앞에서는 평면에서의 여러 가지를 공부했어요. 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계를요. 이제는 공간에서 같은 내용을 공부할 거예요.
점이 모이면 선이 되고, 선이 모이면 평면이 돼요. 그렇죠? 그럼 공간은 뭐가 모여서 된 걸까요? 바로 평면이 모여서 된 거예요. 그래서 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계는 공간에서도 그대로 적용됩니다. 평면에서의 위치 관계에 추가로 몇 개 더 공부하는 거예요.
공간에서 두 직선의 위치 관계
점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계에서 평면에서 두 직선은 한 점에서 만나는 경우, 평행한 경우, 일치하는 경우가 있었어요. 일치하는 경우는 여러 점에서 만나는 경우니까 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 합쳐서 두 직선이 만나는 경우라고 할 수 있죠.
공간에서는 여기에 한 가지가 더해지는 데요. 바로 꼬인 위치라는 거예요. 꼬인 위치는 쉽게 말해서 위 세 가지가 아닌 경우예요. 그러니까 만나지도 않으면서 평행하지도 않은 경우죠.
왼쪽 세 그림에는 "한 평면 위"라고 쓰여 있죠? 이 세 가지는 평면에서 두 직선의 위치관계에도 있던 내용이에요. 반대로 꼬인 위치는 서로 다른 평면에 있는 경우고요.
꼬인 위치에 대해서는 잘 이해가 안 될 수 있는데요. 아래 직육면체 그림을 보죠.
변 AB와 변 CD, 변 EF, 변 HG는 서로 평행이에요. 그리고 변 AB와 변 AD, 변 AE는 한 점 A에서 만나죠? 변 AB와 변 BC, 변 BF는 한 점 B에서 만나요. 그럼 변 AB와 변 EH는 어떤 사이일까요? 만나지도 않고 평행하지도 않아요. 이런 관계를 바로 "꼬인 위치에 있다."고 합니다.
평면과 직선의 위치관계
이번에는 공간에서 평면과 직선의 위치 관계예요.
직선이 평면에 포함되는 경우가 첫 번째예요. 평면에서 두 직선의 위치 관계에서 직선은 모두 평면에 포함되어 있었어요. 직선이 평면에 포함되는 경우는 다른 말로 평면 위의 직선이라고 표현하고 이때 직선과 평면이 만나는 점이 매우 많아요. 앞의 직육면체 그림에서 면ADHE에 선분 AD, DH, HE, EA가 포함되어 있어요.
두 번째는 평면과 직선이 한 점에서 만나는 경우예요. 마치 화살이 과녁에 박혀있는 것처럼 생겼어요. 직육면체 그림에서 면ADHE와 세로로 된 선분 AB는 점 A에서 만나죠. 또 선분 DC와는 점 D에서, 선분 HG와는 점 H, 선분 EF와는 E에서 만나요.
마지막은 직선이 평면과 만나지 않고 평행하는 경우예요. 점이 직선 위에 있지 않는 경우와 비슷한 모양이에요. 직육면체 그림의 면ADHE는 선분 BC, 선분 CG, 선분 GF, 선분 BF와 평행이에요.
공간에서 평면과 직선의 수직
평면과 직선이 한 점에서 만날 때 특이하게 만나는 경우가 있어요. 바로 직각으로 만나는 경우요. 두 직선이 한 점에서 만날 때, 수직으로 만나는 경우가 있잖아요. 여기서도 그런 경우예요.
평면을 P, 평면 P와 한 점에서 만나는 직선을 직선 m이라고 해보죠. 평면 P와 직선 m이 만나는 점을 점 O라고 하고요. 그리고 평면 P에 포함되고 점 O를 지나는 직선을 l이라고 하지요.
평면 P와 직선 m이 직교하니까 직선 m은 수선이고, 기호로 P ⊥ m으로 나타낼 수 있어요. 이때 점 O는 수선의 발이에요. (수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리)
공간에서 직선과 평면이 서로 수직일 때는 한 가지 특징이 있는데, 평면 P와 직선 m이 수직이면 평면 P위의 직선 l과 직선 m도 점 O에서 수직이에요.
아래 그림을 보고 변 AB와 꼬인 위치에 있는 선분을 모두 찾으시오.
꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 위치에 있는 걸 말해요.
변 AB와 평행한 변을 찾아볼까요? 변 CD, 변 EF, 변 GH가 있네요.
변 AB와 만나는 변을 찾아보죠. 변 AD, 변 AE, 변 BC, 변 BF이고요.
그럼 이제는 평행하지도 않고, 만나지도 않는 꼬인 위치에 있는 변을 찾아보죠. 직육면체에서 찾을 수 있는 변 중에 위에서 적지 않은 변을 다 적으면 돼요. 변 EH, 변 DH, 변 FG, 변 CG가 되겠네요.
함께 보면 좋은 글
평면의 결정 조건
점과 직선의 위치 관계, 두 직선의 위치 관계
수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리
이해 잘 되네요 ㅎ
공간에서의 직선과 평면의 위치관계와 평면에서 점과 직선의 위치관계가 헷갈리지 않도록 잘 비교해서 공부해보세요.
좋은 정보 감사합니다..
좀더 이해가 잘 되었어요~~
궁금한게 있어서 글 남깁니다. 공간에서 두 직선의 위치관계에서는 왜 '일치'하는 경우를 빼놓은거죠?
만난다. 평행하다. 꼬인위치 세가지만 말하잖아요. 왜그런거에요??
그림 바로 위의 설명에는 한 점에서 만나는 경우, 평행, 일치하는 경우에 추가로 하나 더(꼬인위치)라고 썼고요, 그림에 그리지 않았을 뿐이에요.
그냥 "만난다"할 때 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 모두 얘기하는 거지요.
비밀댓글입니다
육면체라고 해서 여섯 개의 면만 생각하면 안돼요. 평면의 결정조건(http://mathbang.net/85)에 따라 AB와 HG을 이용해서 평면을 만들 수 있거든요.
한 점에서 만난다와 쉽게 구별할 수 있도록 만나지 않는다고 했는데, 오해할 수도 있겠군요. 수정해두었습니다.
공간에서 위치관계와 한평면에서 위치관계 ,,뭐가다른거에요.?ㅜㅜ....ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ.......
공간은 3D고 평면은 2D에요. 2D영화는 스크린에만 표시되지만 3D 영화는 스크린에서 튀어나오잖아요.
펜을 책상위에 올려놓으면 그건 평면위의 직선이고, 펜을 들고 있으면 그건 공간위의 직선이에요.
이번 주제는 다른 학생은 잘 모르겠지만
저는 넘 어려워서 멘붕(?)이 올뻔했네요.
특히, 공간에서 평면과 직선의 수직이ㅠ
저는 위에서 제시해주신 6면체로 개념적용해서 해봤어요
ADHE(윗면) 을 평면 이라고 하고
선분 AB를 평면와 한점에서 만나는 직선으로 보고 그리고 평면과 선분AB 만나는 점을 A
평면에 포함되고 점 A를 지나는 직선을
선분AD로 보고 개념을 적용해 봤는데요.
무관할까요?
아이고 정리가 잘안되서 엉망이네요ㅠ
오늘도 잘배우고 가요 수학방님!!
네, 그렇게 이해하시면 돼요.
공간에서 평면과 직선이 수직이라는 건 일단 한 점에서 만나는데 그 때 수직으로 만난다라는 거에요. 평면은 수없이 많은 직선으로 이루어져 있죠? 따라서 평면과 수직인 직선은 평면위에 있는 직선과도 수직이라는 내용이에요.
작도
링크오류 입니다.
이 부분 잘 이해 안됬는데 수학방에서 자세한 예시와 함께 이해하면서 보니깐 이해가 잘되는 것 같내요! 고마워요! 수학방 잘 애용하고 있습니다^^
네 자주 방문해주셔서 고맙습니다.
혹 이해안되는 내용이 있으면 댓글 남겨주세요.
질문있는데요
주변에있는 교실,집,거리등에서 찾아볼수 있는 공간에서두직선의위치관계에는 무엇이있나요?
눈에 보이는 모든 직선이 공간에서 두 직선의 위치관게에 해당하죠. 전봇대는 서로 평행이죠. 차선을 하나의 직선으로 본다면 교차로에서 두 직선(차선)은 한 점에서 만나는 거죠.
질문이 생겼는데요.
m이 l과 점 o에서 수직으로 만나도 직선m은 평면에서는 기울어지는 경우가 생길 수 있지 않나요?
ㅗ자형 자를 바닥에 댄 상태에서 약간 기울이면 자의 ㅡ 부분은 항상 l과 수직인데 l부분과 바닥은 수직으로 안 만나잖아요..?
수정했어요.
평면에서의 두직선의 위치관계는 일치한다가 있는데 공간에서는 어느책을 봐도 없던데 이유가 뭔가요? 저기 위에 답변처럼 공간에서 한점에서 만나는 경우에 일치한다를 포함시킨다면 왜 평면에서는 굳이 둘을 구분했을까요?
공간에서의 관계는 평면에서의 관계(한 점에서 만난다. 일치, 평행)를 모두 포함하고 거기에 꼬인 위치(만나지도 않고 평행하지도 않는 관계)가 추가된 거거든요. 그래서 그 차이인 꼬인 위치에 더 집중하다보니 그런 것 같네요.
한 평면에서 두 직선이 두 점 이상에서 만나면 일치하니까 이 경우도 한 점에선 만나는 경우라고 할 수도 있잖아요. 그걸 그냥 합쳐서 "만나는 경우"라고 해버린 거죠.
안녕하세요. 궁금한게 있어서 질문드립니다.
한점에서 P(x1, y1, z1) 직선 ax + by + cz + d = 0 과의 최단거리를 나타내는 점 O 즉 OP와 평면이 수적으로 직교하는 점 O의 좌표를 구하는 방법이 떠오르지 않아서요... 혹시 알려주실수 있나요.