소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.
이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.
이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.
소인수분해
약수와 인수, 소인수
나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?
(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)
여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.
12 ÷ 1 = 12, 12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 2 = 6, 12 ÷ 6 = 2
12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3
12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수예요. 2, 3, 4, 6도 마찬가지고요.
인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.
1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12
12는 1과 12의 곱으로 표현할 수 있죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 2, 3, 4, 6도 12의 인수고요.
그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.
12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12고 12의 인수는 1, 2, 3, 4, 6, 12죠? 약수와 인수는 의미는 다르지만 실제 값을 구해보면 같다는 걸 알 수 있어요
인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.
다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10 (2) 25
(1) 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5
(2) 5의 인수 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5
소인수분해
소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.
소인수분해는 합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 바꾸면 돼요
60을 소인수분해보죠.
60 = 2 × 30
= 2 × 2 × 15 (∵ 30 = 2 × 15)
= 2 × 2 × 3 × 5 (∵ 15 = 3 × 5)
= 22 × 3 × 5 (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로)
- 60은 2 × 30으로 나타낼 수 있죠?
- 소수인 2는 그대로 두고, 합성수 30을 2 × 15로 나타냈어요.
- 소수들의 곱인 2 × 2는 그대로 두고, 합성수 15를 3 × 5로 나타냈어요.
- 합성수가 없어서 소인수분해가 끝났는데, 2가 2번 곱해져있어서 거듭제곱으로 나타냈어요.
아래 그림처럼 할 수도 있어요.
곱하기가 아닌 나누기를 이용하는 방법도 있어요. 합성수를 몫이 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.
- 합성수 60을 가장 작은 소수 2로 나눠요.
- 몫 30은 합성수니까 또 소수 2로 나눠요.
- 몫 15는 합성수지만 2로 나누어지지 않아서 다음으로 큰 소수인 3으로 나눠요.
- 15를 3으로 나눴더니 몫이 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝
왼쪽에 있는 세 수 2, 2, 3과 마지막 나온 몫 5가 모두 소인수예요
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
어떤 방법으로 해도 결과는 같아요.
81로 한 번 더 해보죠.
81 = 3 × 27
= 3 × 3 × 9
= 3 × 3 × 3 × 3
= 34
소인수분해 하는 법
합성수가 없어질 때까지 계속해서 소수들의 곱으로 나타낸다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속해서 소수로 나눈다.
다음을 소인수분해하여라.
(1) 135 (2) 36
(1)은 아래처럼 나와요.
135 = 3 × 45
= 3 × 3 × 15
= 3 × 3 × 3 × 5
= 33 × 5
윗쪽에서는 3을 먼저, 아랫쪽에서는 5를 먼저 계산했지만, 3과 5 모두 소수라서 어떤 걸 먼저 계산해도 상관없어요.
135 = 33 × 5
(2) 36은 한 번 해보죠.
36 = 2 × 18
= 2 × 2 × 9
= 2 × 2 × 3 × 3
= 22 × 32
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