단항식은 항이 하나만 있는 식이죠. 다항식은 항이 여러 개 있는 식을 말해요. 헷갈리면 안되는 게 단항식도 다항식의 한 종류에요. 다항식은 항이 한 개이상있는 식이니까요.

다항식의 덧셈과 뺄셈은 중학교 때 다항식의 계산에서 해봤어요. 동류항끼리 모아서 계산하는 거였죠? 그리고 다항식의 곱셈도 해봤는데, 분배법칙과 곱셈공식 - 완전제곱식, 곱셈공식 두 번째 - 합차공식을 이용해서 전개한 후에 동류항끼리 정리를 했어요.

이 글에서 공부하는 다항식의 계산은 중학교에서 공부했던 내용을 한 번 더 정리하고 복습하는 과정이에요.

다항식의 연산법칙

a + b = b + a, ab = ba가 성립하는 걸 교환법칙이라고 해요. (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc)가 되는 걸 결합법칙이라고 하고요. (a + b)c = ac + bc를 분배법칙이라고 하죠. 이 때, a, b, c는 숫자였어요.

다항식의 연산법칙에서는 A, B, C를 사용하는데, 이 A, B, C는 숫자가 아니라 다항식이에요. a, b, c가 숫자라고는 하지만 넓게 보면 상수항이고 단항식에 해당하니까 A, B, C 자리에 들어가도 상관없어요.

세 다항식 A, B, C에 대하여
교환법칙: A + B = B + A, AB = BA
결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
분배법칙: (A + B)C = AC + BC

A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2라고 하죠.
(2x2 + 3x + 1) + (x2 - 2x - 8) = (x2 - 2x - 8) + (2x2 + 3x + 1)이 된다는 거예요.

새로운 얘기는 아니니까 굳이 전부 증명할 필요는 없겠죠?

다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항을 찾는 게 제일 중요해요. 문자와 차수가 같은 항을 찾아서 앞의 계수끼리 계산하는 거죠.

단, 계산에서 괄호가 있다면 괄호를 먼저 풀고 계산을 해야하고요. 그리고 마지막에는 한 문자를 정해서 내림차순으로 정리하면 끝이에요. 내림차순은 어떤 문자에 대해서 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서대로 쓰는 걸 말해요.

  1. 괄호를 푼다. ( ) → { } → [ ]
  2. 동류항을 찾아 계산
  3. 내림차순으로 정리

다항식의 곱셈

다항식의 곱셈이 바로 곱셈공식이에요. 곱셈공식을 이용해서 전개를 하고, 동류항을 찾아서 계산을 하는 거죠. 물론 이 때도 내림차순으로 정리를 하세요.

A = 2x2 + 3x + 1, B = x2 - 2x - 8, C = 3x - 2일 때, 다음을 간단히 하여라.
(1) 2A - (B + C)
(2) AC - 3B

식의 값을 구하는 문제에요. 대입하죠.

(1) 2A - (B + C)
= 2(2x2 + 3x + 1) - {(x2 - 2x - 8) + (3x - 2)}
= 4x2 + 6x + 2 - (x2 + x - 10)
= 4x2 + 6x + 2 - x2 - x + 10
= 3x2 + 5x + 12

(2) AC - 3B
= (2x2 + 3x + 1)(3x - 2) - 3(x2 - 2x - 8)
= 6x3 + 9x2 + 3x - 4x2 - 6x - 2 - 3x2 + 6x + 24
= 6x3 + 2x2 + 3x + 22

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정리해볼까요

다항식의 계산

  1. 괄호 풀기 ( ) → { } → [ ]
    괄호를 풀 때는 분배법칙과 곱셈공식을 이용
  2. 동류항끼리 계산
  3. 내림차순으로 정리
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