순열과 조합은 경우의 수 공식 - 대표 뽑기에서 했던 건데 조금 더 자세히 알아볼게요. 순열과 조합은 조금 어려운 내용이라서 공부하기 힘들 거예요. 계산 자체가 어렵다기보다는 순열인지 조합인지 판단하기가 상당히 모호해요. 잘 구별해야 합니다.
어렵긴 하지만 양이 많지는 않으니까 금방 지나가요. 순열은 순서가 중요하고 조합은 순서가 중요하지 않다는 차이만 확실히 이해하시면 돼요.
순열
1부터 5까지 적힌 카드가 한 장씩 있다고 해보죠. 이 중 세 장을 뽑아서 세 자리 숫자를 만드는 방법의 경우의 수를 구해볼까요?
- 백의 자리 카드를 뽑을 때는 1 ~ 5중 한 장을 뽑을 수 있어요. 총 다섯 가지
- 십의 자리 카드를 뽑을 때는 ① 뽑은 카드를 제외한 네 장중 하나를 뽑을 수 있어요. 네 가지
- 일의 자리 카드를 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 카드를 제외한 세 장중에서 하나를 뽑을 수 있어요. 세 가지
연달아 일어나는 사건이므로 곱의 법칙을 이용하면 다섯 장의 카드 중 세 장의 카드를 뽑아서 숫자를 만드는 방법은 5 × 4 × 3 = 60가지예요.
위 예에서 카드를 뽑아서 순서대로 놓았죠? 바로 이런 걸 순열이라고 해요. 이름 그대로 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 걸 순열이라고 하지요.
순열을 기호로 나타낼 때는 순열을 뜻하는 영어 Permutation의 첫 글자 P를 이용해요. n개 중에서 r개를 뽑아서 줄을 세우는 걸 nPr이라고 합니다. 엔피알이라고 읽으세요. P는 대문자로 쓰고 n과 r은 소문자로 쓰는데 크기를 조금 작게 써요.
총 다섯 장의 카드 중에서 세 장을 뽑는 건 5P3이라고 쓰고 오피삼이라고 읽는 거죠.
n가지 중에서 r개를 뽑아 줄을 세우는 경우를 볼까요?
- 첫 번째로 뽑을 때는 n개 중 한 개를 뽑을 수 있어요. n가지
- 두 번째로 뽑을 때는 ①에서 뽑은 한 개를 제외한 (n - 1) 개중 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 1)가지
- 세 번째로 뽑을 때는 ①, ②에서 뽑은 걸 제외한 (n - 2) 개중에서 하나를 뽑을 수 있어요. (n - 2) 가지
그럼 r번째로 뽑을 때는 어떨까요? r번째로 뽑을 때는 ①, ②, …, (r - 1)에서 뽑은 걸 제외한 n - (r - 1)개 중에서 하나를 뽑을 수 있어요. n - (r - 1)가지가 되지요.
여기서 r은 개수에요. 그러니까 당연히 0보다 커야겠죠? 그리고 n개 중에서 뽑는 거니까 n보다 클 수는 없어요. n보다 작거나 같지요. 0 < r ≤ n
서로 다른 n개에서 r개를 순서대로 고르는 순열의 수는
(단, 0 < r ≤ n)
nPr은 n부터 1씩 줄여가면서 r개의 숫자를 곱해서 구할 수 있어요.
(n + 1)P3 = 24을 만족하는 n을 구하여라.
(n + 1)P3 = 24
(n + 1)n(n - 1) = 24
n(n2 - 1) = 24
n3 - n - 24 = 0
n에 관한 삼차방정식에요. 조립제법을 이용해서 해를 구해보면 n = 3이 나오네요.
무한도전 일곱 멤버(박명수, 정준하, 유재석, 정형돈, 길, 노홍철, 하하)의 자리 배치를 다시 하려고 한다. 유재석이 가운데인 네 번째 자리에 오도록 자리를 배치할 때 경우의 수를 구하여라.
유재석이 네 번째에 고정되어야 하는군요.
부분집합의 개수를 구할 때 특정 원소를 포함하는 부분집합의 개수를 어떻게 구했나요? 그 원소를 뺀 나머지 원소들의 부분집합을 구한 다음에 거기에 특정 원소를 집어넣으면 되는 거였어요. 즉, 특정 원소를 포함한 부분집합의 개수 = 특정 원소를 포함하지 않는 부분집합의 개수였었죠?
마찬가지로 유재석을 뺀 나머지 여섯 명의 자리 배치를 한 후에 네 번째 자리에 유재석을 끼워 넣고 나머지를 한 자리씩 뒤로 미루면 돼요. 유재석이 없을 때의 경우의 수와 같다는 거지요.
유재석을 뺀 나머지 6명의 자리 배치를 해볼까요? 6명 중에서 6명을 모두 뽑아야 해요. 뽑고 싶지 않은 멤버가 있어도 하차시키지 말고 다 뽑아야 해요.
6명의 멤버 중 6명을 순서대로 뽑아서 줄을 세우는 거니까 6P6이네요. 6부터 1씩 줄이면서 6개의 숫자를 곱하는 거지요.
6P6 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
720가지 방법이 있군요. 자리분양 특집 한 번 더 해야겠어요.
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