정비례
한 권에 1,000원 하는 공책을 x권 구입했을 때의 가격 y를 표로 나타내보죠.
| 공책 수 x (권) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| 내야 할 금액 y (원) | 1000 | 2000 | 3000 | 4000 | … |
x가 1권에서 2권으로, 다시 3권으로 늘어날 때, y는 어떻게 변하나요? 공책의 권 수가 2배, 3배가 되면 내야 할 금액도 2배, 3배가 되죠? 이처럼 변수 x, y에서 x가 2배, 3배가 될 때 y도 2배, 3배가 되는 걸 정비례라고 해요
$$\frac{y}{x}\quad=\quad\frac{1000}{1}\quad=\quad\frac{2000}{2}\quad=\quad\frac{3000}{3}\quad =\quad … =\quad=\quad 1000$$
$\frac{y}{x}$= 1000이니까 y = 1000x라는 관계식으로 나타낼 수 있어요.
일반적으로 x, y가 정비례할 때 y = ax (a ≠ 0)라는 관계가 성립해요.
정비례의 그래프
y = 2x가 있을 때, (-3, -6), (-2, -4), (-1, -2), (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6) 같은 순서쌍을 만들 수 있어요. 이 순서쌍들을 좌표평면에 나타내 보면 아래 그림처럼 되지요.
그런데 x가 정수일 때 뿐 아니라 유리수일 때도 순서쌍을 만들 수 있겠죠? 0.1, 0.11, 0.111, …, 0.2, 0.22, … 처럼요. 그러면 이런 x에 대응하는 y값들을 구해서 순서쌍을 만들고, 이 순서쌍을 좌표평면에 나타내면 그래프를 그릴 수 있어요.
y = 2x에서 순서쌍을 만들어서 좌표평면에 나타내면 아래 그래프를 그릴 수 있어요.
x, y의 범위를 좁게 해서 그래프를 그려서 그렇지 실제로는 왼쪽 아래와 오른쪽 위로 끝없이 계속 이어지는 그래프예요.
앞에서 그렸던 y = 2x의 그래프가 바로 a = 2인 y = ax 형태의 그래프죠? 어떤 특징이 있나요? 일단 원점 O(0, 0)를 지나고 오른쪽 위로 향하는 직선이에요. 제1사분면과 제3사분면을 지나는 그래프네요.
이번에는 y = -2x의 그래프를 그려보죠. 마찬가지로 순서쌍을 만들고 그 순서쌍을 좌표평면에 찍어서 나타내요. (-3, 6), (-2, 4), (-1, 2), (0, 0), (1, -2), (2, -4), (3, -6)
y = -2x의 그래프도 원점 O (0, 0)를 지나요. 그리고 오른쪽 아래로 향하는 직선이고, 제2사분면과 제4사분면을 지나네요.
y = ax (a ≠0)의 그래프에서 x = 0이면 y = 0이니까 원점 O(0, 0)를 지나요. 그리고 a > 0이면 x와 y의 부호가 같죠? 그래서 제1사분면과 제3사분면을 지나요. a < 0이면 x의 부호와 y의 부호가 반대라서 제2사분면과 제4사분면을 지나고요.
| a > 0일 때 | a < 0일 때 |
|---|---|
| 원점 (0, 0)을 지나는 직선 | |
| 오른쪽 위로 향하는 직선 | 오른쪽 아래로 향하는 직선 |
| 제1사분면, 제3사분면 (x, y 부호 같음) |
제2사분면, 제4사분면 (x, y 부호 반대) |
y = ax (a ≠ 0) 그래프 그리는 법
y = ax (a ≠ 0)의 그래프는 원점을 지나는 직선이에요. 직선은 점 두 개만 있으면 그릴 수 있어요. y = ax의 그래프는 원점 O를 지나니까 원점이 아닌 다른 점의 좌표 하나만 더 알면 그릴 수 있다는 얘기예요.
y = 2x의 그래프를 예로 들면, 원점 (0, 0)과 (1, 2) 두 점을 연결해서 직선을 그으면 돼요. 굳이 x = 2, 3, 4, … 이런 점들의 순서쌍을 구할 필요가 없다는 뜻이죠. y = -2x도 원점 (0, 0)과 (1, -2) 두 점을 직선으로 연결해서 그래프를 그릴 수 있어요.