이번에는 닮은 도형의 기본으로 다시 돌아가서 두 닮은 도형 사이의 성질에 대해서 알아볼 거예요.

닮은 도형은 대응변의 길이의 비가 같아요. 이 비를 닮음비라고 하며 모든 대응변에서 같죠. 닮은 도형에서는 대응변의 길이뿐 아니라 둘레의 길이와 넓이에도 일정한 비가 성립해요.

닮은 도형의 길이의 비(=닮음비), 닮은 도형의 둘레의 비닮은 도형의 넓이의 비가 서로 어떤 관계가 있는지 알아볼까요?

닮은 도형의 둘레의 길이의 비

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1 - 닮은 도형의 둘레의 길이의 비

닮음비가 m : n인 두 삼각형 △ABC, △DEF가 있어요.

△ABC의 둘레의 길이를 구해보죠. ma + mb + mc인데, 여기서 m을 앞에 쓰고 m을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 m(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 ma + mb + mc가 되죠? 그러니까 둘을 같은 거죠?

m(a + b + c) = ma + mb + mc

이번에는 △DEF의 둘레의 길이를 구해보죠. na + nb + nc인데, 여기서 n을 앞에 쓰고 n을 뺀 나머지 것들을 모두 괄호 안에 넣어서 쓰면 n(a + b + c)이에요. 이걸 분배법칙을 이용해서 괄호를 풀면 na + nb + nc가 되니까 둘을 같은 거예요.

n(a + b + c) = na + nb + nc

두 삼각형의 둘레의 길이의 비는 m(a + b + c) : n(a + b + c) 인데, (a + b + c)가 모두 들어있으니까 지우고 나면 m : n이에요. 닮음비와 같아요.

닮은 도형의 닮음비 = 닮은 도형의 둘레의 길이의 비
닮음비가 m : n → 둘레의 길이의 비도 m : n

닮은 도형의 넓이의 비

이번에는 닮은 도형의 넓이의 비를 구해보죠.

닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비 1 - 닮은 도형의 넓이의 비

□ABCD와 □EFGH가 있어요. 두 도형의 닮음비는 m : n이에요.

□ABCD의 넓이 = ma × mb = m2ab
□EFGH의 넓이 = na × nb = n2ab

□ABCD : □EFGH = m2ab : n2ab

두 항 모두에 ab가 들어있으니까 약분하면 m2ab : n2ab = m2 : n2가 되죠.

닮은 도형의 넓이의 비
닮음비가 m : n → 넓이의 비 m2 : n2

두 원이 있다. 큰 원의 반지름은 작은 원의 반지름의 3배이고, 작은 원의 반지름이 2cm일 때, 큰 원의 넓이를 구하여라.

닮은 도형, 도형의 닮음에서 정다각형, 원 등은 항상 닮은 도형이라고 했어요. 따라서 별다른 얘기가 없어도 이런 도형들은 닮은 도형이라는 걸 전제로 하고 문제를 풀어야 해요. 그리고 원에서는 변의 길이 대신에 반지름의 길이의 비를 닮음비로 한다고 했어요.

닮음비가 1 : 3이니까 넓이의 비는 1 : 32 = 1 : 9가 되겠죠?

작은 원의 반지름이 2cm니까 넓이는 πr2 = 4π(cm2)이군요.

큰 원의 넓이는 작은 원 넓이의 9배니까 4π × 9 = 36π(cm2)입니다.

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정리해볼까요

닮은 도형의 닮음비, 둘레의 비, 넓이의 비

  • 닮음비 = m : n
  • 둘레의 길이의 비 = m : n
  • 넓이의 비 = m2 : n2
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