소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.

이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.

이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.

소인수분해

약수와 인수, 소인수

나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?

(나누는 수) ÷ (나눠지는 수) = (몫) + (나머지)

여기서 나머지가 0일 때 (나눠지는 수)를 (나누는 수)의 약수라고 해요.

12 ÷ 1 = 12,   12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 3 = 4,   12 ÷ 4 = 3

12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수인 거예요. 3, 4도 마찬가지고요.

인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.

1 × 12 = 12
3 × 4 = 12

1과 12를 곱했더니 12가 됐죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이 때, 1과 12가 12의 인수예요. 3, 4도 12의 인수고요.

그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.

인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.

다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10       (2) 25

(1)에서 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5

(2) 25의 인수는 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5

소인수분해

소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.

소인수분해하는 방법은 몇 가지가 있는데, 가장 많이 사용하고 가장 쉬운 방법 하나만 설명할게요. 자연수를 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.

60을 소인수분해 해볼까요?

60을 가장 작은 소수 2로 나눠요. 몫이 30이 되는데 이걸 또 소수 2로 나누면 15가 되죠? 15는 2로 나누어지지 않아요. 그래서 다음으로 큰 소수인 3으로 나누는 거예요. 15를 3으로 나눴더니 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝. 왼쪽에 있는 세 수와 마지막 나온 몫이 모두 소인수예요.

60을 소인수들의 곱으로 표현해보면
60 = 2 × 2 × 3 × 5
   = 2² × 3 × 5  (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로 표시)

81로 한 번 더 해보죠.

81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

소인수분해 하는 법
나누기를 거꾸로 한다.
수와 몫을 소수로 나눈다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속 반복
소인수들의 곱으로 표시

다음을 소인수분해하여라.
(1) 135       (2) 36

(1)은 아래처럼 나와요.

135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 3³ × 5

소수로 나눌 때 보통은 작은 소수부터 나누는데, 그 순서는 상관없어요. 135를 3으로 먼저 나누고 다음에 5로 나누나 5로 먼저 나누고 다음에 3으로 나누나 결과는 같아요.

(2) 36은 한 번 해보세요. 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²가 나오네요.

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