선분의 내분점과 외분점이라는 생소한 용어에 대해서 공부할 겁니다.
쉽게 말해 내분이라는 말은 나눈다는 말인데, 안에서 나눈다는 뜻이에요. 외분은 바깥에서 나눈다는 뜻이고요. 그러니까 내분점은 안에서 나누는 점이고, 외분점은 바깥에서 나누는 점이죠.
내분점, 외분점이 무엇인지 알아보고 내분점과 외분점의 좌표를 구하는 공식도 유도해보죠. 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점은 좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점에도 그대로 적용되니까 잘 봐두세요.
수직선 위의 선분의 내분점과 외분점
수직선 위의 선분의 내분점
수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여 선분 AB위의 한 점 P가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 P가
를 m : n으로 내분한다고 하고 점 P를 내분점이라고 해요.
점 P의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 적용해볼까요? x1 < x < x2네요.
x - x1 : x2 - x = m : n
n(x - x1) = m(x2 - x)
nx - nx1 = mx2 - mx
(m + n)x = mx2 + nx1
x =
점 P가 를 내분하는 비율을 알면 점 P의 좌표를 구할 수 있겠죠?
만약에 m = n이면 어떨까요? 이니까 바로 이때 내분점 P는 중점이 되는 거예요.
수직선 위의 선분의 외분점
수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여 선분 AB의 연장선 위의 한 점 Q가 (m > 0, n > 0)을 만족할 때, 점 Q가
를 m : n으로 외분한다고 하고 점 Q를 외분점이라고 해요.
점 Q의 좌표를 x라고 하고 에 두 점 사이의 거리 공식을 넣어보죠. x1 < x2 < x 네요.
x - x1 : x - x2 = m : n
n(x - x1) = m(x - x2)
nx - nx1 = mx - mx2
(m - n)x = mx2 - nx1
x =
위에서는 m > n일 때였는데, 이번에는 m < n일 때를 보죠. 점 Q가 A의 왼쪽에 있을 때에요. x < x1 < x2네요.
x1 - x : x2 - x = m : n
n(x1 - x) = m(x2 - x)
nx1 - nx = mx2 - mx
(m - n)x = mx2 - nx1
x =
점 Q가 A의 왼쪽에 있든지 B의 오른쪽에 있든지 상관없이 Q의 좌표는 똑같아요. 외분하는 비율 m, n을 알면 점 Q의 좌표를 구할 수 있어요.
좌표를 구하는 공식과는 별개로 외분하는 비율을 보면 외분점의 위치를 알 수 있겠죠? m > n이면 외분점은 점 B의 오른쪽에 m < n이면 외분점은 점 A의 왼쪽에 있어요. 즉 비율이 작은 쪽에 외분점이 있어요.
1 : 1로 내분하면 중점이었죠? 1 : 1로 외분하는 점은 뭘까요? 그런 점은 생길 수가 없어요. 따라서 무조건 m ≠ n이에요.
정리해보죠.
수직선 위의 두 점 A(x1), B(x2)에 대하여
선분 AB를 m : n (m > 0, n > 0)으로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 하면
(내분점일 때는 m = n이면 중점, 외분점일 때는 m ≠ n)
내분점과 외분점의 좌표 구하는 공식은 가운데 부호만 빼고 나머지는 같으니까 쉽게 외울 수 있겠죠?
수직선 위의 두 점 A(-2), B(4)에 대하여 선분 AB를 3 : 2로 내분하는 점을 P, 외분하는 점을 Q라고 할 때 점 P와 점 Q의 좌표를 구하여라.
내분점 P의 좌표 = =
외분점 Q의 좌표 = =
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잘 봤어요~
^0^~~
또 보러 와요.^0^
노란색박스 정리에 분자가 mx1+mx2라고 되잇어요!! nx2아닌가요?!
수정했어요.
비밀댓글입니다
1.6이네요. ㅠㅠ
수직선위의선분의내분점 밑에보시면
위에서는m>
오타인거같아요
n이 빠졌네요.
위에서m:n비라고했을때 (수직선위의선분의외분점)
m은x₁-x잖아요~왜방향이오른쪽에서왼쪽인가요?
x-x₁이라고해도상관없나요..?
방향은 항상 오른쪽에서 왼쪽이에요. 그냥 수직선에서 거리 구하는 거니까요.
음.. 오른쪽에서왼쪽을빼야보통양수꼴이나오기때문이라고이해하면될까요?
거리를 구하는 거니까 양수꼴이 아니라 양수여야 해요. 두 점 사이의 거리(http://mathbang.net/408) 참고하세요.
죄송한데..좀더구체적으로설명해주셔요..ㅎㅎ
여러 번 읽어보시면 이해가 될 거예요.
비밀댓글입니다
8/5가 왜 1.3이죠...
고쳤어요.
공부하다가 이해가 안되는 부분이 있어서 이곳을 찾았는데
AP:PB=m:n에서 두 점 사이의 공식을 어떻게 이용하면 x1<x<x2 이 부등식이 나오나요?
x, x1, x2는 각 점의 좌표를 말하는 거예요. 그림의 수직선을 보세요.
점q가 a의 왼쪽에있든 b의 오른쪽에 있든 q의 좌표는 같다는게 이상해서요...
m,n비율 반대로하고 해봤는데 다른거 아닌가요?
A가 B보다 왼쪽에 있을 때,
Q가 A의 왼쪽에 있으면 m < n이고, B의 오른쪽에 있으면 m > n이죠.
좌표를 구하는 공식은 같지만 m, n의 대소관계가 달라서 실제 숫자를 대입해서 나온 결과인 좌표는 같지 않아요.
ex.
m = 3, n = 2일 때는 B의 오른쪽,
m = 2, n = 3일 때는 A의 왼쪽
이건 수평상의 값인데, 만약 대각선에서라면 값을 어떻게 구해야 하는거죠?
바로 다음 글 <좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점>에 있어요.
http://mathbang.net/440
선분 AB의 길이의 값이 21이고 그 선분을 5:2 로 내분하는 점 P와 외분하는 점 Q가 있어서 그 둘을 구하고 선분 PQ의 길이를 구하라고 하면 어떻게 해야 하나요
good
so good.
good
good
자주 이용하고 있어요!ㅎㅎ.감사합니다:)!!!!!!
자주 이용하신다면 수학 고수가 될 날이 얼마 남지 않았겠군요.
감사합니다. 다음에 올일 있으면 또 방문할게요~!!!
공식 유도를 꼭 외워야만 하나요?
외워야하는 건 아니지만 어떤 원리, 어떤 방법으로 유도하는지 큰 줄기는 알아야 해요.
ㄱㅅ