사각형이 끝나고 이제는 다시 삼각형으로 돌아왔어요.

이 글에서는 삼각형의 넓이와 관련된 두 가지를 배울 거에요. 하나는 두 평행선 사이에 그려진 삼각형의 넓이이고, 다른 하나는 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비예요.

삼각형의 넓이 구하는 공식 모르는 사람은 없겠죠? ½ × (밑변) × (높이)에요.

이 공식을 기본으로 해서 삼각형의 넓이에 관한 내용을 시작해보죠.

평행선과 삼각형의 넓이

평행한 직선 l과 m이 있어요. 직선 m위의 두 점 B, C와 l위의 한 점 A를 꼭짓점으로 하는 △ABC가 있어요. 또 직선 l위의 한 점 D와 점 B, C를 꼭짓점으로 하는 △DBC가 있어요.

평행선과 삼각형의 넓이

△ABC의 높이는 점 A와 직선 m사이의 거리지요? h에요. △ABC의 넓이 = ½ × a × h

△DBC의 높이는 점 D와 직선 m사이의 거리로 역시 h에요. △DBC의 넓이 = ½ × a × h

두 삼각형의 밑변은 공통이니까 그렇다고 치더라도 높이도 같아요. 밑변과 평행인 선 위의 점으로 이루어진 삼각형은 그 모양이 달라도 넓이가 같다는 점을 알 수 있지요.

혹시라도 모양이 이상해서 넓이를 모르겠다면 밑변과 평행한 선을 찾아서 그 선 위의 임의의 점과 삼각형을 만들어 넓이를 구하면 되지요.

다음 그림에서 평행사변형 ABCD의 넓이가 40cm2일 때 △EBC의 넓이를 구하여라.
평행선과 삼각형의 넓이 예제

△EBC의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 알아야 하는데 그림에서는 주어져 있지 않아요. 따라서 △EBC와 넓이가 같은 다른 삼각형을 찾아야 해요. 어떤 게 있나요? 삼각형의 밑변 가 평행이기 때문에  위에 점을 잡아서 삼각형을 그리면 △EBC와 넓이가 같아요. 점 A를 이용해보죠. (△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이)이므로 △ABC의 넓이를 구하면 되겠네요.

평행사변형과 넓이에서 평행사변형의 대각선으로 나눠지는 두 삼각형은 넓이가 같고, 전체 평행사변형 넓이의 절반이라는 걸 공부했어요. (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이)

(△EBC의 넓이) = (△ABC의 넓이) = ½(□ABCD의 넓이) = ½ × 40 = 20(cm2)

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

이번에는 높이가 같고 밑변의 길이가 다른 삼각형의 넓이의 비를 알아보죠.

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비

위 그림에서 △ABD의 넓이는 ½mh이고, △ACD의 넓이는 ½nh에요.

두 삼각형의 넓이의 비는 ½mh : ½nh죠. 정리하면 m : n이에요.

넓이의 비가 밑변의 길이의 비와 같죠?

높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비

아래 그림에서 점 D는 의 중점, , △ABC의 넓이가 50cm2일 때 △DBE의 넓이를 구하여라.
높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 예제

이 그림에 직각 표시가 되어 있는데 이건 그냥 함정이에요. 밑변과 높이를 이용해서 구할 수 있을 것처럼 보이게 하는 거죠.

삼각형의 밑변의 길이의 비가 나왔는데, 이걸 이용하려면 높이가 같아야 해요. 밑변의 길이의 비를 이용할 수 있는 높이가 같은 삼각형은 △ABE와 △ACE에요. 밑변의 길이의 비가 2 : 3이니까 넓이의 비도 2 : 3이에요. 이 두 삼각형의 넓이의 합이 50cm2이니까 이 넓이를 2 : 3으로 나누면 되겠죠.

△ABE = △ABC ×  = 50 ×  = 20(cm2)

가 밑변이 되도록 △ABE를 돌려보세요. △ABE는 △DBE와 △ADE라는 두 개의 삼각형으로 되어 있어요. 점 E에서 에 내린 수선이 △DBE와 △ADE의 높이죠. 높이가 같고 밑변의 길이의 비가 이므로 △DBE와 △ADE의 넓이의 비도 1 : 1이에요.

△DBE = △ABE × ½ = 20 × ½ = 10(cm2)

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정리해볼까요
  • 평행선과 삼각형의 넓이: 밑변과 평행한 선 위의 임의의 한 점으로 이루어진 삼각형의 넓이는 모두 같다.
  • 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비 = 밑변의 길이의 비
 
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