닮은 도형을 계속 공부하고 있는데요. 이번에는 조금 응용된 과정이에요. 삼각형의 내각과 외각의 이등분선을 이용해서 변의 길이를 구하는 내용이지요.
이번 내용은 그림이 살짝 이상하게 생겨서 조금은 낯설 수 있어요. 하지만 어차피 도형의 닮음이므로 이상하게(?) 생각할 필요는 없어요.
닮은 삼각형이 눈에 바로 보이지는 않지만, 공식을 유도하는 과정이 아니면 닮은 삼각형을 찾지 못해도 문제를 푸는 데는 전혀 지장이 없어요. 혹시, 유도하는 과정이 이해가 안 되더라도 공식은 꼭 외우길 바랍니다.
삼각형 내각의 이등분선과 닮음
△ABC에서 ∠A의 이등분선과 가 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.
∠A의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.
증명해볼까요?
에 평행하고, 점 C를 지나는 선과
의 연장선이 만나는 점을 점 E라고 해보죠.
여기서 가 없다고 생각해보세요. 어떤 그림이죠? 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠?
△ABD와 △ECD가 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD (AA 닮음). 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.
이제 가 다시 있다고 생각해 보죠. △ABC에서
는 ∠A의 이등분선이니까 ∠BAD = ∠CAD죠. 그리고 ∠BAD와 ∠CED는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠BAD = ∠CED
∠BAD = ∠CAD = ∠CED로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로 =
가 됩니다.
△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에
=
를 대입하면
가 되는 걸 증명할 수 있어요.
다음 그림에서 x를 구하여라.
바로 공식에 대입해보죠.
10 : 15 = 4 : x
10x = 60
x = 6 (cm)
삼각형 외각의 이등분선과 닮음
이번에는 △ABC에서 ∠A의 외각의 이등분선과 의 연장선이 만나는 점을 점 D라고 했을 때 아래 그림과 같은 길이의 비가 성립해요.
∠A의 외각의 이등분선은 에요. 이등분선의 한쪽 끝인 점 A에서 시작하는 두 변의 길이의 비와 다른 쪽 끝인 점 D에서 시작하는 두 변의 길이의 비가 같지요.
에 평행하고, 점 C를 지나는 선과
가 만나는 점을 점 E라고 해보죠. 그리고
의 연장선 위의 임의의 점 F를 잡아요.
△ABD와 △ECD는 서로 닮음이에요. △ABD ∽ △ECD. 두 삼각형 사이에는 길이의 비가 성립하죠. 전부 쓰지 않고 필요한 것만 써볼게요.
는 ∠A의 외각의 이등분선이니까 ∠CAE = ∠FAE에요. ∠FAE와 ∠CEA는 평행선의 엇각으로 크기가 같아요. ∠FAE = ∠CEA
따라서 ∠FAE = ∠CAE = ∠CEA죠. △CAE에서 ∠CAE = ∠CEA로 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이 되는 조건에 의해 △CAE는 이등변삼각형이에요. △CAE가 이등변삼각형이므로 =
가 됩니다.
△ABD와 △ECD의 닮음비로 만들었던 공식에
=
를 대입하면
가 되는 걸 증명할 수 있어요.
다음 그림에서 x를 구하여라.
그림에 보면 한 가지 함정이 있어요. △ABC에서 한 외각의 크기의 이등분선이 주어졌는데, 이때 우리가 쓸 수 있는 공식은 에요. 그런데 문제에서는
가 아니라
를 알려줬어요.
= (x - 4)cm에요.
공식에 대입해보죠.
10 : 8 = x : x - 4
8x = 10x - 40
2x = 40
x = 20 (cm)
함께 보면 좋은 글
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2
평행선 사이의 선분의 길이의 비
중3되고 뭔지 다까먹은건데 이거보고 조금씩 생각이나네요. 감사합니다!
자주 자주 봐주면 잊어버리지 않을 거예요. 알고 있는 내용이라도 복습삼아 다시 공부해 보세요.
∠ACD => ∠ACA
로 오타 아닌가요???
acd가 어디 있어요?
고등학생 되고 중학수학 정리용으로 잘 사용하고 있습니다. 감사합니다.
문제없이 개념만 있어서 정리용으로 괜찮죠. ㅎㅎ
감사합니다^3^ 덕분에 예전에 배운 내용을 다시한번 확실하게 이해했네요
이번에 확실히 이해했으니 잊어버리는 일은 없겠죠?
삼각형 외각의 이등분선과 닮음 증명과정에서
삼각형 CAE 가 이등변 삼각형임을 말하는 부분에
각 CAD = 각 CED로 두 밑각의 크기가 같다고 되어있는데, CED가 아니라 CEA 로 두 밑각의 크기가 같은것으로 보입니다
고쳤어요.
ㅎㅎㅎㅎㅎ 미적분2공부하는중입니다! 고1까지 공부를 별로안해서 기초가부족한데 수학방에서 여러가지 혼자서 공부하니까 정말 이해가잘되네욥!! 좋은 수학방 인정합니닷!!!
혼자서 계속 공부할 수 있도록 미적분 2도 얼른 완성하도록 하겠습니다. ㅎ
잘읽었어요 감사합니다
댓글 고맙습니다. 다른 글들도 많이 읽어보세요. ㅎㅎ
친절한 설명해주셔서 정말...너무.... 좋네요
수학에 희망이 생길 것 같습니다ㅠㅠㅜ
감사합니다.
희망이 현실이 되길 바랄게요.
ㄱㅅ
ㅅㄱ
ㅅㄱ
중1 평면도형 단원이 재밌어졌어염!
계속 재미있게 해줄게요.
중1학생인데, 이등분선이 너무 어려워서 책이란책은 다 봤는데 헉...한번에 이해됐어요! 감사합니다~
이거 원래 어려운 거예요.
그림에서 삼각형의 모양과 변의 위치를 이용해서 공식을 외우세요. AD, AC같은 변의 이름이 아니라요.
와우 개꿀잼
핵노잼이라고 하는 사람이 많은데, 다행이네요.
wow a nice blog!!
(anyway, I'm the English comment you were looking for LMAOooo)
저 한국 말도 잘해요. 감사하요!
한글 공부도 수학 공부도 열심히 하시는 군요.
공식만 써놓고 증명이 없으니 이해가 잘 안됬었는데 이제 이해가 잘되요! 감사합니다
공식은 AB, AC 어쩌고 저쩌고가 아니라 그림으로 여기랑 여기의 비랑... 이런 식으로 외우시면 잘 외워질 거예요..
고2 노베이슨데 50일수학보면서 공부합니다 감사합니자
50일 뒤에 어떻게 변했을지 궁금하네요. 그때 한 번 다시 오세요.
왜 내각의 이등분선에서 점 A에 끼인 선분들과 D에 끼인 선분들의 길이의 비가 같은지 잘 이해되었습니다!
왜그런지 궁금했는데 저렇게 증명할수가 있군요 ㄷㄷ
감사해요:-) 덕분에 더 자세히 알게 되었어요:-)
이제 중2-2 단원을 배우게 되었어요:-)
ㅡㅏㅏㅏ 수학 너무 어렵다... 그래도 열심히 하면 되겠찌...
열심히 하면 무조건 됩니다. ㅎㅎ
삼각형 내각의 이등분선 닮음 인 삼각형 좀 증명 해주 실수있나요