곱셈공식 두 번째예요. 곱셈공식 - 완전제곱식에서 완전제곱식의 형태인 공식을 두 개 공부했어요.
이 글에서 공부할 곱셈공식은 조금 더 어려워요. 하지만 공식이 만들어지는 원리는 분배법칙으로 모두 같아요. 만들어지는 원리를 잘 이해하고, 그림을 통해서 한 번 더 확인해보면 공식을 외우는 데 도움이 될 거예요.
공식을 외우는 이유는 계산과정을 조금 더 쉽고 빨리하기 위해서예요. 그런데 공식을 외우라고 하면 공식은 잘 외우지만, 실제 계산에서 적용하지 못하는 학생들이 있어요. 단순히 외우지만 말고 실제 문제에서 바로바로 적용할 수 있도록 연습을 많이 하세요.
곱셈공식
곱셈공식 (3) - 합차공식
세 번째 곱셈공식은 합차공식이라는 이름으로 불러요. 왜 합차공식이냐면 두 항을 더한 것과 뺀 것을 곱하거든요.
(a + b)(a - b)는 a와 b를 한 번은 더하고, 한 번은 빼서 곱하는 거죠. 전개해서 정리해볼까요?
(a + b)(a - b)
= a(a - b) + b(a - b)
= a2 - ab + ba - b2
= a2 - b2
(a + b)(a - b) = a2 - b2
앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼주는 거예요.
그림으로 확인해보죠.
한 변의 길이가 a인 정사각형에서 가로는 b만큼 늘려주고, 세로는 b만큼 줄이면 가로 길이는 (a + b), 세로 길이는 (a - b)예요. 넓이는 (a + b)(a - b)죠. 이게 가운데 그림이에요.
가운데 그림의 오른쪽에 있는 작은 사각형을 밑으로 돌리면 세 번째 그림처럼 돼요. 흰 사각형의 가로 길이는 a - (a - b) = b죠.
색칠한 부분의 넓이 = 전체 사각형의 넓이 - 흰 사각형
(a + b)(a - b) = a2 - b2
합차공식은 두 개의 항을 한 번은 더하고, 한 번은 뺀 것을 곱할 때만 씁니다. (a + b)(a - c)는 +, -가 있지만 두 번째 항이 b와 c로 달라서 합차공식을 사용해서는 안 돼요.
(a + b)(a - c) ≠ a2 - b2
(b + c)(d - c) ≠ b2 - c2
다음을 간단히 하여라.
(1) (3a + b)(3a - b)
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
(3) (5a - 2b)(5a + 2b)
합차공식은 앞의 항을 제곱한 것에서 뒤의 항을 제곱한 것을 빼면 돼요.
(1) (3a + b)(3a - b)
= (3a)2 - b2
= 9a2 - b2
(2) (2a + 3b)(2a - 3b)
= (2a)2 - (3b)2
= 4a2 - 9b2
(3)은 두 항의 뺄셈이 앞에 있고, 덧셈이 뒤에 있죠. 곱셈에서는 교환법칙이 성립하니까 순서는 상관없어요.
(5a - 2b)(5a + 2b)
= (5a)2 - (2b)2
= 25a2 - 4b2
곱셈공식 (4) - x의 계수가 1일 때
이번 곱셈공식은 x가 있는 일차식 두 개를 곱하는 공식이에요. 이때 두 일차식의 x의 계수가 1이에요.
(x + a)(x + b)를 전개해서 정리해보죠. 여기서 a, b는 상수항이에요.
(x + a)(x + b)
= x(x + b) + a(x + b)
= x2 + bx + ax + ab
= x2 + (a + b)x + ab
세 번째 줄의 ax와 bx가 x가 있는 동류항이라서 서로 더해줬어요.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
x는 제곱해주고, 두 상수항을 더한 것에 x붙여주고, 두 상수항을 곱한 것을 더해줘요.
역시 그림으로 확인해보죠.
가로가 (x + a)이고, 세로가 (x + b)인 사각형이에요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab
= x2 + (a + b)x + ab
다음을 간단히 하여라.
(1) (x + 2)(x + 3)
(2) (x + 3)(x - 5)
(3) (x - 2)(x - 3)
계수가 1인 두 일차식의 곱은 x는 제곱, 두 상수항의 합에 x를 붙여주고, 상수항의 곱을 더해주는 거예요.
(1) (x + 2)(x + 3)
= x2 + (2 + 3)x + 2 × 3
= x2 + 5x + 6
(2) (x + 3)(x - 5)
= x2 + {3 + (- 5)}x + 3 × (-5)
= x2 - 2x - 15
(3) (x - 2)(x - 3)
= x2 + {(-2) + (-3)}x + (-2) × (-3)
= x2 - 5x + 6
곱셈공식 (5) - x의 계수가 1이 아닐 때
이번 게 제일 어려운 곱셈공식이에요. 이번에도 일차식 두 개를 곱하는데 일차항의 계수가 1이 아니에요.
(ax + b)(cx + d)에서 a, c는 일차항의 계수이고, b, d는 상수항이에요.
(ax + b)(cx + d)
= ax(cx + d) + b(cx + d)
= acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
복잡하죠? 동류항이 있어서 더해주는 과정이 있어요.
그림을 보죠.
가로가 (ax + b)이고, 세로가 (cx + d)인 사각형이에요.
전체 사각형의 넓이 = 작은 사각형 네 개의 합
(ax + b)(cx + d) = acx2 + adx + bcx + bd
= acx2 + (ad + bc)x + bd
다음을 간단히 하여라.
(1) (2x + 3)(3x + 1)
(2) (3x - 1)(2x + 1)
(3) (2x - 1)(4x + 3)
(1) (2x + 3)(3x + 1)
= 2x × 3x + (2 × 1 + 3 × 3)x + 3 × 1
= 6x2 + 11x + 3
(2) (3x - 1)(2x + 1)
= 3x × 2x + {3 × 1 + (-1) × 2}x + (-1) × 1
= 6x2 + x - 1
(3) (2x - 1)(4x + 3)
= 2x × 4x + {2 × 3 + (-1) × 4}x + (-1) × 3
= 8x2 + 2x - 3
곱셈공식 - 완전제곱식에서 2개, 이 글에서 3개 해서 총 5개의 곱셈공식을 공부했어요. 무조건 외워야 합니다.
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- (a + b)(a - b) = a2 - b2
- (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
- (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
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곱셈공식 - 완전제곱식
단항식과 다항식의 곱셈과 나눗셈
곱셈공식의 변형
수학방님은 개념풀이뿐만 아니라
연산하는 방법까지 정확히 써주셔서
너무 좋습니당 하핫
제방법대로 하면 계산 막틀리고 했는데
주인장님이 올려주신 연산 방법 그대로 따라가면 수월하네요
역시 짱!
연산의 기본과정을 잘 따라하는 게 제일 쉬운 방법이에요.
기본에 충실해지도록 연습을 많이 해보세요.
ㅎ
저 위에 맨 첨에 합차공식 설명 나오면서 전개할때여
b(a-b)곱해줄때 -b^2같은뎅 +b^2이라고 나온거 가튼뎅
아 ~ 오타 아니냐고 당당히 말하고싶당 ㅠ.ㅜ
오타네요. ㅎㅎ
의심나는 부분 또 있으면 얘기하세요.
와 진짜 대박이예요 학원에서 설명들어도 이해가 안 가던 게 이거 보고 진짜 이해됐어요! 대박이네요 감사합니다! !
여기가 학원보다 좋아요? ㅎㅎ
학교 숙제하는데 도움이 됬네요 감사합니다.!!!
숙제 열심히 하세요. ㅎㅎ
풀이과정까먹었었는데 학원에서하는것보다,이해가잘되는것같네요 정말대박대박 입니다
학원비 저한테 주세요. ㅎㅎ
위에 합차공식에서 (a+b)(a-b)= a²- ab + ba- b²
여기서 + ba 를 + ab로 바꿔야되는데 일부러 분배법칙을 강조하는 건가요? (수학방님의 빅픽처)
네, 일부러 그랬어요.