단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.
다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.
이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.
다항식의 연산법칙
a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.
다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.
세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC
A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x2 + 3x + 1) + (x2 - 2x - 8) = (x2 - 2x - 8) + (2x2 + 3x + 1)이 된다는 거예요.
새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?
다항식의 계산
다항식의 덧셈과 뺄셈
다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.
단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.
- 괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
- 동류항을 찾아 계산
- 내림차순으로 정리
다항식의 곱셈
다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.
A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B
식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.
(1) 2A - (B + C)
= 2(2x2 + 3x + 1) - {(x2 - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x2 + 6x + 2 - (x2 + x - 10)
= 4x2 + 6x + 2 - x2 - x + 10
= 3x2 + 5x + 12
(2) AC - 3B
= (2x2 + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x2 - 2x - 8)
= 6x3 + 9x2 + 3x - 4x2 - 6x - 2 - 3x2 + 6x + 24
= 6x3 + 2x2 + 3x + 22
함께 보면 좋은 글
[중등수학/중1 수학] - 단항식과 다항식, 항, 상수항, 계수, 차수
[중등수학/중1 수학] - 동류항, 동류항의 덧셈과 뺄셈
[중등수학/중1 수학] - 분배법칙, 분배법칙, 교환법칙, 결합법칙 비교
[중등수학/중2 수학] - 다항식의 계산, 다항식의 덧셈과 뺄셈
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 - 완전제곱식
[중등수학/중2 수학] - 곱셈공식 두 번째 - 합차공식 외
첫 번째 문단에서 '다항식은 항이 한 개이상있는'
-> '항이 한 개 이상 있는' 입니다.
링크 이름이 잘 못 되있네요.
설명 잘되있어서 좋네요.
여기서 나오는 수2는 2014년 고1만 하라고 하셨는데
개정전 수2랑 이 내용이랑 많이 틀린건가요?
내용이 완전히 달라요. 개정전 수2는 2학년 용이고, 개정 후 수2는 1학년 용이죠.
http://mathbang.net/553를 참고하세요.
너무감사해여 완전히 이해되여♡♡♡★★★
어려운 내용은 아닌데 문자와 차수를 착각하기 쉬워요. 연습을 많이 하세요. ♡♡♡★★★
제가 (x+y)(x+z) 같은 다항식의 곱셈식이 왜 다항식인가 궁금해서 선생님께 질문드렸는데, 이 식을 전개하면 결국엔 다항식이 나올테니까 다항식이라고 한다는 말씀을 하시더라고요. 정확히 왜 그런지 설명해주실 수 있나요? 만약 전개해서 다항식이 나오므로 다항식이라고 해버린다면, 단항식과 다항식의 판단은 식을 전개하거나, 정리한 다음에 해야하는 건가요? 다항식은 여러 개의 단항식의 합이라는 정의 때문에 이해가 안됩니다.
당연히 전개해야죠.
어떤 식이 일차방정식인지 아닌지를 판단할 때도 전개해서 동류항 계산을 다 한 다음에 판단을 하죠? x + x - 2x = 0은 일차방정식이 아니잖아요.
정수, 정수 아닌 유리수를 판단할 때 약분을 하는 것도 같은 이유고요. 4/2는 생긴 모양은 정수 아닌 유리수지만 실제로는 2라서 그냥 정수잖아요.
그러면 다항식은 정리를 한 뒤에 단항식인지 다항식인지 판단을 해야되는 거군요?
근데 단항식이 다항식인 이유가 다항식으로도 나타낼 수 있기 때문이 맞나요?
다항식뿐 아니라 모든 식(함수, 방정식 등)을 판단할 때는 정리를 먼저 해야죠.
마땅히 질문할 곳이 없어 여기에 올립니다.
"x^2+1=0은 다항식이다 " 라는 문장이 틀렸다는데 이유가 저 식이 방정식 이기 때문이다 인데 이유가 궁금합니다. 방정식과 다항식의 차이점이도 궁금합니다. (x의 제곱인데 저렇게 표현 하는게 맞는지 모르겠습니다.)
방정식과 항등식(http://mathbang.net/230)
다항식(http://mathbang.net/227)
참고하세요.
안녕하세요 이제 고1들어가는 예비고1이에요 ㅠㅠ 수학 예습중인데 저 다항식 하나도 안되있나봐요... 하나도 이해가 안되네요 ㅠㅠ
3x의제곱-xy+y의2제곱+4x-2+1을
y에대한 오름차순으로 정리하면
1+4x+3x의2제곱2-xy-2y+y의2제곱 아닌가요?
왜 3x의2제곱+4x+1-xy-2y+y의2제곱이 되죠?
또
3x의2제곱 + 4x -xy +y의2제곱-2y+1
이거를 3x의2제곱 + ( -y+4 )x + y의2제곱 - 2y+1로 묶던데
3x의2제곱은 왜 안묶이는건가요?
1.
y에 대하여 오름차순으로 정리하려면 y만 생각해요. x는 그냥 상수취급해버리는 거죠. 그렇다면 y가 없는 항들의 순서는 아무 상관없어요.
1 + 4x + 3x^2 - xy -2y + y^2 이나 3x^2 + 4x + 1 - xy - 2y + y^2이나 똑같이 y에 대해서 오름차순으로 정리한 거예요. y에 대해서만 신경쓰면 되고, x에 대해서는 해도 되고 안되도 돼요.
둘 다 맞은 거예요.
2.
x에 대해서 내림차순으로 정리했네요. 이차항은 이차항끼리, 일차항은 일차항끼리 묶은 경운데, x의 이차항은 3x^2 하나밖에 없으니 그대로 두고, 일차항은 -xy, 4x 두 개니까 이 두개를 x를 이용해서 하나로 묶은 거예요. 나머지 상수항 묶을 게 없으니까 그대로 두고요.
미적분은 없나요?
네, 미적분은 아직 없어요.
수고했어요.
네, 수고하세요. ㅎㅎ
안녕하세요. -5제곱 하고 (-5)제곱하고 결과가 같지않다는데 이유가 뭔가요?
-5제곱 = -25
(-5)제곱 = 25
괄호풀기 순서는 대괄호 중괄호 소괄호 순서로 표시해야 맞을 듯. 어차피 대괄호 속의 중괄호 중괄호 속의 소괄호를 풀어야 되니까요 대괄호 밖의 소괄호는 풀이과정상 나중 순서이므로 그렇게 생각 드네요..
따로 따로 있는 괄호는 어느 것을 먼저하든 상관이 없어요. 대괄호를 먼저 풀든, 대괄호 밖의 소괄호를 먼저 풀든 결과는 같아요.
솔직히 말해 분배법칙만 잘 쓰면 괄호의 순서는 그다지 중요하지 않습니다. 다만 소 -> 중 -> 대 순서로 푸는 것이 계산이 더 쉬워요.
x가 ㅡx일때는 계수가 0인가요?
0이 아니라 -1입니다.
항, 계수, 차수 http://mathbang.net/227 를 참고하세요.
수학 잘하시네요
여기 있는 게 다예요.
제가 예비 중3인데 쌤께서 식을 깔끔히 잘 쓴대요. 그런데 너무 쌤이 길게 쓴대요. 하지만 아빠는 식을 중학교땐 빼먹지 않고 써야 한대요. 저희 아빠도 수학 정말 잘하시고, 수학쌤도 잘하시는데, 식은 어떻게 써야 할까요? 평소 문제풀땐 길게쓰고 시험지에 풀땐 암산해서 짧게 쓸까요? 저한텐 큰 고민입니다 ㅜㅜ
기본적으로 식은 길게 쓰는 게 좋긴 합니다.
다만, 꼭 필요하다고 생각되지 않는 내용들 이를테면 이항, 단순 사칙연산 같은 건 생략해도 되죠.
평소와 시험 때 다르게 하는 건 비추입니다. 똑같이 하세요. 연습은 실전처럼 실전은 연습처럼 이란 말도 있잖아요.
식을 깔끔하게 쓰는 건 무엇보다 좋은 습관이니 꼭 앞으로도 계속 그렇게 하세요.
계산할때, 더하기 빼기는 어떻게 구분하나요? 앞에 - 도 있고 + 도 있어서 무슨 부호로 더해야하는지 빼야하는지....
17살인데 지금부터라도 열심히 해보겠습니다
안녕하세요. 전 고딩인데 수학방은 수학교과서보다 읽기가 더 쉬워서 더 만족스럽습니다~그래서 너무 맘에 들 것 같네요. 앞으로 계속 열심히 공부하겠습니다. 당신의 도움에 대단히 감사드립니다.(ノ◕ヮ◕)ノ*:・゚✧(ノ◕ヮ◕)ノ*:・゚✧(ノ◕ヮ◕)ノ*:・゚✧
비밀댓글입니다
도움이 됬습니다.