초등학교에서는 약수를 구할 때, 곱하기를 이용해서 구했어요. 중학생이니까 조금 더 세련된 방법으로 약수를 구해야겠죠?

약수를 구하는 것뿐 아니라 약수의 개수를 구하는 방법도 공부할 거예요. 약수를 모두 구하지 않고도 약수의 개수를 구하는 방법이요.

두 가지 모두 소인수분해를 통해서 구하는 거예요. 소인수분해를 한 후에 거듭제곱으로 나타내는데, 거듭제곱과 약수와의 관계를 잘 이해해야 해요.

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

72의 약수를 구해보죠. 72 = 1 × 72 = 2 × 36 = 3 × 24 = 4 × 18 = 6 × 12 = 8 × 9

72의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72이고, 12개네요.

그런데 만약에 72가 아니라 100이 넘어가는 수라면 하나씩 찾기가 너무 어렵겠죠? 이럴 때 소인수분해를 이용하면 약수를 쉽게 구할 수 있어요.

일단 72를 소인수분해하면 23 × 32이 나와요.

소인수분해 - 72

72는 23과 32이 곱해진 걸 알 수 있어요. 23의 약수를 따로 구하고, 32의 약수를 따로 구해서 각각을 서로 곱해주면 72의 약수가 되는 거예요. 23의 약수는 직접 계산할 필요없이 지수를 이용해서 구할 수 있어요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구할 수 있어요. 예를 들어 2100의 약수는 2, 22, 23, 24, … 이렇게 쭉 나가다가 299, 2100이 되는 거죠. 그리고 모든 수의 약수인 1도 함께 써주면 돼요.

23의 약수는 1, 2, 22, 23이에요.

32의 약수는 뭘까요? 일단 1을 쓰고, 3, 32이에요.

1, 2, 22, 23과 1, 3, 32을 각각 곱하면 돼요. 표를 이용해서 곱해보죠.

소인수분해를 이용해서 72의 약수 구하기
× 1 2 22 23
1 1 2 4 8
3 3 6 12 24
32 9 18 36 72

표를 잘 보면 곱하기를 이용해서 구했던 약수들과 똑같죠? 처음이라 이 방법이 복잡해 보일 수 있지만 어느 정도 숙달만 되면 곱하기를 이용해서 구하는 것보다 더 정확하고 빨리 약수를 구할 수 있어요.

소인수분해를 이용해서 약수 구하기
주어진 수를 소인수분해 → 거듭제곱의 약수를 모두 구하여 서로 곱한다.

135의 약수를 모두 구하여라.

먼저 135를 소인수분해부터 해야겠죠?
소인수분해 예제
135 = 5 × 3 × 3 × 3 = 33 × 5

소인수분해를 이용해서 135의 약수 구하기
× 1 3 32 33
1 1 3 9 27
5 5 15 45 135

135의 약수는 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135네요.

이번에는 150의 약수를 구해볼까요? 150을 소인수분해하면 150 = 2 × 3 × 52이죠.

소인수가 3개인데, 이때는 먼저 소인수 2, 3의 약수를 이용해서 150의 약수를 구하고, 이렇게 구한 약수와 남은 소인수 5의 약수들을 곱해서 150의 약수를 구해요.

소인수분해를 이용해서 150의 약수구하기 1단계
× 1

2
1 1

2
3 3

6

2와 3을 이용해서 약수를 구했더니 위 표처럼 나왔네요. 이 표에서 구한 약수 1, 2, 3, 6과 소인수 5의 약수 1, 5, 52을 각각 곱해서 150의 약수를 구해보죠.

소인수분해를 이용해서 150의 약수구하기 2단계
× 1 2 3 6
1 1 2 3 6
5 5 10 15 30
52 25

50

75

150

150의 약수는 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150으로 총 12개네요.

소인수분해를 이용하여 약수 개수 구하기

이번에는 약수를 구하는 게 아니라 약수의 개수만 구하는 거예요.

물론 약수를 모두 구하면 약수의 개수도 알 수 있죠. 하지만 약수를 구하지 않고도 약수의 개수를 구할 수 있어요.

위 예제의 표를 보세요. 135의 약수의 개수는 8개에요. 표의 칸 수가 몇 개인가요? 8개죠. 바로 이걸 이용해서 약수의 개수를 구하는 거예요.

135 = 33 × 5에요. 33의 약수의 개수는 1, 3, 32, 33이므로 4개, 5의 약수의 개수는 1, 5이므로 2개죠. 각각의 약수의 개수인 4와 2를 곱하면 8이고 이게 바로 135의 약수의 개수에요.

소인수분해를 이용해서 약수의 개수를 구하는 방법은 지수를 이용하는 거에요.

거듭제곱으로 된 수의 약수는 지수를 하나씩 늘려가면서 구한다고 했어요. 33의 약수는 3, 32, 33과 모든 수의 약수 1을 해서 4개죠. 그럼 약수의 개수는 지수의 개수보다 1개 더 많죠? 바로 이걸 이용하는 거지요.

135 = 33 × 5에서 3의 지수 3에 1을 더하고, 5의 지수 1에 1을 더해요. (3 + 1) × (1 + 1) = 8

72 = 23 × 32이에요. 약수의 개수는 2의 지수 3에 1을 더한 것과 3의 지수 2에 1을 더해서 곱한 (3 + 1) × (2 + 1) = 12(개)가 되는 거죠.

소인수분해를 이용해서 약수 개수 구하기: 각 소인수의 지수에 1을 더해서 서로 곱함
소인수분해 → am × bn → (m + 1) × (n + 1)

다음 수의 약수의 개수를 구하여라.
(1) 36         (2) 23 × 3 × 52

(1)번 36을 소인수분해하면 22 × 32이 나오네요. 약수의 개수는 각 소인수의 지수에 + 1해서 곱하는 거니까 (2 + 1) × (2 + 1) = 9(개)에요.

(2)번은 소인수분해를 한 게 3개의 소인수로 되어 있어요. 소인수의 개수가 2개든 3개든 상관없어요. 각 소인수의 지수에 + 1 해서 곱해주는 건 똑같아요. 소인수 3에는 지수가 안 쓰여 있는데 이건 지수가 1이란 걸 말하죠? (3 + 1) × (1 + 1) × (2 + 1) = 24(개)

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정리해볼까요

소인수분해를 이용하여 약수 구하기

  • am × bn의 약수의 개수 = (m + 1) × (n + 1)
  • 1, a, a2, … , am와 1, b, b2 … , bn를 각각 곱하여 약수를 구한다.
 
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