소인수분해는 이름 그대로 어떤 자연수를 소인수로 분해하는 거예요. 소인수분해를 이용하면 약수를 구하기도 쉽고, 약수의 개수를 구하기도 아주 쉬워요. 그리고 최대공약수와 최소공배수를 구하기도 쉽고요.
이 글에서는 소인수가 뭔지 어떻게 소인수로 나누는지 알아볼 거예요. 나눗셈을 응용해서 소인수분해를 하는데, 일반적인 나눗셈과 살짝 달라요. 오히려 더 쉬울 수도 있어요.
이 글에서 나오는 수는 모두 자연수예요.
소인수분해
약수와 인수, 소인수
나눗셈은 이렇게 표현할 수 있죠?
(나눠지는 수) ÷ (나누는 수) = (몫) + (나머지)
여기서 나머지가 0일 때 (나누는 수)를 (나눠지는 수)의 약수라고 해요.
12 ÷ 1 = 12, 12 ÷ 12 = 1
12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3
12를 1이나 12로 나누면 나머지가 0이잖아요. 그래서 1과 12는 12의 약수인 거예요. 3, 4도 마찬가지고요.
인수는 어떤 수나 식을 곱하기만으로 표현했을 때 곱해지는 각각의 것들을 말해요.
1 × 12 = 12
3 × 4 = 12
1과 12를 곱했더니 12가 됐죠? 다른 거 없이 곱하기만 했잖아요. 이때, 1과 12가 12의 인수예요. 3, 4도 12의 인수고요.
그러니까 약수는 나눗셈을, 인수는 곱셈을 기준으로 한다고 생각하면 쉬워요.
인수 중에서 소수인 것들을 소인수라고 해요. 소수인 인수죠. 12의 인수 중 소수는 2, 3이니까 소인수는 2, 3이에요.
다음 수의 인수 중 소인수를 모두 구하여라.
(1) 10 (2) 25
(1)에서 10의 인수 1, 2, 5, 10에서 소수는 2, 5이므로 소인수는 2, 5
(2) 25의 인수는 1, 5, 25 에서 소수는 5뿐이므로 소인수는 5
소인수분해
소인수분해는 자연수를 소인수들의 곱으로 표현하는 걸 말해요. 그렇다고 해서 12의 소인수는 2, 3이니까 2 × 3 이렇게 쓰면 안 돼요.
소인수분해하는 방법은 몇 가지가 있는데, 가장 많이 사용하고 가장 쉬운 방법 하나만 설명할게요. 자연수를 소수가 나올 때까지 계속 소수로 나누는 거지요.
60을 소인수분해 해볼까요?
60을 가장 작은 소수 2로 나눠요. 몫이 30이 되는데 이걸 또 소수 2로 나누면 15가 되죠? 15는 2로 나누어지지 않아요. 그래서 다음으로 큰 소수인 3으로 나누는 거예요. 15를 3으로 나눴더니 5가 나왔죠? 5는 소수이므로 여기서 끝. 왼쪽에 있는 세 수와 마지막 나온 몫이 모두 소인수예요.
60을 소인수들의 곱으로 표현해보면
60 = 2 × 2 × 3 × 5
= 22 × 3 × 5 (∵ 2가 두 번 곱해져 있으므로 거듭제곱으로 표시)
81로 한 번 더 해보죠.
81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34
소인수분해 하는 법
나누기를 거꾸로 한다.
수와 몫을 소수로 나눈다.
몫이 소수가 나올 때까지 계속 반복
소인수들의 곱으로 표시
다음을 소인수분해하여라.
(1) 135 (2) 36
(1)은 아래처럼 나와요.
135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 33 × 5
소수로 나눌 때 보통은 작은 소수부터 나누는데, 그 순서는 상관없어요. 135를 3으로 먼저 나누고 다음에 5로 나누나 5로 먼저 나누고 다음에 3으로 나누나 결과는 같아요.
(2) 36은 한 번 해보세요. 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32가 나오네요.
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최소공배수, 최소공배수 구하는 방법
우리아이 가르쳐보려고 들어왔는데 개념 이해가 아주 잘되고 있습니다. 감사합니다. 그런데 심화반도 있나보네요~
심화과정은 따로 없어요. 혹, 학교/학원 심화반을 말씀하신 건가요?
숫자들중에 약수를 구하는 방법을 모르겠어요...
약간 철학적일 수 있는데, 부담갖지 말아주세요.
Q. 소인수 분해는 왜 해야하는가요?
q. 소인수 분해를 함으로서 얻을 수 있는 이점이 뭔가요? 즉, 어떤 목적을 두고 소인수 분해를 하는가요?
알고리즘에 관해 이것 저것 알아보다 문득 위와같은 물음이 생각나서 이렇게 질문드립니다.
1.중학교부터 자주는 아니더라도 계속 쓰이는 기본적인 수학 도구이고 모든 합성수가 소인수분해된 형태를 가지고 있다는 것은 산술에 기본이에요
2.소인수 분해는 중학교에서만 언급되지만, 초딩때에도 약수와 배수를 구하기 위해 사용되므로 사생활에서 약수나 배수를 구할 때 사용됨
하우 투 님 질문을 저도 하고싶었어요.
이걸 왜 배우건가요? 수학은 실용적인 학문이니까 분명히 이걸 발명한 엣날 학자들도 뭔가 실용적인 이유가 있었을 거 같아서요. 너무 깊게 생각 한 건가요? 걍 학문적인 호기심에 연구하다보니 발견한 걸 수도 있다는 생각도 들기도 하고..
비밀댓글입니다
위에 비밀글을 남겼는데요 저 조차도 볼수가없네요ㅠㅠ 그럼답글은 어떻게 확인할 수 있나요?
답글은 비밀이 아니라서 보실 수 있어요.
쓰신 글 읽어봤는데 그런 내용에는 답변을 드리지 않아요. 학생의 정확한 상태나 환경 등을 모르는 상황에서 하는 조언은 아무런 도움이 되질 않습니다. 오히려 역효과만 나거든요.
죄송하지만 학교 선생님이나 다른 분과 상의 하시는 게 좋을 듯 합니다.
제대하고 외국에서 수학 공부하는데 알고있는 단어도 전부 영어로 말하니 힘드네요 ㅠㅠ
중학교 1학년 과정부터 다시 보고 있는데 도움이 많이 됩니다! 고맙습니다
어차피 수학이라는 게 숫자와 기호로 되어 있는 거라 영어로 배우더라도 아주 어렵지는 않을 거라고 생각됩니다.
열심히 공부하셔서 국위선양 해주세요.
미적분 파는 없는건가요?
네, 없습니다. ㅠ
짱짱!
짱짱!
수학 성적이 너무 떨어져서 어떻게 해야하지 했는데 많은 도움되네요 감사합니다 !!
소인수 분해할때 곱하기 기호 생략해도 되나요?
문자와 숫자 사이, 문자와 문자 사이의 곱하기 기호는 생략할 수 있지만, 숫자와 숫자 사이의 곱하기 기호는 생략하지 않아요.
감사합니다ㅜㅜ 덕분에 궁금증이 해결되었어유ㅠㅠㅠ><
궁금증이 해결됐는데, 왜 울어유??
소인수의 곱이란게 뭔가요? 수학 문제를 풀다가 '최소공배수를 소인수의 곱으로 니타내어라.' 라고 나왔는데 소인수는 알겠다만 소인수의 곱이 뭐죠?
문자 그대로 소인수들만을 이용해서 곱셈으로 표시하라는 뜻이죠.
소인수분해해서 나타내라는 뜻이에요.
‘60에 자연수를 곱하여 어떤 자연수의 제곱이 되도록 할때,곱할 수 있는 가장 작은 자연수를 구하시오’가 나와서 풀었는데 이번엔 2번째로 작은 자연수를 구하래요.어떻게 구하죠?
기본적인 풀이 방법은 똑같아요. 모든 소인수의 지수가 짝수가 되도록 하면 자연수의 제곱이 되죠.
60 = 2^2 x 3 x 5
자연수의 제곱이 되도록 하는 가장 작은 수는 3 x 5고요.
여기에 2, 3, 5중 가장 작은 2를 제곱한 2^2을 한 번 더 곱하면 두 번째로 작은 수가 되겠네요.
2^2 x 3 x 5 x (3 x 5 x 2^2) = 2^4 x 3^2 x 5^2
헐 제 생명의 은인이세요ㅠㅠ 궁금증 드디어 풀렸네요 ㅠㅠ 감사합니다아아 ㅠㅠㅠ
처음부터 수학방에서 공부를 하면 궁금증이 생기기 전에 해결이 될 거예요.
중123 총정리해야 되서 문제집 다시 사야되나 고민하고 있었는데 감사합니다...!!!!ㅠㅠ
여기에 있는 거 쭉 정리하면 문제집 사지 않아도 되겠지요? ㅎ
진짜 예비중인데요 완전 진짜 소인수 이해못해서 미쳐버릴뻔했는데 진짜 이해됐어요 감사합니다!!!!!!!!!!!!!!!!
중학교 올라가도 계속 찾아와 주세요.
비밀댓글입니다
소인수분해를 이용해서 약수의 개수 구하기 공식으로 구할 수 있어요.
https://mathbang.net/201
소인수분해를 이용해서 약수의 개수 구하기 공식으로 구할 수 있어요.
https://mathbang.net/201
이분 덕분에 육사 합격
ㄱㄱ
감사히 잘 보고 있습니다.
한번 싹 흟어 보고 다시 처음부터 자세히 보고 있습니다.
오타가 있습니다.
나눠지는 수 ÷ 나누는 수.
이거 바뀌면 안되는 거 맞지요?
네, 바뀌면 안돼죠. ㅠㅠ 수정했어요.