 같죠. S₂ = S₄

△OAB와 △OAD를 보세요. 두 삼각형은 밑변의 길이가 같고( = ), 높이도 점 A에서 까지의 거리로 같아요. 따라서 넓이도 같죠. S₁ = S₄

결국 S₁ = S₂ = S₃= S₄가 됩니다. 네 삼각형 넓이의 합은 전체 평행사변형의 넓이와 같고, 네 삼각형의 넓이가 서로 모두 같으니 삼각형 하나의 넓이는 전체 사각형 넓이의 이 되겠죠?

평행사변형 □ABCD의 넓이가 60cm²일 때 색칠한 △OAB의 넓이를 구하여라.
평행사변형과 넓이 2 - 예제

평행사변형에 대각선을 그어서 생기는 네 개의 삼각형은 모두 넓이가 같아요. 또 전체 평행사변형의 넓이의 입니다.

△OAB = × 60

△OAB = 15(cm²)

임의의 점에서 꼭짓점으로 선을 그었을 때

이번에는 평행사변형 □ABCD 내부에 대각선의 교점이 아닌 임의의 점 P를 잡아요. 점 P에서 네 꼭짓점에 선을 그으면 네 개의 삼각형이 생기죠. 이 네 삼각형의 넓이 관계에 대해서 알아볼까요?

평행사변형과 넓이 3

, 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그어보죠. 또 , 와 평행하고 점 P를 지나는 직선을 그려보죠.

평행사변형과 넓이 3 설명

두 직선 때문에 □ABCD에 총 네 개의 평행사변형이 만들어졌어요. 이 글 처음에 나온 것처럼 평행사변형을 구성하는 두 개의 삼각형은 넓이가 같잖아요. 작은 평행사변형에서 넓이가 같은 삼각형끼리 번호를 붙였어요.

그림에서 같은 색으로 칠해진 삼각형의 넓이를 구해보죠. 노란색으로 된 부분은 (△PAB의 넓이) + (△PCD의 넓이) = S₁ + S₃ = ① + ② + ③ + ④에요. 연두색으로 된 부분은 (△PAD의 넓이) + (△PBC의 넓이) = S₂ + S₄ = ① + ② + ③ + ④죠. 따라서 S₁ + S₃ = S₂ + S₄가 성립하죠.

평행사변형 내부에 임의의 점 P에서 네 꼭짓점으로 선을 그었을 때, 마주 보는 삼각형의 넓이의 합이 서로 같아요. 이 두 부분의 넓이가 같으므로 각 영역은 전체 사각형 넓이의 절반이 되죠.