삼각형의 각의 이등분선과 닮음

닮은 도형을 계속 공부하고 있는데요. 이번에는 조금 응용된 과정이에요. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선을 이용해서 변의 길이를 구하는 내용이지요.

이번 내용은 그림이 살짝 이상하게 생겨서 조금은 낯설 수 있어요. 하지만 어차피 도형의 닮음이므로 이상하게(?) 생각할 필요는 없어요.

닮은 삼각형이 눈에 바로 보이지는 않지만, 공식을 유도하는 과정이 아니면 닮은 삼각형을 찾지 못해도 문제를 푸는 데는 전혀 지장이 없어요. 혹시, 유도하는 과정이 이해가 안 되더라도 공식은 꼭 외우길 바랍니다.

삼각형 내각의 이등분선과 닮음

△ABC에서 ∠A의 이등분선과 가 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

증명해볼까요?

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.

여기서 가 없다고 생각해보세요. 어떤 그림이죠? 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠?

△ABD와 △ECD가 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD (AA 닮음). 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

이제 가 다시 있다고 생각해 보죠. △ABC에서 는 ∠A의 이등분선이니까 ∠BAD = ∠CAD죠. 그리고 ∠BAD와 ∠CED는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠BAD = ∠CED

∠BAD = ∠CAD = ∠CED로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

바로 공식에 대입해보죠.

10 : 15 = 4 : x
10x = 60
x = 6 (cm)

삼각형 외각의 이등분선과 닮음

이번에는 △ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선과 의 연장선이 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.

∠A의 외각의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.

에 평행하고, 점 C를 지나는 선과 가 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고  의 연장선 위의 임의의 점 F를 잡아요.

△ABD와 △ECD는 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD. 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.

는 ∠A의 외각의 이등분선이니까 ∠CAE = ∠FAE에요. ∠FAE와 ∠CEA는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠FAE = ∠CEA

따라서 ∠FAE = ∠CAE = ∠CEA죠. △CAE에서 ∠CAE = ∠CEA로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로  = 가 됩니다.

△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에  = 를 대입하면 가 되는 걸 증명할 수 있어요.

다음 그림에서 x를 구하여라.

그림에 보면 한 가지 함정이 있어요. △ABC에서 한 외각의 크기의 이등분선이 주어졌는데, 이때 우리가 쓸 수 있는 공식은 에요. 그런데 문제에서는 가 아니라 를 알려줬어요.  = (x - 4)cm에요.

공식에 대입해보죠.

10 : 8 = x : x - 4
8x = 10x - 40
2x = 40
x = 20 (cm)

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