평행선 사이의 선분의 길이의 비는 새로운 내용이 아니고, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1, 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2를 합친 거예요.
삼각형을 먼저 그려놓고 평행선을 그렸었잖아요. 이번에는 평행선을 먼저 그려놓고 삼각형을 나중에 그리는 것만 달라요.
따라서 두 글의 내용을 제대로 이해하고 있지 않다면 아래 내용을 전혀 알 수 없어요. 이 글을 읽기 전에 두 글을 먼저 읽고 오세요.
두 글의 내용을 다 이해하고 있다면 그리 어렵지 않으니까 추가적인 증명은 최대한 줄이도록 할게요.
평행선 사이의 선분의 길이의 비
선분 l, m, n이 서로 평행해요. 평형한 세 선분을 지나는 두 직선이 있을 때, 두 직선과 평행한 세 선분이 만나면 위 그림처럼 총 네 개의 길이가 생겨요. 네 변의 길이에는 위와 같은 비례식이 성립합니다.
물론 그림으로 외워야겠죠?
특히 오른쪽 그림에서 비례식을 세우기가 어려워하는 경우가 많은데, 한 가지만 기억하면 비례식을 쉽게 세울 수 있어요. 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요. ①, ②가 한 직선 위에 있으니까 이 둘이 한 변에 오도록 ① : ②를 좌변으로, ③, ④가 한 직선 위에 있으니까 ③ : ④를 우변으로 만들면 돼요.
증명은 어렵지 않아요.
여러 가지 할 필요없이 그냥 각 그림에서 오른쪽에 있는 직선을 왼쪽으로 옮겨서 두 직선이 평행선 위의 한 점에서 만나게 하면 돼요.
왼쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에서, 오른쪽 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1에서 봤던 그림이죠? 따로 설명하지는 않을게요.
평행선 사이의 선분의 길이의 비 두 번째
이번에는 평행선을 잘 연결해서 삼각형을 만들었을 때에요.
뭔가 그림이 참 복잡한데 세로로 그어진 세 직선이 평행이에요. 그리고 그 중간에 여러 선을 그어서 삼각형을 만든 거죠. 색깔에 유의해서 보세요
여기서도 마찬가지로 같은 직선 위에 있는 길이가 한 변에 오게 비례식을 세우면 돼요.
그림에서 필요한 부분만 떼서 보죠.
△ABE와 △CDE를 보세요. 두 삼각형은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1의 그림을 옆으로 눕혀놓은 거예요. 두 삼각형은 닮은 도형이므로 길이의 비가 같아요. 각 선의 색으로 구별할 수 있어요.
또 필요한 부분만 떼왔어요. 이 그림은 삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2에 나오는 그림이죠? 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있죠?
위 두 비례식에 가 공통으로 들어있으니까 이걸 이용하면 아래 비례식을 만들 수 있어요.
다음 그림에서 변 EF의 길이를 구하여라.
위 내용정리에서 변EF에 관한 내용은 없어요. 하지만 EF를 뺀 나머지 변의 길이의 비는 모두 구할 수 있죠? 6 : 12 = 1 : 2요.
이 1 : 2라는 비와 △ABC와 △EFC가 닮음이라는 것을 이용하면 EF의 길이를 구할 수 있어요.
에요. 따라서
가 되는 거죠. 3 : 2는 두 삼각형 △ABC와 △EFC의 닮음비에요. 이 닮음비는 모든 대응변에서 같아요.
함께 보면 좋은 글
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 1
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비 2
닮은 도형, 도형의 닮음
감사합니다 시험기간이라서 수학이 많이 부족했는데 잘 알게됐어요ㅎㅎ
벌써 시험시간이군요. 열심히 준비하세요.
맨 마지막 그림에서요
6cm를 Acm 12cm를 Bcm라고 했을때
A×B/A+B= 선분EF라던데요
혹시 공식 유도 과정 아시나요.....??
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110303&docId=185653956
여기 제가 질문한곳인데 답변좀 해주시면 안되나요?
이런 모양의 도형 모르겟어요
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비(http://mathbang.net/170)를 참고하면 풀 수 있을 거예요.
감사합니다!
맨 마지막 그림에서요
6cm를 Acm 12cm를 Bcm라고 했을때
A×B/A+B= 선분EF라던데요
혹시 공식 유도 과정 아시나요.....??
비밀댓글입니다
똑같은 방법으로 풉니다.
맨 마지막 그림에서요
6cm를 Acm 12cm를 Bcm라고 했을때
A×B/A+B= 선분EF라던데요
혹시 공식 유도 과정 아시나요.....??
설명되게잘하시네요ㅅㅅ
고맙습니다. ㅎㅎ
비밀댓글입니다
이해해 놓고 보니까 별 거 아니죠?
마지막에 변EF가 ab 나누기 a+b로 구할 수 있는데
어떤 원리로 나온 것인가요?
이해가 안돼서 질문드립니다
a + b는 없는데 어디를 얘기하는 건가요? 질문을 조금 더 정확히 해주세요.
혹시 1 : 2의 비가 3 : 2로 바꾸는 부분을 얘기하는 거라면 선분을 이루는 알파벳에 유의해서 봐보세요.
첫번쨰 증명에서 1:3=2:4가 될수도 있잖아요 이건 어떻게 증명해요?
1 : 2 = 3 : 4와 1 : 3 = 2 : 4는 같은 비례식이니까 따로 증명할 필요가 없죠.
비밀댓글입니다
a : b = AB : DC = BE : ED예요.
이해하기 쉽게 설명해주셨어 감사합니다!
이해하기 쉽지 않은 내용인데 쉽게 이해하셨네요. ㅎㅎ
정말 멋져요
맞아요. 멋져요.