수학방

중학교 1학년 수학 목차입니다. 각 게시글 하단의 목차보다 여기 있는 목차를 이용해주세요.

각 목차의 순서에 맞게 따라서 공부하시면 진도 걱정없이 학습할 수 있어요. 혹시 빠진 내용이 있거나 추가하고 싶은 내용이 있으면 언제든 댓글 남겨주세요.

중2 수학 목차
중3 수학 목차

1. 자연수
   • 거듭제곱
   • 소수와 합성수
   • 에라토스테네스의 체
   • 소인수분해
   • 소인수분해를 이용하여 약수 개수구하기
   • 최대공약수의 뜻과 최대공약수 구하는 방법
   • 최소공배수의 뜻과 최소공배수 구하는 방법
   • 최대공약수와 최소공배수의 관계
2. 정수와 유리수
   • 양수와 음수, 정수
   • 절댓값과 수직선
   • 정수의 대소관계
   • 부등호의 사용
   • 정수의 덧셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 뺄셈
   • 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산
   • 정수의 곱셈, 교환법칙, 결합법칙
   • 정수의 나눗셈과 혼합계산
   • 분배법칙
   • 유리수와 유리수의 분류
   • 유리수와 수직선, 유리수의 대소관계
   • 유리수의 덧셈과 뺄셈
   • 유리수의 곱셈과 나눗셈
3. 문자와 식, 일차방정식의 풀이
   • 문자와 식, 문자를 포함하는 식
   • 곱셈기호와 나눗셈 기호의 생략
   • 대입, 식의 값
   • 항, 계수, 차수, 단항식과 다항식, 일차식
   • 단항식의 곱셈과 나눗셈, 일차식의 곱셈과 나눗셈
   • 동류항, 일차식의 덧셈과 뺄셈
   • 방정식과 항등식
   • 등식의 성질, 등식의 성질을 이용한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 풀이
   • 복잡한 일차방정식의 풀이
   • 일차방정식의 활용 1 - 숫자, 나이
   • 일차방정식의 활용 2 - 거리, 속력, 시간, 농도
4. 그래프와 비례관계
   • 순서쌍과 좌표평면
   • 그래프의 뜻과 표현
   • 정비례와 그래프
   • 반비례와 그래프

1. 도형의 기초
   • 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분
   • 두 점 사이의 거리와 중점
   • 평각, 직각, 예각, 둔각
   • 맞꼭지각, 동위각, 엇각
   • 직교와 수직, 수선과 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
   • 점, 직선, 평면의 위치 관계
   • 평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 직선의 위치관계, 공간에서 평면과 직선의 위치관계
   • 공간에서 두 평면의 위치관계
   • 평행선의 성질, 평행선에서의 동위각과 엇각
   • 작도, 길이가 같은 선분의 작도, 크기가 같은 각의 작도
   • 삼각형의 정의, 삼각형의 대변, 대각
   • 삼각형의 작도
   • 도형의 합동, 삼각형의 합동 조건
2. 평면도형
   • 다각형, 내각, 외각, 정다각형
   • 대각선의 개수 구하기, 대각선 개수 공식
   • 삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합
   • 다각형 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합
   • 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각
   • 원주율, 원의 둘레, 원의 넓이, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 넓이
3. 입체도형
   • 다면체, 각뿔, 각기둥, 각뿔대
   • 정다면체의 뜻, 정다면체의 종류
   • 회전체와 원뿔대, 회전체의 성질
   • 각기둥의 겉넓이와 부피, 원기둥의 겉넓이와 부피
   • 각뿔의 겉넓이와 부피, 원뿔의 겉넓이와 부피
   • 구의 겉넓이와 부피
4. 통계
   • 대푯값과 평균, 중앙값, 최빈값
   • 줄기와 잎 그림
   • 도수분포표, 변량, 계급, 도수의 뜻
   • 도수분포표 만드는 방법
   • 히스토그램
   • 도수분포다각형
   • 상대도수와 상대도수의 분포표
   • 상대도수의 그래프

하나의 삼각형을 작도할 수 있는 경우가 세 가지 있어요. 특정한 조건이 주어지면 다른 삼각형은 그릴 수 없고 단 하나의 삼각형만 그릴 수 있는 경우요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 삼각형을 그리는 데 뿐 아니라 다음에 공부할 삼각형의 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억해야 해요.

삼각형은 변이 3개, 각이 3개예요. 그래서 변의 길이와 각의 크기 중 섞어서 3개를 알면 삼각형을 그릴 수 있어요.

• 변의 길이 3개
• 변의 길이 2개와 각의 크기 1개
• 변의 길이 1개와 각의 크기 2개

각의 크기 3개를 알 때도 삼각형을 그릴 수는 있는데, 딱 하나의 삼각형을 그리는 게 아니라 여러 삼각형을 그릴 수 있어서 이건 제외해요.

• 세 변의 길이를 알 때
• 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
• 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때

세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 돼요.

주의해야 할 건 세 변의 길이를 알고 있다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.

가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm면 삼각형을 그릴 수 없어요.

세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊으면 안돼요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.

두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때예요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만나서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거예요.

마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때예요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.

삼각형의 작도

세 변의 길이를 알 때

삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이를 알 때예요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 그릴 수 있어요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 할게요.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
4. ②와 ③의 교점 점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.

두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때

삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때예요.

끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
1. 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 $\overline{OQ}$가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
2. 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 $\overline{OP}$가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
3. 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각를 알 때예요.

1. 길이가 같은 선분의 작도에 나온 방법대로 한 변을 그려요. $\overline{AB}$라고 해보죠.
2. $\overline{AB}$의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 크기가 같은 각의 작도의 방법으로 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 $\overline{AP}$라고 하죠.
3. $\overline{AB}$의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 $\overline{BQ}$라고 하고 $\overline{BQ}$와 $\overline{AP}$의 교점을 점 C라고 해보죠.
4. ②와 ③의 교점 C에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 생겨요.

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추려면 굳이 눈금 있는 자와 각도기가 필요가 없거든요.

눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.

컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.

길이가 같은 선분의 작도

한 선분을 주고 이 선분과 길이가 같은 다른 선분을 그리는 거예요.

처음 선분을 $\overline{AB}$라고 해보죠.

1. 자를 이용해서 직선 l을 긋고 그 위에 점 P를 잡아요.
2. 컴퍼스로 $\overline{AB}$의 길이를 재요.
3. 점 P에 컴퍼스를 대고 $\overline{AB}$의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려서 원과 직선 l이 만나는 점을 점 Q라고 해보죠.
4. 이 $\overline{PQ}$가 처음 선분 $\overline{AB}$와 길이가 같은 선분이에요.

크기가 같은 각의 작도

하나의 각을 주고, 이 각과 크기가 같은 각을 그리는 거예요. 이 각을 ∠XOY라고 해볼게요.

1. 이 ∠XOY에서 점 O에 컴퍼스를 대고 원을 그려요. 원과 선분 OX가 만나는 점을 P, 원과 선분 OY가 만나는 점을 Q라고 해보죠.
2. 일단 이렇게 해놓은 상태에서 크기가 같은 새로운 각을 그릴 선분을 하나 그어요. 선분 l이라고 할까요?
3. 선분 l의 한쪽 끝점 A에 컴퍼스 바늘을 놓고 ①에서 그렸던 원과 반지름이 같은 원을 그려요. 이 원이 선분 l과 만나는 점을 B라고 해보죠.
4. 컴퍼스를 이용해서 점 P와 점 Q 사이의 거리만큼을 재요. 그리고 점 B에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그립니다. 이 원과 ③에서 그린 원과의 교점이 생겨요. 이 교점을 C라고 할게요.
5. 점 A와 점 C를 자를 대고 연결해요.

이 ∠BAC가 ∠POQ와 크기가 같은 각입니다.

폄면에서 두 직선의 위치관계에서 두 직선은 만나는 경우와 만나지 않는 경우가 있었어요. 만나는 경우는 2가지였으니까 전체 총 3가지 경우가 있었죠. 한 점에서 만난다, 일치, 만나지 않는다(평행)

공간에서 두 평면의 위치 관계는 한 점(교점)이 아니라 한 직선(교선)에서 만난다는 것 빼고는 평면에서 두 직선의 위치 관계와 똑같아요. 한 직선에서 만난다. 일치, 평행

두 평면 사이의 수직 관계

공간에서 평면과 직선의 수직에서 평면과 평면에 있지 않는 직선이 수직으로 만나는 경우를 공부했는데요. 평면 Q와 수직인 직선 l이 평면 P에 포함할 때, 평면 P와 평면 Q도 서로 수직이에요. Q ⊥ l → P ⊥ Q

두 평면 사이의 거리

평행한 두 평면 P, Q사이에는 거리를 구할 수 있어요. 평행하지 않은 평면 사이의 거리는 구할 수 없고요. 평행하지 않으면 사이가 일정하지 않으니까 위치에 따라 값이 달라지잖아요.

평행한 두 평면 중 한 평면 위의 점에서 다른 평면에 그은 수선의 길이를 평행한 두 평면 P, Q 사이의 거리라고 하고, 이 거리는 두 평면 사이 어디에서든 일정해요.
$P\quad\parallel\quad Q\quad\rightarrow\quad\overline{AB}\quad=\quad\overline{CD}$

반대로 서로 다른 점에서 구한 거리가 일정하면 두 평면은 평행이에요.

위치 관계가 여러 개 나와서 헷갈릴 수 있으니 한 번 정리하고 넘어가죠.

육하원칙 중에 어디에서 무엇을 이라는 항목이 있어요. 위치 관계에서는 어디에서 무엇들의 위치 관계인지가 중요해요.

어디에서에 해당하는 게 평면과 공간이에요. 이 두 곳에서 여러 항목들의 위치 관계를 따져요.

무엇들의 위치 관계를 따지느냐면 점과 직선, 점과 평면, 두 직선, 직선과 평면, 두 평면이에요.

두 가지 항목 사이의 위치 관계를 따지는데, 평면에서는 평면과 다른 항목의 위치 관계를 따질 수 없죠? 그래서 평면에서는 점과 직선, 두 직선의 위치 관계만 다뤄요.

공간에서는 다 다룰 수 있는데, 평면에서의 위치 관계가 그대로 성립하고 여기에 새로 추가되거나 살짝 바뀌는 형태예요. 그러니까 평면에서의 위치 관계를 먼저 잘 알아두고, 공간에서는 똑같은 것, 추가되는 것, 바뀌는 것이 뭔지 이해하면 공부하기 더 쉬워요.

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 직선이 점을 지난다(= 직선 위의 점), 직선이 점을 지나지 않는다(= 점이 직선 위에 있지 않다.)
이 관계를 이용해서 공간에서 점과 직선, 점과 평면의 위치 관계를 쉽게 외울 수 있어요.

(평면에서 점과 직선의 위치 관계) = (공간에서 점과 직선의 위치 관계)
(평면에서 점과 직선의 위치 관계)에서 직선을 평면으로 = (공간에서 점과 평면의 위치 관계)

평면에서 점과 직선의 위치 관계 : 한 점에서 만난다. 일치, 평행
이걸 살짝 바꾸면 공간에서 두 직선, 직선과 평면, 두 평면의 위치 관계를 알 수 있어요.

(평면에서 두 직선의 위치 관계) + 꼬인 위치 = (공간에서 두 직선의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 일치를 포함으로 = (공간에서 직선과 평면의 위치 관계)
(평면에서 두 직선의 위치 관계)에서 한 점을 한 직선으로 = (공간에서 두 평면의 위치 관계)

표로 정리해 보죠.

기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분>에서 점, 선, 면에 대해서 공부했어요. 이제 점, 선, 면 사이의 위치 관계를 공부할 거예요. 점과 선 사이의 위치 관계, 선과 면 사이의 위치 관계 같은 거요.

대신, 점은 그대로 점, 선은 직선, 면은 평면을 다뤄요.

가로 점과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 점과 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이고, 가로 직선과 세로 직선이 만나는 칸의 (O) 표시는 두 직선의 위치 관계를 공부한다는 뜻이에요.

점과 점 사이의 위치 관계는 X로 되어있는데, 이건 다루지 않는다는 뜻이에요.

가로 직선과 세로 점이 만나는 칸에 (-) 표시 되어 있는 건 가로 점과 세로 직선이 만나는 칸에 (O) 표시 된 것과 중복되는 거라서 그렇게 표시했고요.

어디에서의 위치를 다룰 것이냐도 중요한데요. 평면과 공간에서 각 항목들의 위치 관계를 따져요. 그러니까 점과 직선의 위치 관계를 따지는데 이걸 평면에서의 위치 관계, 공간에서의 위치 관계 이렇게 2번 다루죠.

다만 평면에서 평면의 위치 관계를 다룰 수 없으므로 평면과 다른 항목의 위치 관계는 공간에서만 다뤄요. 다시 정리해보죠.

그러니까 총 7가지 위치 관계를 다뤄요.

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm2인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 $\frac{1}{2}$배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 $\frac{1}{3}$배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 $\frac{1}{2}$배, $\frac{1}{3}$배가 되는 걸 반비례라고 해요.

x, y 사이의 관계를 알아볼까요?

x × y = 1 × 30 = 2 × 15 = 3 × 10 = 5 × 6 = 6 × 5 = 30

x × y = 30이니까 y = $\frac{30}{x}$이라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

x, y가 반비례하면 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요.

$$xy = a\quad\rightarrow\quad y\quad = \quad \frac{a}{x}\\(a\quad \ne \quad 0)$$

반비례의 그래프

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y = $\frac{12}{x}$ 그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 한 쌍의 곡선이라서 쌍곡선이라고 해요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -$\frac{12}{x}$의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

y = $\frac{a}{x}$ (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = $\frac{a}{x}$(a ≠ 0)의 그래프 그리기

y = $\frac{a}{x}$는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 그래프를 보고, x, y의 관계식을 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제4사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.

y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. y = $\frac{a}{x}$의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

$$y\quad = \quad \frac{a}{x}\\5\quad = \quad\frac{a}{1}\\a\quad = \quad 5$$

$y = \frac{5}{x}$의 그래프군요.

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요

$$\frac{y}{x}\quad=\quad\frac{1000}{1}\quad=\quad\frac{2000}{2}\quad=\quad\frac{3000}{3}\quad =\quad … =\quad=\quad 1000$$

$\frac{y}{x}$= 1000이니까 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.

일반적으로 x, y가 정비례할 때 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요.

정비례의 그래프

y = 2x가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 그래프를 그릴 수 있어요.

y = 2x에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 끝없이 계속 이어지는 그래프예요.

앞에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요. (-3, 6), (-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6)

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.

y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 직선을 그으면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, … 이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 직선으로 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

변수와 상수

"한 권에 1000원 하는 공책 x권을 샀다"고 했을 때, x는 1이 될 수도 있고, 2가 될 수도 있고 100이 될 수도 있죠. 이처럼 딱 정해진 값을 갖는 게 아니라 변하는 값을 변수라고 해요. 이런 변수들은 문자로 나타내니까 변하는 값을 나타내는 문자를 변수라고하기도 해요.

문자와 식에서 식에 문자를 사용하는 걸 공부했었죠? 거기서 사용했던 문자들이 모두 변수예요.

이와 반대로 1은 언제나 1이고 10은 언제나 10이에요. 어떤 경우라도 바뀌지 않고 그대로죠. 이처럼 변하지 않는 값을 상수라고 해요. 항, 상수항, 계수, 차수에서 상수항 들어봤죠? 숫자만 있는 항을 상수항이라고 한다고 했어요. 숫자만 있는 항은 바뀌지 않으니까 상수항인 거예요.

• 변수: 변하는 값, 변하는 값을 나타내는 문자
• 상수: 변하지 않는 값

그래프

여러 자료를 좌표를 이용해서 좌표평면에 점, 직선, 곡선 등으로 나타낸 것을 그래프라고 해요. 그래프를 보면 표로 볼 때보다 변화나 상태를 더 직관적으로 알아볼 수 있어요.

아래 그래프는 지민이가 집에서 슈퍼에 가서 물건을 사올 때, 시간에 따른 집과 지민이 사이의 거리를 나타낸 그래프예요. 가로축(x축)은 시간, 세로축(y축)은 집과 지민이 사이의 거리예요.

처음에 집에서 마트로 갈 때는 집과 지민이 사이의 거리가 멀어지다가 마트에 도착해서 물건을 고르고 계산하는 중에는 거리의 변화가 없죠. 물건을 사고 다시 집으로 돌아올 때는 거리가 줄어들고요.

이 그래프를 보면 지민이 집에서 마트는 5분 거리에 있고, 마트에서 3분 머물렀다는 걸 알 수 있어요.

마트로 가는 길, 마트에서 집으로 돌아오는 길의 그래프가 직선이에요. 이건 거리가 일정하게 늘어나고 줄어들었다는 뜻으로 걷는 속력이 일정했다는 말이에요.

다음 그래프는 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따른 속력의 그래프예요. 마트에 갈 때와 마트에서 올 때는 속력이 일정하고, 마트에 있는 동안은 속력이 0이에요.

직선이 아닌 곡선이 포함된 그래프는 어떨까요?

0 ~ 5 사이의 구간에서 곡선이 처음에는 가파르게 올라가다 점점 완만하게 오르죠? 가파르게 오른다는 건 변화가 빠르다는 거고, 완만하게 오른다는 건 변화가 느리다는 거예요.

이 그래프는 거리의 변화를 나타내는 그래프니까 곡선이 가파르다는 건 거리의 변화가 빠르다는 거고, 거리의 변화가 빠르다는 건 이동하는 속력이 빠르다는 얘기죠. 즉, 지민이가 빨리 걸었다는 뜻이에요. 반대로 곡선이 완만한 건 변화가 느리다는 거고 이건 이동 속력, 걷는 속력이 느려졌다는 뜻이에요.

즉, 곡선이 가파르다 완만하게 바뀐 그래프를 보면 지민이가 출발할 때는 빨리 걷다가 점점 느리게 걸어서 마트에 도착했다는 걸 알 수 있어요.

올 때(8 ~ 13 구간)는 반대로 완만하던 곡선이 가파르게 바뀌죠? 천천히 걷다가 점점 빨리 걸어서 왔다는 뜻이에요.

이것도 시간에 따른 거리가 아니라 시간에 따를 속력 그래프로 그려보면 아래처럼 될 거예요. 처음에는 빨랐다가 느려지더니 마트에 도착해서는 0이 되었죠? 그리고 다시 마트에서 출발할 때는 느렸다가 점점 빨라져요.

에라토스테네스라는 사람은 그리스 사람인데, 지구의 둘레를 계산하기도 한 과학자이자 소수를 찾는 방법을 생각해낸 수학자이기도 해요. 지구 둘레 계산한 것도 나중에 과학 시간에 공부할 거예요.

에라토스테네스가 소수를 찾은 방법을 에라토스테네스의 체라고 해요. 체는 물건을 걸러낼 때 쓰죠? 이 체를 통해서 소수를 걸러내는 거예요.

에라토스테네스의 체를 이용해서 소수를 찾는 방법에 대해서 알아보죠.

에라토스테네스의 체

에라토스테네스의 체는 소수를 찾는 방법이니까 먼저 소수가 뭔지는 알아야 해요. 소수와 합성수에서 소수가 어떤 수인지 공부했어요.

1: 소수도 합성수도 아님
소수: 약수의 개수가 2개인 자연수, 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수
합성수: 약수의 개수가 3개 이상인 자연수, 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 자연수

에라토스테네스의 체는 소수를 하나 찾고, 그 배수를 지워서 소수를 찾아내는 방법이에요. 어떤 소수의 배수는 최소한 1과 소수, 자기 자신의 3개를 약수로 가지니까 합성수잖아요.

에라토스테네스의 체는 아래 순서대로 해요.

1. 숫자를 차례대로 쓴다.
2. 1은 소수가 아니므로 지운다.
3. 2는 두고 2의 배수는 모두 지운다.
4. 남은 숫자 중 가장 작은 수인 3은 두고 3의 배수는 모두 지운다.
5. 4는 2의 배수로 지웠으니 통과
6. 남은 숫자 중 가장 작은 5는 두고 5의 배수는 모두 지운다.
7. 6, 7, 8…… 도 반복 ……
8. 남은 수는 소수, 지운 수는 합성수, 1은 그냥 1

에라토스테네스의 체를 이용하여 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수를 찾아라.

위의 방법대로 해보죠.

첫 번째 그림에서는 소수가 아닌 1을 지웠어요.

두 번째 그림에서는 2에 동그라미를 치고, 2의 배수는 지웠어요.

세 번째 그림에서는 3에 동그라미를 치고, 3의 배수는 지웠고요.

네 번째 그림에서는 5에 동그라미를 치고, 5의 배수는 지웠고요.

다섯 번째 그림은 6, 7, 8……을 계속 같은 방법으로 반복한 결과에요.

동그라미 쳐진 숫자가 소수니까 1 ~ 30까지 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29네요.

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이름만 봐서는 나무의 줄기에서 잎이 펼쳐져 있는 모습을 상상할 수 있을 거예요. "참 잘했어요." 스티커 붙이던 포도송이와 비슷하다고 생각할 테지만 줄기와 잎 그림은 그림이라기보다는 표에 가까워요.

어떤 자료를 보고 줄기와 잎 그림을 그리는 방법과 줄기와 잎 그림을 보고 원하는 내용을 읽어내는 방법을 알아보죠.

줄기와 잎 그림

어떤 반 학생 10명의 키를 쟀더니 아래와 같아요.

155cm, 172cm, 164cm, 152cm, 168cm, 177cm, 163cm, 159cm, 172cm, 164cm

이 반 학생들의 키의 분포를 알아보기 쉽게 하려고 모양을 조금 바꿔봤어요.

이상하게 생긴 표가 하나 있죠? 이게 바로 줄기와 잎 그림이에요.

키가 150cm대, 160cm대, 170cm대 이렇게 할 때 앞의 두 자리 백의 자리, 십의 자리 숫자 15, 16, 17이 위 그림에서 왼쪽에 있는 줄기에 해당해요. 잎에 해당하는 숫자들은 일의 자리 숫자들이죠. 줄기 칸의 15와 같은 줄 잎 칸의 2가 나타내는 건 152cm이고, 줄기 칸의 15와 잎 칸의 5가 나타내는 건 155cm예요. 줄기 칸의 15와 잎 칸의 9가 나타내는 건 159cm죠.

줄기와 잎 그림에서 조합해낼 수 있는 키가 위에 적혀있는 키와 같은지 비교해보죠.

줄기 칸의 17에 보면 바로 옆 잎 칸에 2 2 7이라고 적혀있어요. 이 숫자들이 나타내는 키는 172cm, 172cm, 177cm라는 걸 알 수 있죠? 172cm는 두 번으로 겹치는데, 겹치는 것과 상관없이 모두 써줬어요. 줄기의 16에도 잎 칸에는 4가 두 번 적혀있어요.

줄기와 잎 그림을 보고 알 수 있는 건 뭘까요? 일단 줄기 15칸에는 잎에 숫자 3개가 적혀있어요. 150cm대 키가 3명이라는 걸 알 수 있죠. 160cm대는 4명, 170cm대도 3명이라는 걸 알 수 있어요. 전체는 10명이네요.

10명 학생 각자의 키를 구할 수 있어요. 163cm, 164cm, 164cm, … 이런 식으로요.

164cm보다 큰 학생의 수를 구할 수 있나요? 164cm니까 줄기에서 16을 찾고, 잎에서 4보다 큰 숫자를 찾으면 되겠죠? 8 한 개가 있으니까 1명이에요. 그리고 줄기에서 16보다 큰 17에 3명이 있으니까 164cm 보다 큰 학생의 수는 총 4명이에요.

줄기와 잎 그림을 보고 각각의 자료뿐 아니라 자료의 분포 상태도 금방 알아볼 수 있겠죠?

줄기와 잎 그림 그리는 방법

이번에는 줄기와 잎 그림을 직접 그려보죠.

1. 세로로 선을 긋고 왼쪽에 줄기의 숫자를 씁니다.
   이때, 잎 자리에는 일의 자리 숫자를 적으니까 줄기에는 일의 자리를 제외한 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
2. 선의 오른쪽에 잎의 숫자를 쓰는데, 줄기의 십의 자리 숫자에 맞게 각 자료의 일의 자리 숫자만 가로로 쓰세요.
   일의 자리 숫자를 크기 순서대로 씁니다.
3. 제목을 적고 오른쪽에 (줄기 | 잎)의 설명을 쓰세요.

수학 점수에요. 92, 84, 88, 76, 96, 72, 92, 84, 68, 96

수학 점수가 68점부터 96점까지 있네요. 60점대부터 90점대까지 있다는 뜻이죠.

① 세로로 선을 긋고, 왼쪽 줄기에는 60점대의 숫자 6, 70점대의 숫자 7, 80점대의 숫자 8, 90점대의 숫자 9를 적어요.

② 잎에는 점수대별로 일의 자리 숫자를 쓰는데, 크기 순서대로 씁니다. 첫 번째 점수는 92점이니까 줄기 9칸의 잎에 2를 적으세요. 그다음 84점은 줄기 8칸의 잎에 4를 적고요. 88점은 줄기 8칸의 4옆에 8을 적어요. 남은 7개의 점수도 같은 방법으로 적으세요.

③ 마지막으로 수학 점수라는 제목을 적고, 오른쪽에 괄호를 열고 (6 | 8은 68점)이라고 써줍니다. 처음으로 조합할 수 있는 숫자를 보기로 들면 돼요.

A, B 두 반의 수학 점수를 줄기와 잎 그림으로 나타낸 것이다. 왼쪽은 A, 오른쪽은 B반일 때, 그림을 보고 물음에 답하여라.
(1) 가장 점수가 높은 학생의 점수는 몇 점이고, 어느 반에 속해있는가?
(2) A, B 반에서 80점 미만의 점수를 받은 학생은 몇 명씩 있는가?

줄기와 잎 그림인데, 이번에는 두 개를 하나로 합친 거예요. 가운데에 줄기가 있고, 양옆에 잎이 있죠? 왼쪽 잎은 A반의 점수, 오른쪽 잎은 B반의 점수네요.

(1) 가장 높은 점수를 받은 학생이 A반에서는 92점, B반에서는 96점이니까 양쪽 모두를 통틀어서 가장 높은 점수는 96점이고, B반 소속이에요.

(2)번 80점 미만의 학생은 줄기가 6, 7인 학생의 수를 구하면 되겠죠? A 반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 3명, 6에 해당하는 학생은 0명이므로 총 3명이고요. B반에는 줄기 7에 해당하는 학생이 2명, 6에 해당하는 학생이 1명이니까 총 3명이네요.

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함수의 활용은 일차방정식의 활용과 비슷해요. 문제가 비슷한 게 아니라 문제를 푸는 순서가 비슷하다는 거죠.

차이가 있다면 일차방정식의 활용은 미지수가 x 하나인 것에 반해, 함수의 활용은 변수가 x, y 두 개라는 것이지요. 대신 함수는 관계식의 기본형태 두 가지가 주어져 있어서 그대로 이용하면 되기 때문에 오히려 쉬운 부분이 있어요.

그리고 함수의 활용에서는 일차방정식의 활용 2에서 사용했던 공식을 사용하기도 하니까 이 공식을 잘 외워두세요. 또 정비례와 반비례를 이용하여 함수의 관계식을 구하는 과정이 필수이므로 이 내용 또한 이해하고 있어야 합니다.

함수의 활용

함수의 활용 문제를 푸는 단계는 아래와 같아요.

1. 주어진 문제에서 변화하는 두 양을 x, y로 놓아요.
   함수에서 사용하는 문자 x, y는 변수에요. 문제에서 변하는 양을 찾아서 x, y로 놓아요.
2. x, y의 관계가 정비례, 반비례인지 확인하고 함수식을 구해요.
   정비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되는 관계이고 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
   반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 관계로 (a ≠ 0) 의 꼴이에요.
3. 특정한 값을 대입하거나 그래프를 그려서 구하는 값을 찾으세요.
   ②에서 만든 함수식을 이용하여 구하는 값을 찾으세요.
4. 문제에서 원하는 답을 고르세요.
   함수식을 통해 구한 값 중에서 문제의 뜻에 맞는 답을 고릅니다. 예를 들어 거리나 사람 수 등은 양수를 선택하세요.

문제에 따라서 사용하는 함수의 기본꼴이 달라지기 때문에 어떤 함수식을 사용해야하는지 결정하는 단계인 ②번이 매우 중요해요.

함수의 활용 - 정비례

정비례는 x가 2배, 3배, …가 되면 y도 2배, 3배, …가 되는 걸 말해요. 이때 기본식은 y = ax (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 정비례는 문제에서 바로 알 수 있는 경우도 있지만, 혹시 그렇지 않다면 비례식을 세울 수 있는지 보세요. 이때도 정비례 관계에요. 비례식을 세울 수 있을 때는 정비례의 기본꼴을 이용하지 않고 비례식을 풀면 곧바로 함수식을 구할 수 있어요.

한 상자에 10,000원인 사과가 있다. 사과 상자의 개수를 x, 사과의 가격을 y라고 할 때 x, y의 관계식을 구하고 사과 7상자를 사려면 얼마의 돈이 필요한지 구하여라.

1상자에 10,000원이면 2상자는 20,000원, 3상자는 30,000원이겠죠? x와 y가 정비례 관계에요.
y = ax의 꼴인데, 1상자가 10,000원이므로 x = 1, y = 10000을 대입하면
y = 10000x라는 관계식을 구할 수 있어요.

7 상자를 살 때의 가격을 물어봤으니 x = 7을 대입하면 y = 10000 × 7 = 70000(원)이네요.

1L의 기름으로 20km를 가는 자동차가 있다. 이 자동차에 xL의 기름을 채웠을 때 달릴 수 있는 거리를 ykm라고 한다면, 8L의 기름으로 자동차가 갈 수 있는 거리를 구하여라.

1L의 기름 : 20km의 거리 = xL : ykm라는 비례식을 세울 수 있네요. 이건 비례식을 바로 풀어버리죠. (내항의 곱) = (외항의 곱)인 건 알고 있죠?
y = 20x
여기에 문제에서 구하라고 한 기름이 8L일 때의 거리니까 y = 20 × 8 = 160(km)이에요.

함수의 활용 - 반비례

반비례는 x가 2배, 3배, …가 될 때, y는 배, 배, …가 되는 걸 말하는데, 이때 기본식은  (a ≠ 0) 의 꼴이에요. 반비례인지 확신이 서지 않을 때는 x, y의 곱이 일정한 값을 가지는지 보세요. xy가 일정한 값을 가지면 양변을 x로 나눠주세요. 반비례 함수의 기본꼴과 같아져요.

48개의 사탕이 있다. x명의 학생에게 사탕을 나누어주면 한 사람이 y개의 사탕을 받을 때, 여덟 명의 학생에게 사탕을 나누어 준다면 한 학생당 몇 개의 사탕을 받을 수 있는지 구하여라.

학생이 1명이라면 48개의 사탕을 다 받을 수 있죠? 그런데 학생이 2명이라면 한 명이 24개의 사탕을 가져요. 학생이 3명이라면 한 학생당 16개의 사탕을 받을 수 있어요. 즉 학생 수가 2배, 3배가 되면 한 학생이 받는 사탕의 수는 배, 배 되는 반비례 관계에 있어요.

사탕의 개수는 48개, 학생 수가 8명이라고 했으니 에 a = 48, x = 8을 대입해보죠.

한 사람당 6개씩 받을 수 있어요.

선영이는 총 300쪽인 책을 매일 같은 양씩 읽으려고 한다. 하루 x쪽씩 y일 동안 읽는다고 할 때 다음을 구하여라.
(1) x, y의 관계식을 구하여라.
(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 할 때, 책을 다 읽으려면 며칠이 걸리는가?

(1) 하루에 책을 x쪽씩 y일 동안 읽는 책은 양은 xy에요. 그런데 이게 300쪽이죠. 따라서 xy = 300에서 양변을 x로 나눠주면 이 돼요.

(2) 하루 15쪽씩 읽는다고 했으니까 x = 15를 대입하면

20일 걸리네요.

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함수와 좌표평면에 대해서 알아봤어요. 이제 이 둘을 결합해보죠. 그게 바로 함수의 그래프에요.

함수별로 그래프를 그리는 방법과 특징이 달라요. 공통점과 차이점을 잘 이해하고 있어야 해요.

함수는 식으로 나타낼 수도 있고, 그래프로 나타낼 수도 있어요. 함수를 보고, 함수의 그래프를 그릴 수도 있어야 하고, 반대로 함수 그래프를 보고 함수식을 찾을 수도 있어야 해요.

이 글에서는 함수의 그래프가 뭔지, 함수 그래프는 어떻게 그리는 지, 함수별로 그래프는 어떻게 다른지를 비교해볼 거예요.

함수의 그래프

y = 2x라는 함수가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.

그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 점들이 모여서 선이 돼요. 이렇게 함수에서 만들 수 있는 순서쌍들을 좌표평면에 나타낸 것을 함수의 그래프라고 해요.

y = 2x의 함수에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래와 같은 그래프를 그릴 수 있어요.

x, y의 범위를 좁게 해서 함수의 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 계속 이어지는 그래프에요.

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프

위에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.

이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요.

y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.

함수 y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나는 거예요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

함수 y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법

함수 y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.

y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 그리면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, …  이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.

함수 (a ≠ 0)의 그래프

이번에는 (a ≠ 0)의 함수의 그래프는 어떤 특징이 있는지 알아볼까요?

y =  그래프를 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾아보면 …, (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3), (-3, -4), (-2, -6), (-1, -12), (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), …이 있네요. 물론 중간마다 x = 0.1, 0.11, …, 0.2, 0.22, … 같은 순서쌍도 찾을 수 있겠죠. 이런 점들을 좌표평면에 표시하면 아래처럼 돼요. 직선이 아니라 x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 곡선이 2개가 그려졌어요. 이 곡선은 제1사분면과 제3사분면을 지나네요.

y = -의 그래프도 그려보죠.

먼저 순서쌍을 찾으면 …, (-12, 1), (-6, 2), (-4, 3), (-3, 4), (-2, 6), (-1, 12), (1, -12), (2, -6), (3, -4), (4, -3), (6, -2), (12, -1), …이 있네요. 마찬가지로 정수가 아니라 유리수 순서쌍도 무수히 많을 거고요. 좌표평면에 점을 찍어봤더니 아래 그림처럼 그래프가 그려졌어요. x축, y축에 가까워지면서 한없이 뻗어 나가는 2개의 곡선인데, 곡선은 제2사분면과 제4사분면을 지나가요.

함수 (a ≠ 0)에서 분수의 분모인 x는 0이 될 수 없으니까 y축과 만나지 않아요. 또 a ≠ 0이므로 y ≠ 0이어서 x축과도 만나지 않죠. 대신 x축, y축에 한없이 가까워지지만 할 뿐이에요. x ≠ 0, y ≠ 0이니까 원점도 지나지 않죠. 모양도 직선이 아니라 곡선이에요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같으니까 제1사분면과 제3사분면을 지나요. 반대로 a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나는 거죠.

(a ≠ 0)의 그래프

a > 0	a < 0
x축, y축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 곡선
제1사분면, 제3사분면	제2사분면, 제4사분면

함수 (a ≠ 0)의 그래프 그리기

는 직선이 아니라 곡선이라서 가능하면 많은 순서쌍을 찾아야 해요. 그래서 그 순서쌍을 좌표평면에 나타내고, 곡선으로 연결하는 거죠. 기본적인 형태는 같아요. 지나는 점만 다르다고 생각하면 돼요.

몇 번 연습해보면 그릴 수 있어요.

다음에 그려진 함수의 그래프를 보고, 함수를 구하여라.

(1)은 제2사분면과 제3사분면을 지나는 직선이에요. y = ax의 그래프인데, a < 0인 그래프죠. 원점 O와 (1, -3)을 지나요. y = ax에 x = 1, y = -3을 대입하면 a를 구할 수 있어요.
y = ax
-3 = a × 1
a = -3

y = -3x의 그래프네요.

(2)는 제1사분면과 제3사분면을 지나는 곡선이에요. 의 그래프라는 얘기죠. 이 그래프는 (1, 5)를 지나네요. x = 1, y = 5를 대입해보죠.

의 그래프군요.

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수직선을 공부했었죠? 이 글의 내용은 수직선을 확장한 내용이에요. 그런데 그게 조금 많이 어렵습니다. 새로운 용어들과 그림이 많이 나오거든요.

어느 하나 중요하지 않은 용어가 없어요. 다음에 공부할 그래프는 물론, 2, 3학년 때도 계속 때도 사용하는 용어들이에요. 주의하고, 집중해서 잘 읽어보세요.

새로운 용어와 그림을 함께 기억하세요. 용어 따로 그림 따로가 아니에요. 문제를 읽고 그림으로 표현할 줄 알아야 하고, 그림을 보고 내용을 파악하려면 당연한 거겠죠?

순서쌍과 좌표

수직선이 뭔지 알고 있죠? 아래 그림처럼 수직선의 2라는 숫자에 점 A가 있다고 해보죠.

수직선의 2위에 점 A가 있다는 건 반대로 점 A에 2가 대응한다고 얘기할 수 있어요.

수직선 위의 한 점에 대응하는 수를 좌표라 하고 기호로는 P(a)라고 표시해요. 점 P가 수직선 위의 a라는 숫자에 있다는 뜻이에요. 만약에 점 A가 수직선의 2위에 있다고 한다면 A(2)라고 표시하고 A의 좌표는 2라고 하는 거예요.

좌표: 수직선 위의 한 점에 대응하는 수
P(a): 점 P의 좌표가 a

순서쌍은 한 쌍의 숫자를 순서대로 쓰는 걸 말해요. 한 쌍을 표시할 때는 괄호 안에 쓰고, 콤마(,)로 구분해요. 1, 2로 된 순서쌍은 (1, 2)로 쓰는 거예요.

순서쌍에서는 순서가 중요해요. (1, 2)와 (2, 1)은 다른 거예요.

좌표평면

수직선은 가로로 된 선이 하나만 있었어요. 그런데 가로로 된 수직선에 수직인 세로선(수직선)을 그어요. 이때 가로인 수직선을 x축, 세로인 수직선은 y축, x축과 y축을 합쳐서 좌표축이라고 하고 좌표축이 그려진 평면을 좌표평면이라고 해요. 또 두 수직선이 만나는 점을 원점 O라고 하고요.

수직선에는 0을 기준으로 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수였죠? 좌표평면에서는 x축은 점 O의 오른쪽이 양수, 왼쪽이 음수예요. y축은 점 O보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수예요.

모눈종이나 바둑판을 생각해보세요.

수직선에는 점 P의 좌표를 P(a)라고 표시하는데, 좌표평면에서는 수직선이 2개니까 사용하는 숫자도 2개예요. 그래서 P(a, b)라고 표시해요. a는 점 P에서 x축에 수선을 내려서 만나는 점의 숫자로 x좌표라고 하고, b는 점 P에서 y축에 수선을 그어서 만나는 점의 숫자로 y좌표라고 해요.

좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어져요. 네 부분으로 나누어지니까 사분면이라고 하는데, 오른쪽 위에 있는 영역부터 반시계방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 불러요. 좌표축은 사분면을 나누는 기준일 뿐, 사분면에 포함되지는 않아요.

그림에서 사분면의 이름 옆에 괄호 안에 (+, +), (-, -) 이 표시는 사분면 위 점들 좌표의 부호예요. 제1사분면에 있는 점의 x좌표와 y좌표는 둘 다 양수니까 (+, +)로 표시한 거고, 제2사분면에 있는 점의 x좌표는 음수, y좌표는 양수라서 (-, +)로 표시한 겁니다.

어떤 점이 제1사분면에 있을 때, '제1사분면 위의 점이다' 이런 식으로 표현해요.

x축: 가로로 그어진 수직선
y축: 세로로 그어진 수직선
좌표축: x축, y축
좌표평면: x축과 y축이 그려진 평면
원점: x축과 y축이 만나는 점. O
P(x, y): 점 P의 좌표. x좌표, y좌표 순
사분면: 좌표평면이 좌표축으로 나누어진 네 영역, 제1사분면(+, +), 제2사분면(-, +), 제3사분면(-, -), 제4사분면(+, -)

다음 점들 중에서 제4사분면 위의 점은 무엇인가?
(1) A(2, 3)         (2) B(3, -2)
(3) C(-2, -3)      (4) D(-2, 3)

(1) A(2, 3)에서 x, y좌표의 부호가 둘 다 양수이므로 제1사분면 위의 점이네요.

(2) B(3, -2)에서 x좌표는 (+), y좌표는 (-)이므로 제4사분면 위의 점이네요.

(3) C(-2, -3)에서 x, y좌표 부호가 둘 다 음수이므로 제3사분면 위의 점이고요.

(4) D(-2, 3)에서 x좌표는 (-), y좌표는 (+)이므로 제2사분면 위의 점이네요.

따라서 제4분면 위의 점은 B입니다.

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두 변수 x y에 대하여 x가 정해지면 그에 따라 하나의 y가 정해질 때, y를 x의 함수라고 한다고 했어요. x가 정해지면 y가 하나만 결정되는데, 이때 x와 y의 관계에서 정비례, 반비례라는 용어를 사용해요.

정비례와 반비례는 평소에 많이 들어본 말일 거예요. 정비례는 단순히 하나가 커지면 다른 하나도 커지는 것, 반비례는 하나가 작아지면 다른 것도 작아지는 것 정도로 알고 있을 텐데, 수학에서는 그 의미가 조금 달라요.

이 글에는 정비례와 반비례의 정확한 의미를 이해하고 이걸 함수식으로 표현하는 방법까지 공부해볼 거예요. 또 정비례, 반비례가 아닌 경우도 알아볼 거고요.

함수의 관계식 - 정비례와 반비례

정비례

한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.

x, y는 변수이고, 하나의 x에 하나의 y가 결정되니까 함수에요.

그런데 x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요.

함수가 정비례하는 경우에 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 y = 1000x죠.

반비례

정비례와 반대인 경우를 볼까요?

넓이가 30cm²인 사각형을 만들려고 해요. 가로의 길이를 xcm, 세로의 길이를 ycm라고 할 때, x와 y의 관계를 알아보죠.

가로의 길이가 1cm → 2cm로 두 배가 되면 세로의 길이는 30cm → 15cm로 배가 되고, 가로의 길이가 1cm → 3cm로 3배가 되면 세로의 길이는 30cm → 10cm로 배가 되죠.

이처럼 x가 2배, 3배가 될 때, y는 배, 배가 되는 걸 반비례라고 해요.

함수가 반비례하는 경우에는 xy = a (a ≠ 0) 이라는 관계가 성립해요. 이 경우에는 xy = 30이죠.

정비례, 반비례가 아닌 경우

어떤 주머니에 빨간 공과 파란 공을 합쳐서 10개의 공이 들어있어요. 주머니 속에 들어있는 빨간 공의 개수를 x개, 파란 공의 개수를 y개라고 해보죠.

이때는 빨간 공의 개수가 1개 → 2개로 두 배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 8개가 되고, 빨간 공의 개수가 1개 → 3개로 3배가 되면 파란 공의 개수는 9개 → 7개가 돼요.

x가 2배, 3배가 될 때, y가 바뀌기는 하지만 몇 배씩 바뀌는 건 아니죠? 이런 경우에는 정비례도 아니고 반비례도 아닌 경우예요.

y가 x에 정비례하고, x = 10일 때, y = 20인 함수의 관계식을 구하여라.

y가 x에 정비례하면 함수의 관계식은 y = ax (a ≠ 0)이죠. 여기에 x = 10, y = 20를 대입해보죠.
20 = a × 10
a = 2

따라서 x와 y의 관계식은 y = 2x

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