최대공약수에 이어 최소공배수에요. 최소공배수가 뭔지는 다 알고 있죠?

최대공약수와 최소공배수 구하는 방법은 한 끗 차이에요. 기본적인 방법은 같으니까 그 차이만 기억한다면 어렵지 않은 부분이죠. 대신 둘을 헷갈리면 안 돼요.

또 어떤 친구들은 최대공배수, 최소공약수라는 표현을 쓰기도 하는데, 이는 잘못된 내용이니까 틀리지 않도록 주의하세요.

최소공배수 구하는 방법을 하기 전에 최대공약수, 최대공약수 구하는 방법을 미리 한번 읽어보면 더욱더 잘 이해가 될 거예요.

최소공배수

공배수는 2개 이상의 자연수의 공통된 배수죠. 이 공배수 중에서 가장 작은 공배수를 최소공배수라고 해요.

공배수를 구할 때는 두 수의 배수를 죽 쓰고, 그중에 공통으로 들어있는 걸 찾았죠? 이제부터는 다른 방법을 이용할 거예요. 공배수는 최소공배수의 배수라는 성질을 이용하는 거죠.

5와 6의 공배수를 찾아볼까요?
5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, ….
6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, …
5과 6의 공배수: 30, 60, 90, …

5와 6의 최소공배수는 30이에요. 30의 배수는 30, 60, 90, 120, … 이죠. 바로 5와 6의 공배수와 같아요. 즉 어떤 자연수의 공배수는 최소공배수의 배수라는 걸 알 수 있어요.

이제부터 공배수를 구할 때는 최소공배수만 구하고, 그 최소공배수의 배수를 구하면 되는 거예요.

최소공배수: 공배수 중 가장 작은 공배수
둘 이상의 자연수의 공배수 = 최소공배수의 배수

최소공배수 구하는 방법

최소공배수를 구하는 방법은 두 가지에요. 하나는 공약수로 나누는 거고, 다른 하나는 지수를 이용하는 방법이에요.

공약수로 나누기

방법은 최대공약수 구하는 방법과 같아요. 두 수를 적고, 서로소가 나올 때까지 계속 공약수로 나누는 거지요. 차이가 있다면 최대공약수에서는 공약수들만 곱했는데, 최소공배수는 공약수에 서로소까지 곱하는 거예요.

60과 48의 최소공배수를 구해볼까요?

최소공배수 구하는 방법 1 - 소인수분해

위처럼 됐는데, 최대공약수는 왼쪽에 있는 22 × 3 = 12이에요.
최소공배수는 22 × 3에 아래에 있는 서로소(5, 4)까지 곱해서 22 × 3 × 5 × 4 = 24 × 3 × 5 = 240이지요.

만약에 세 자연수의 최소공배수를 구하려 한다면 조금 달라져요.

최소공배수 구하는 방법 1 - 소인수분해 2

③에 보면 15, 12, 10이라는 숫자가 있는데, 세 숫자의 공약수가 아닌 2로 나눴지요? 세 수에서 공약수를 찾을 수 없을 때는 두 수를 선택해서 둘의 공약수로 나눠주는 거예요. 그럼 두 수는 공약수로 나누고, 나뉘지 않는 다른 한 수는 그냥 그대로 쓰면 돼요. 15, 12, 10을 2로 나눴더니 15는 그대로 12는 6, 10은 5로 되었지요?

④에서도 마찬가지예요. 15, 6, 5라는 세 숫자는 공약수가 없어요. 그래서 15와 6만 공약수인 3으로 나눠주고 5는 나뉘지 않으니까 그대로 5에요.

⑤ 5, 2, 5에서는 5로 나눈 거지요.

숫자가 세 개일 때는 세 수에서 모두 서로소가 나올 때까지 계속 나누는 거예요.

60, 48, 40의 최소공배수는 24 × 3 × 5 = 240이네요.

지수이용

지수를 이용할 거니까 숫자를 소인수분해를 해서 지수가 나오게 수를 바꿔야 해요.

최대공약수는 공통인 소수를 쓰되, 지수가 작은 걸 썼죠? 최소공배수는 달라요. 공통이든 아니든 모든 소수를 다 쓰되, 공통인 건 지수가 큰 걸 써요.

60과 48의 최소공배수를 지수를 이용하여 구해보죠.

일단 두 수를 지수가 있는 꼴로 바꾸려면 소인수분해를 해야 해요. 60 = 22 × 3 × 5, 48 = 24 × 3이죠.

이제는 소수별로 비교해볼게요.

2라는 소수는 60과 48 모두에 들어있어요. 60에는 22이고 48에는 24에요. 48에 있는 2의 지수가 더 크네요.
3이라는 소수도 60과 48 모두에 들어있어요. 지수는 둘 다 1이고요.
5는 60에만 있고, 48에는 없어요.

최소공배수는 두 수에 공통인 소수 중에서 지수가 더 큰 걸 쓰고, 공통이 아닌 소수는 모두 다 써요. 2는 양쪽 모두에 들어있는데 이 중 24이 지수가 크죠. 3도 양쪽 모두에 들어있는데 지수가 1로 같으니까 그냥 3으로 하면 되겠네요. 5는 48에는 들어있지 않지만 60에는 들어있으니까 5도 쓰고요. 최종적으로 60과 48의 최소공배수는 24 × 3 × 5네요.

최소공배수 구하는 방법 2 - 지수이용

첫 번째 공약수로 나누는 방법은 숫자를 그대로 준 경우에 사용해요. 두 수를 소인수분해해서 지수를 이용하는 건 번거롭잖아요. 두 번째 지수를 이용한 방법은 숫자가 이미 소인수분해가 되어 있을 때 사용해요.

최소공배수 구하는 방법
공약수로 나누기 - 서로소가 나올 때까지 공약수로 나누고, 나온 공약수와 서로소를 모두 곱함. 수가 그냥 나왔을 때 사용
지수 이용 - 공통된 소수 중 지수가 높은 수들과 공통되지 않은 모든 소수 곱. 소인수분해가 된 형태로 나왔을 때 사용

다음의 두 수의 최소공배수를 구하여라. (1) 72, 126       (2) 22 × 53 × 7, 23 × 72

(1)번은 그냥 두 수가 나와 있으니까 공약수로 나눠서 구해보죠.

최소공배수 구하는 방법 예제 1

최소공배수는 왼쪽에 있는 공약수와 아래에 있는 소수들의 곱이므로 2 × 32 × 4 × 7 = 23 × 32 × 7

(2)번은 소인수분해가 이미 되어 있으니까 지수를 이용하는 방법으로 구하는 게 더 쉽겠네요.
2라는 소수는 양쪽 모두에 들어있는데, 22과 23중 지수가 큰 건 23
5는 한쪽에만 들어있으니까 쓰고요
7은 양쪽 모두에 있는데, 7과 72이니까 지수가 큰 72을 골라야겠네요.
결국 두 수의 최소공배수는 23 × 53 × 72이에요.

최소공배수 구하는 방법 예제 2

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정리해볼까요

최소공배수

  • 공배수: 두 개 이상의 자연수의 공통된 배수
  • 최소공배수: 공배수 중 가장 작은 공배수
  • 최소공배수의 배수 = 공배수

최소공배수 구하는 방법

  • 서로소가 나올 때까지 자연수의 공배수로 계속 나눠서 나온 공약수와 서로소를 모두 곱
  • 소인수분해 → 공통인 소수 중 지수가 큰 수와 공통인 아닌 소수들의 곱
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