삼각형의 중점 연결 정리입니다.
중점이 뭔지는 알죠? 정리가 뭔지도 알고요. (수학에서의 정의, 정리, 증명)
삼각형의 중점 연결 정리는 이름 그대로 삼각형에서 각 변의 중점을 연결했더니 어떤 특징이 있는데, 그 특징을 다른 여러 곳에 쓸 수 있는 거지요.
다른 내용과 달리 두세 개의 삼각형에 선을 여러 개 그어서 문제가 좀 복잡하게 나오기 때문에 기본을 잘 알고 있어야 하는 내용입니다.
삼각형의 중점 연결 정리
삼각형의 중점 연결 정리를 말로 표현하면 삼각형의 두 변의 길이의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이라는 거예요.
그림으로 표현하면 훨씬 더 이해하기 쉬울 거예요.
왼쪽 그림을 보세요.
점 M은 의 중점, 점 N은
의 중점이에요.
△ABC와 △AMN에서 의 비가 성립하고, ∠A는 공통이에요. 따라서 두 삼각형은 SAS 닮음이에요. △ABC ∽ △AMN
두 삼각형이 닮음이면 대응각의 크기가 같죠? (닮은 도형의 성질) ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM으로 동위각의 크기가 같으므로 평행선의 성질에 의해 예요. 또 다른 한 대응변에서도 2 : 1의 비가 성립하죠.
다음 그림을 보고 x를 구하여라.
삼각형의 양쪽 변의 중점을 연결한 선분은 다른 한 변과 평행하고, 길이는 그 절반이죠. 따라는 x는 16cm입니다.
삼각형의 중점 연결 정리의 역
이번에는 위 정리의 역이에요. 명제, 명제의 가정과 결론, 명제의 역에서 역은 명제의 가정과 결론의 자리를 바꾸는 거라고 했어요.
명제: 삼각형에서 두 변의 중점을 연결한 직선은 나머지 한 변과 평행하고 길이는 그 절반이다.
역 : 삼각형에서 한 변과 평행하고 길이가 절반인 직선은 다른 두 변의 중점을 연결한 선이다
명제와 역이 위처럼 되어야 맞지요? 그런데, 이 삼각형의 중점 연결 정리의 역은 좀 달라요. 내용은 같지만 표현을 다르게 해요. 삼각형에서 한 변의 중점을 지나고 다른 한 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.
두 역 사이에 어떤 차이가 있나요? 한 변의 중점을 지난다는 얘기가 추가되었고, 길이가 절반이라는 내용이 빠졌어요. 잘 이해하셔야 해요.
왼쪽 그림을 보세요.
△ABC와 △AMN에서 이므로 ∠ABC = ∠AMN, ∠ACB = ∠ANM이에요. 두 대응각의 크기가 같으니까 두 삼각형은 AA 닮음이죠. △ABC ∽ △AMN
두 삼각형이 닮음이면 대응변의 길이의 비가 같아요. 이므로
이죠. 따라서
이 됩니다.
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2의 내용을 이용해도 이 증명되죠.
다음 그림을 보고 x, y를 구하여라.
△ABC에서 이에요. 한 변의 중점을 지나고 다른 변과 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지나므로
입니다. y = 10cm네요.
∠ABC = ∠DNC = 90° →
→ N이
의 중점
한 변의 중점을 지나는 선이 다른 변과 평행이므로 삼각형 중점 연결정리의 역에 의해 점 D도 의 중점이에요. 그런데 그림에서
이죠.
따라서 중점 연결정리에 의해 이죠. 따라서 x = 10cm입니다.
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삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2
삼각형의 닮음 조건, 삼각형 닮음의 조건
닮은 도형의 성질
우와 친절한 설명 감사드려요~
잘 이해하셨나봐요. 틀린 곳도 찾아주시고요. ㅎㅎ
근데 MN:BC=1:2 아닌가요?
1:2에요.
'정리해볼까요'위 두번째 줄에 AD//DN 틀리지 않나요?
AD가 아니라 AB네요.
비밀댓글입니다
그림에 그렇게 표시되어 있어요.
수능 공부 시작한 재수생입니다
한번 궁금한게 있으면 끝까지 해결할때까지 못넘어가는 스타일인데
정말 제 궁금증을 시원하게 해결해주네요
디테일하고 정확한 해설 짱이에요!
끝까지 해결하려고 하는 자세가 아주 좋네요. ㅎㅎ
ㄷㄷ.... 너무 설명을 잘 하셔서 이가 떨리네여......
이가 떨리면 고기를 씹고 뜯고 맛볼 수가 없어요. ㅎㅎ
선생님 좋은 자료 감사합니다.
질문이 있어요.
중점연결정리의 역을 다루실때, 조건에 한변의 중점을 지난다는 조건을 추가하셨는데요. 그 조건을 추가하지 않고 역을 다룰수는 없나요?
원래 "역"을 의미하는 거죠?
증명방법은 똑같아요. 단지 어디를 조건으로 둘 것인가의 차이예요.
혹시 닮음 말고 다른 방법으로 증명할 수 있나요?
중학 교과서나 참고서에서 본 기억은 없습니다.
선생님 항상 잘 보고있습니다! 감사해용 ㅎㅎ
댓글 고맙습니다. ㅎㅎ
이해가 원래는 힘들었는데, 완전히 이해 갔어요!!
왕;ㅜ