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수직선, 절댓값 이런 용어는 정수의 절댓값과 수직선에서 공부한 것들이죠. 유리수에서의 절댓값과 수직선도 정수에서 같은 특징이 있어요. 유리수의 대소관계도 정수의 대소관계와 똑같아요.

절댓값과 수직선, 절댓값의 성질, 정수의 대소관계

이 글에서 배울 내용은 모두 정수에서 했던 내용과 완전히 같아요. 단지 숫자만 정수에서 유리수로 바뀐 것뿐이에요.

거저먹는 거라고 할 수 있는 내용이죠. 정수에서 공부했던 내용을 복습한다 생각하면 될 것 같네요.

수직선과 절댓값

수직선

수직선은 직선을 긋고 직선 위의 점들과 숫자를 대응시킨 걸 말해요. 수직선에 0을 찍고 그 오른쪽에는 양의 유리수를, 왼쪽에는 음의 유리수를 적는 거지요. 정수에서의 수직선과 다른 점은 정수뿐 아니라 정수 아닌 유리수도 있다는 것 정도예요. 이나 , 1.5, -3.2 같은 수들도 수직선 위에 나타낼 수 있는 거죠.

절댓값

절댓값은 수직선 위의 점들이 원점으로부터 거리가 얼마나 떨어져 있느냐를 말해요. 절댓값은 | |를 써서 나타내는데, 유리수에서 부호 떼고 숫자만 적으면 됩니다.

, |1.5| = 1.5 , |-3.2| = 3.2

절댓값은 거리므로 양의 유리수에요. 그런데 0의 절댓값은 0이죠. 따라서 유리수의 절댓값은 0보다 크거나 같아요. 또 원점에서 멀어질수록 거리가 멀어지니까 절댓값도 커지죠. 절댓값이 같은 수는 양의 유리수, 음의 유리수 2개가 있어요.

유리수의 크기 비교, 유리수의 대소관계

숫자는 기본적으로 수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 커요. 이게 제일 중요합니다.

유리수는 양의 유리수, 0, 음의 유리수가 있어요. 일단 숫자의 크기를 비교할 필요없이 부호만 보면 음의 유리수 < 0 < 양의 유리수에요.

부호가 같을 때는 절댓값의 크기를 비교해야 해요. 양의 유리수는 절댓값이 크면 더 크고, 음의 유리수는 절댓값이 더 크면 작아요.

유리수의 대소관계
음의 유리수 < 0 < 양의 유리수
양의 유리수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 유리수는 절댓값이 작을수록 크다

다만 절댓값이 분수일 때가 있어요. 분수는 크기비교를 할 때 분모를 통분해서 비교하죠? 아니면 소수로 바꿔서 비교해도 되고요. 숫자에 맞게 편한 방법을 골라서 비교하세요.

다음 유리수를 작은 것부터 순서대로 나열하여라.

음의 유리수 < 0 < 양의 유리수 순이에요.
음의 유리수는 -0.7, 이 있네요.

양의 유리수는 가 있고요.

 = -0.75이므로 -0.7보다 절댓값이 커요. 음의 유리수에서는 절댓값이 크면 작으므로  < -0.7이 되네요.

가 있는데, 이 둘은 통분해서 크기를 비교해보죠. 네요.

정리해보면,

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정수를 다 공부했어요.

이제 또 새로운 수를 배울 거예요. 유리수라는 건데, 중학교 1, 2학년 수학에서 수라고 말하면 대부분 유리수를 말하는 거예요. 그러니까 이 글을 집중해서 보세요.

이 유리수는 정수의 연장선이라고 생각하면 돼요. 따라서 유리수라는 수의 개념만 잘 이해하면 나머지는 비교적 쉬워요. 정수의 연장선인 만큼 그 성질, 사칙연산과 연산에서 성립하는 법칙 등이 정수와 같아요.

유리수를 분류하는 여러 가지 방법도 알아볼 거예요.

유리수의 뜻

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수를 말해요. 분수에서 분자와 분모는 정수면 되고요. 꼭 자연수일 필요는 없어요. 단 분모는 0이면 안 돼요. 분모가 0인 분수는 없으니까요.

유리수는 분수꼴로 나타낼 수 있는 수에요. 수의 모양을 분수꼴로 바꿀 수 있으면 다 유리수인 거죠. 유리수와 분수를 같은 것으로 착각하는 데 절대로 그러면 안 돼요. 유리수 ≠ 분수

정수나 소수도 얼마든지 분수 모양으로 바꿀 수 있어요.

유리수는 정수, 분수, 소수 등 이제까지 우리가 봐왔던 모든 수를 통틀어 놓은 거예요. 그러니까 완전히 새로 배우는 수는 아니에요.

정수에 양의 정수, 0, 음의 정수가 있는 것처럼 유리수도 양의 유리수, 0, 음의 유리수로 되어 있어요.

양의 정수는 (+) 부호를 생략해서 쓰는 것처럼 양의 유리수도 (+) 부호를 생략해서 쓸 수 있어요. 음의 유리수의 (-) 부호는 생략할 수 없고요.

유리수의 분류

위에서는 부호에 따라서 유리수를 나눴죠? 다른 방법으로 구분하기도 하는데요.

유리수의 대표적인 수가 바로 정수잖아요. 정수와 정수가 아닌 유리수로 나누는 거예요. 정수가 아닌 유리수에는 분수, 소수 이런 것들이 포함돼요.

아래 그림을 잘 기억하세요.

는 약분을 하면 2가 되죠? 생긴 모양은 정수가 아니라 분수라서 정수가 아닌 유리수라고 생각하기 쉽지만, 약분을 하면 2가 되기 때문에 는 정수라고 해야 해요. 분수로 되어 있는 경우라도 꼭 약분을 해서 기약분수로 만든 다음에 판단해야 합니다.

다음 수를 정수와 정수 아닌 유리수로 구분하여라.

는 약분을 하면 -3이에요. 음의 정수죠. 나머지는 보면 금방 알 수 있네요.

정수: +1, 0,
정수 아닌 유리수:

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연산할 때 많이 사용하는 분배법칙이에요. 분배법칙의 뜻이 뭔지, 어떤 특징이 있는지 알아볼 거예요.

계산식에 분배법칙을 적용하는 걸 전개한다고 하는데, 분배법칙에서 제일 중요한 게 바로 식을 어떻게 전개하느냐에요. 이 점을 가장 중점적으로 보세요. 그리고 이름이 법칙이죠. 그러니까 당연히 공식처럼 외워야 해요.

또, 정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서 공부했던 교환법칙, 결합법칙과 어떻게 다른지도 알고 있어야 해요.

분배법칙

사각형의 넓이는 (가로) × (세로)에요. 위 그림에서 왼쪽의 분홍색 사각형의 넓이는 a × c죠. 오른쪽 하늘색 사각형의 넓이는 b × c에요.

큰 사각형의 전체 넓이는 (a + b) × c잖아요. 그런데 전체 사각형은 분홍색, 하늘색 사각형으로 되어 있으니까 두 사각형의 넓이의 합과 같아요.

(a + b) × c = a × c + b × c

여기에서 얻은 공식이 바로 분배법칙이에요. 괄호 안에 a + b를 두 부분으로 나눠서 각각에 c를 곱해줘도 계산 결과가 같아요.

(6 + 9) × 3 = 15 × 3 = 45
(6 + 9) × 3 = (6 × 3) + (9 × 3) = 18 + 27 = 45

(6 + 9) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5
(6 + 9) ÷ 3 = (6 ÷ 3) + (9 ÷ 3) = 2 + 3 = 5

왼쪽에 있는 식을 오른쪽 식으로 모양을 바꾸는 걸 전개한다고 하는데요, 전개 방법을 잘 이해해야 해요.

1. 괄호 안의 앞쪽에 있는 수 a와 괄호 바깥에 있는 수 c를 곱하고
2. 괄호 안의 뒤쪽에 있는 수 b와 괄호 바깥쪽에 있는 수 c를 곱해요.
3. 마지막으로 ①, ②를 더해요. 원래 괄호 안에 두 수 a, b를 더하는 것이었으니까요.

(a + b) × c = a × c + b × c
c × (a + b) = c × a + c × b

그리고 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하죠? 위 두 식에서 (a + b)를 하나의 숫자라고 생각하면 (a + b) × c = c × (a + b)가 돼요. 결국, 네 가지가 모두 같아요.

다음을 계산하여라.
(1) (20 + 36) ÷ 4
(2) 5 × (40 – 15)
(3) 56 × 13 + 44 × 13

분배법칙은 괄호 안의 수를 하나 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산한 다음, 괄호 안에서 다른 수를 꺼내서 괄호 밖의 수와 계산하죠. 그리고 이것들을 다시 모으는 거예요.

(20 + 36) ÷ 4 = 56 ÷ 4 = 14처럼 계산할 수도 있어요. 하지만 분배법칙을 이용해서 계산해보죠.
(20 + 36) ÷ 4 = (20 ÷ 4) + (36 ÷ 4) = 5 + 9 = 14

(2) 5 × (40 - 15) = (5 × 40) - (5 × 15) = 200 - 75 = 125

(3)번은 분배법칙을 거꾸로 하는 거예요. a × c + b × c = (a + b) × c
13이 공통으로 곱해져 있으니까 56 × 13 + 44 × 13 = (56 + 44) × 13 = 100 × 13 = 1300이 되는 거죠. 그냥 계산하는 것보다 분배법칙을 이용하니 계산이 훨씬 간단해졌죠?

교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

교환법칙은 간단히 말해서 연산 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 계산 결과가 같은 성질이에요. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립하죠.

결합법칙은 세 수 이상의 연산에서 연산의 순서를 바꿔도 계산 결과가 같다는 거고요. 연산의 순서는 괄호를 이용해서 나타내었죠. 정수와 유리수의 덧셈과 곱셈에서 성립해요.

분배법칙은 괄호 안의 수들을 따로 나눠서 괄호 밖의 수와 연산을 하더라도 결과가 같은 거예요.

세 정수 a, b, c에 대하여
교환법칙: a + b = b + a, a × b = b × a
결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c), (a × b) × c = a × (b × c)
분배법칙: (a + b) × c = a × c + b × c

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정수의 사칙연산 마지막 나눗셈입니다.

정수의 나눗셈은 하나도 어렵지 않아요. 왜냐하면, 정수의 곱셈하고 같으니까요. 정수의 곱셈만 할 줄 안다면 정수의 나눗셈은 거저먹기에요.

그리고 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있는 사칙연산의 혼합계산도 공부할 겁니다. 곱하기와 더하기가 있는 식에서 무엇을 먼저 계산해야 하는지 알고 있죠? 여기에서는 거듭제곱까지 포함해서 여러 종류의 연산이 동시에 있을 때 어떻게 하는지 알아보죠.

정수의 나눗셈

정수의 곱셈에서 부호가 같은 두 정수의 곱은 (+), 부호가 다른 두 정수의 곱은 (-) 였죠? 거듭제곱과 여러 정수의 곱셈에서는 음수의 개수나 음수의 지수가 짝수면 (+), 홀수면 (-)였어요. 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈과 같아요.

정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿀 수 있죠? 정수의 나눗셈도 정수의 곱셈으로 바꿀 수 있거든요. 그래서 정수의 곱셈과 나눗셈의 방법이 같아요.

그리고 0으로 나누는 경우는 생각하지 않아요. 그 어떤 경우라도 0으로 나누는 경우는 없어요.

정수의 나눗셈
부호가 같은 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (+)
(+) ÷ (+) = (+), (-) ÷ (-) = (+)
부호가 다른 두 정수: 두 정수의 절댓값을 나눠주고, 부호는 (-)
(+) ÷ (-) = (-), (-) ÷ (+) = (-)
 
음수의 개수가 0 또는 짝수일 때 → 결과는 (+)
음수의 개수가 홀수일 때 → 결과는 (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+2) ÷ (+1)
(2) (+8) ÷ (-2)
(3) (-2) ÷ (+8)
(4) (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1)

(1)은 두 정수의 부호가 같으니까 (+)가 나오겠네요. (+2)

(2)에서는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-4)

(3)도 두 정수의 부호가 다르니까 (-)에요. (-¼)

(4) 총 4개의 정수가 있는데, 그 중 음수인 정수가 3개 있어요. 음수의 개수가 홀수이므로 부호는 (-)에요. (-54) ÷ (-3) ÷ (+9) ÷ (-1) = (-2)

정수의 덧셈과 정수의 곱셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립해요. 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않죠. 정수의 나눗셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립할까요?

위 예제의 (2), (3)을 보세요. 정수는 같고, 위치만 달라요. 그런데 결과도 다르죠? 결국, 정수의 자리를 바꿔도 식의 결과가 같아야 교환법칙이 성립하는데, 그렇지 않다는 걸 알 수 있어요.

{(+4) ÷ (+2)} ÷ (-2) = (+2) ÷ (-2) = (-1)
(+4) ÷ {(+2) ÷ (-2)} = (+4) ÷ (-1) = (-4)
두 식에서 {}의 위치를 바꿨더니 식의 결과가 달라졌어요. 결합법칙이 성립하지 않음을 알 수 있죠.

정수의 사칙연산

정수의 사칙연산을 총정리해보죠. 정수의 사칙연산에서는 무엇보다도 부호가 가장 중요해요.

정수의 덧셈, 정수의 뺄셈, 정수의 곱셈

정수의 사칙연산 혼합계산

여러 연산이 혼합되어 있을 때는 계산을 먼저 하는 게 있어요. 연산의 우선순위라고 하는데, 다음의 순서대로 합니다.

1. 괄호. ( ) → { } → [ ]
2. 거듭제곱
3. ×, ÷
4. +, -
5. 앞에서부터 순서대로

다음을 계산하여라.
(1) (+2) + (-2) × (-3)²
(2) (+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
(3) (+4) ÷ {(-3) + (+2)}³

(1)에는 +, ×, 거듭제곱의 연산이 있어요. 순서는 거듭제곱, ×, + 순이죠.
(+2) + (-2) × (-3)²
= (+2) + (-2) × (+9)
= (+2) + (-18)
= (-16)

(2)에는 -, ×, ÷ 가 있어요. ×와 ÷가 먼저인데, ×가 { } 로 안에 있으니까 가장 먼저고, ÷가 그다음, -가 가장 마지막이에요.
(+7) - {(-4) × (-1)} ÷ (+2)
= (+7) - (+4) ÷ (+2)
= (+7) - (+2)
= (+7) + (-2)
= (+5)

(3)에는 ÷와 거듭제곱이 있고 괄호 안에 +가 있어요. 가장 먼저 괄호 안을 계산하고 거듭제곱, 곱셈의 순서로 계산해요.
(+4) ÷ {(-3) + (+2)}³
= (+4) ÷ (-1)³
= (+4) ÷ (-1)
= -4

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정수의 사칙연산 세 번째, 정수의 곱셈이에요.

정수의 곱셈과 정수의 덧셈 둘 다 부호가 같은 두 정수와 부호가 다른 두 정수를 계산할 때의 방법이 달라서 둘을 헷갈릴 수 있어요.

정수의 덧셈과 곱셈은 두 가지 경우로 나누는 것 같지만 각 경우에서 결과의 부호 붙이는 방법이 다르니까 잘 보세요. 부호가 같은 두 정수를 더하면 공통부호에 절댓값의 합을, 부호가 다른 두 정수를 더하면 절댓값이 큰 정수의 부호에 절댓값의 차를 넣었다는 걸 기억하고 있죠?

정수의 곱셈에서도 정수의 덧셈에서 성립했던 교환법칙과 결합법칙이 성립하는지도 알아볼 거예요.

정수의 곱셈

정수의 덧셈, 덧셈에 대한 교환법칙, 결합법칙에서 계산하려는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 했죠? 정수의 곱셈에서도 부호가 같을 때와 다를 때 두 가지 경우로 나눠서 설명할게요.

부호가 같은 두 정수의 곱셈

부호가 같은 두 정수를 곱하면 곱한 결과는 (+)에요. 양의 정수죠.

7 × 4 = 28의 양변을 양의 정수로 써보면
(+7) × (+4) = (+28)이 돼요. 양의 정수 두 개를 곱하면 결과도 양의 정수가 나오는 거죠. 부호는 (+), 숫자는 절댓값의 곱이에요.

(-7) × (-4)는 얼마일까요? 두 양의 정수를 곱할 때와 마찬가지로 두 음의 정수를 곱하면 양의 정수가 돼요. 절댓값의 곱이죠. 그래서 (-7) × (-4) = (+28)이에요.

부호가 다른 두 정수의 곱

부호가 다른 두 정수를 곱하면 무조건 결과는 음의 정수예요. 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호를 붙여요.

(-7) × (+4)는 두 정수의 부호가 다르니까 (-)고, 절댓값의 곱이 28이라서, (-7) × (+4) = (-28)이에요.

(+7) × (-4)도 두 정수의 절댓값의 곱 28에 두 정수의 부호가 다르니까 (-)를 붙여서 (+7) × (-4) = (-28)이 돼요.

정수의 곱은 두 정수의 부호가 같으냐 다르냐에 따라 결과의 부호가 달라지긴 하지만 어찌 됐던지 간에 절댓값은 곱해요.

부호가 같은 두 정수를 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (+) 부호
(+) × (+) = (+), (-) × (-) = (+)
 
부호가 다른 두 정수의 곱: 두 정수의 절댓값의 곱에 (-) 부호
(+) × (-) = (-), (-) × (+) = (-)

다음을 계산하여라.
(1) (+4) × (-2)       (2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

곱하는 두 정수의 부호가 같으면 결과는 (+), 두 정수의 부호가 다르면 (-)에요. 숫자는 무조건 절댓값의 곱이고요.

(1)은 두 정수의 부호가 다르니까 (-)겠네요. (+4) × (-2) = (-8)

(2)는 식이 조금 긴데요, 앞에서부터 차례대로 두 개씩 곱해보죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4) = (+6) × (-2) × (+4) = (-12) × (+4) = (-48)

거듭제곱, 여러 정수의 곱

거듭제곱

거듭제곱은 같은 수나 문자가 여러 번 곱해져 있는 걸 말해요. (+1)의 거듭제곱을 볼까요?

(+1)¹ = (+1)
(+1)² = (+1) × (+1) = (+1)
(+1)³ = (+1)² × (+1) = (+1)
(+1)⁴ = (+1)³ × (+1) = (+1)
(+1)⁵ = (+1)⁴ × (+1) = (+1)

(+1)의 거듭제곱에는 모두 양의 정수만 있어요. 음의 정수가 하나도 없지요. 그랬더니 결과가 (+)가 됐네요. 다음에는 (-1)의 거듭제곱을 보죠.

(-1)¹ = (-1)
(-1)² = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)³ = (-1)² × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)
(-1)⁴ = (-1)³ × (-1) = (-1) × (-1) = (+1)
(-1)⁵ = (-1)⁴ × (-1) = (+1) × (-1) = (-1)

어떤 특징이 있죠? 지수가 1, 3, 5면 결과가 (-1)이 나오고, 지수가 2, 4면 결과가 (+1)이 나와요. 이걸 좀 확장해서 지수가 홀수면 (-), 지수가 짝수면 (+)가 나온다고 말할 수 있죠.

여러 정수의 곱

(-1) × (-2) × (-3)을 구해보죠.
= (+2) × (-3)
= (-6)

(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 는
= (+2) × (-3) × (-4)
= (-6) × (-4)
= (+24)

두 계산에서 어떤 특징이 있냐면 음의 정수를 홀수개 곱하면 결과가 (-)가 되고, 짝수개 곱하면 결과가 (+)가 된다는 거예요.

(+1)의 거듭제곱은 양의 정수가 나왔죠? 음의 정수 없이 양의 정수만 곱하면 결과가 (+)가 돼요.

음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 홀수면 홀수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (-), 음의 정수의 거듭제곱에서 지수가 짝수면 짝수개의 음의 정수를 곱하므로 결과는 (+)가 돼요. 위 세 가지를 하나로 합쳐보죠.

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 홀수 → 결과는 (-)
음수의 지수 또는 곱하는 음수의 개수가 0 또는 짝수 → 결과는 (+)

다음을 계산하여라.
(1) (-2)³ × (-3)²
(2) (+3) × (+2) × (-2) × (+4)

거듭제곱, 여러 정수의 곱에서 음의 정수의 개수가 홀수개면 결과는 (-), 0개 또는 짝수개면 (+)에요.

(1)에서 음수 (-2)의 지수가 홀수인 3이므로 결과는 (-)겠네요. 그리고 음수 (-3)의 지수는 짝수인 2니까 결과는 (+)고요.
(-2)³ × (-3)²
= (-8) × (+9) = (-72)

(2)에는 음의 정수가 1개에요. 홀수개니까 결과는 (-)에요. 그리고 나머지 숫자들의 절댓값을 다 곱해주면 되죠.
(+3) × (+2) × (-2) × (+4)
= -(3 × 2 × 2 × 4) = (-48)

곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립하지만, 정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다고 했어요. 그럼 정수의 곱셈에서는 두 법칙이 성립할까요?

교환법칙은 연산기호 좌우에 있는 정수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같다는 걸 보이면 돼요. 또 결합법칙은 괄호의 위치를 바꿔가며 계산한 결과가 같다는 것을 보이면 되고요.

(-7) × (-4) = (+28)이에요.
(-4) × (-7) = (+28)로 × 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 결과가 같죠? 따라서 곱셈에서도 교환법칙이 성립해요.

{(-7) × (-4)} × (+2) = (+28) × (+2) = (+56)이고,
(-7) × {(-4) × (+2)} = (-7) × (-8) = (+56)으로 괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 두 식의 값이 같죠. 결합법칙도 성립해요.

정수의 곱셈에 대한 교환법칙과 결합법칙이 성립
a × b = b × a
(a × b) × c = a × (b × c)

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정수의 덧셈과 정수의 뺄셈을 공부했는데요. 따로 배웠죠? 이제는 이 둘이 한꺼번에 있을 때 계산하는 방법을 공부할 거예요.

둘이 같이 있다는 건 계산할 게 많아진다는 것이기도 하지요. 따라서 연산기호와 부호를 주의해서 보세요.

정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산은 처음에는 어려워서 많이 틀리지만, 나중에 계산에 익숙해지면 부호를 잘못 봐서 틀리는 경우가 많아요. 연산기호와 부호를 세심하게 잘 볼 수 있도록 많이 연습하세요.

정수의 덧셈과 뺄셈 혼합계산

괄호가 있을 때

여러 정수의 덧셈과 뺄셈이 섞여 있을 때의 계산법이에요.

여러 연산이 섞여 있을 때는 모든 계산을 한 가지 연산으로 바꿔서 하면 좋아요. 정수의 뺄셈은 정수의 덧셈으로 바꿔서 계산하잖아요. 그러니까 모두 덧셈으로 만드는 게 더 쉽겠죠?

1. 정수의 덧셈과 뺄셈이 혼합된 계산에서는 가장 먼저 뺄셈을 덧셈으로 바꿔요.
2. 교환법칙을 이용해서 정수의 부호가 같은 것끼리 모아요. 부호가 같은 걸 더하는 게 다른 걸 더하는 것보다는 쉽잖아요.
3. 부호가 같은 것끼리 다 더하면 양의 정수 하나와 음의 정수 하나가 남아요.
4. 마지막으로 이 둘을 더해요.

사실 ②번 과정을 꼭 필요한 건 아니에요. 하지만 이렇게 하면 계산이 더 쉬워지니까 하는 거예요.

다음을 계산하여라.
(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)

순서대로 잘 해보세요.

첫 번째는 모든 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 그 다음 양의 정수끼리, 음의 정수끼리 모아서 따로 계산하고, 마지막으로 양의 정수와 음의 정수를 더하는 거죠.

(1) (+7) - (-6) - (+3) + (-2)
= (+7) + (+6) + (-3) + (-2)
= (+13) + (-5)
= (+8)

(2) (-3) + (+1) - (+2) - (-4)
= (-3) + (+1) + (-2) + (+4)
= (-3) + (-2) + (+1) + (+4)
= (-5) + (+5)
= 0

괄호가 없을 때

괄호가 없는 정수의 덧셈과 뺄셈의 혼합계산이에요. 괄호가 없다는 건 정수의 부호가 나오지 않는다는 거예요. 정수에 부호가 없다는 건 양의 정수(자연수)라는 얘기죠. 양의 정수는 부호를 생략할 수 있으니까요.

부호가 없을 때에는 부호를 붙여서 양의 정수로 써주는 게 첫 번째예요. 부호를 써주면 자연스럽게 괄호를 쳐주게 되거든요. 괄호가 있는 계산은 위에서 했던 정수의 덧셈, 뺄셈 혼합계산 방법 그대로 하면 돼요.

3 - 7 + 5 - 2를 계산해볼까요? 얼핏 보면 자연수의 뺄셈이니까 계산할 수 있을 것 같은데, 3 - 7은 계산이 안 되죠. 여기에 나와 있는 숫자 3, 7, 5, 2는 전부 자연수예요. (+) 부호를 붙여서 양의 정수로 만들어주면 (+3) - (+7) + (+5) - (+2)라는 식으로 바꿀 수 있어요.

괄호가 있는 정수의 덧셈과 뺄셈으로 바꾼 다음에는 할 수 있겠죠?

다음을 계산하여라.
(1) 1 - 4 + 5 - 2
(2) 7 - 2 + 5 - 6

괄호가 없는 식에서는 각 자연수에 (+) 부호를 붙여 양의 정수로 만들어 줘야 해요. 그다음은 혼합계산의 과정을 그대로 따르고요.

(1) 1 - 4 + 5 - 2
= (+1) - (+4) + (+5) - (+2)
= (+1) + (-4) + (+5) + (-2)
= (+1) + (+5) + (-4) + (-2)
= (+6) + (-6)
= 0

(2) 7 - 2 + 5 - 6
= (+7) - (+2) + (+5) - (+6)
= (+7) + (-2) + (+5) + (-6)
= (+7) + (+5) + (-2) + (-6)
= (+12) + (-8)
= (+4)

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정수의 덧셈에 이어 정수의 뺄셈입니다.

정수의 뺄셈은 정수의 덧셈을 응용할 거예요. 따라서 정수의 덧셈을 할 줄 알아야 해요.

부호가 같은 정수를 더할 때는 부호는 그대로 두고 두 수의 절댓값만 더했어요. 부호가 다른 정수를 더할 때는 절댓값이 더 큰 정수를 부호에 절댓값의 차를 쓰면 됐었죠.

정수의 뺄셈을 할 때, 정수의 덧셈을 이용하지 않고 바로 암산을 할 만큼 익숙해질 수 있도록 연습해보세요.

정수의 뺄셈

정수의 뺄셈에서 가장 중요한 건 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 거예요. 정수의 덧셈은 할 수 있잖아요.

7 - 3 = 4에요. 자연수니까 정수로 바꿔보면 (+7) - (+3) = (+4) 가 돼요. 정수의 뺄셈식이 됐네요. 정수의 뺄셈도 정수의 덧셈처럼 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 빼면 될 것 같지요? 그건 아니에요. 아래 내용을 잘 보세요.

(+7) + (-3) 은 얼마인가요? 정수의 덧셈에 따라서 계산하면 절댓값이 (+7)이 크니까 부호는 +, 절댓값의 차는 4니까 답은 (+4)예요.

(+7) - (+3) = (+4)
(+7) + (-3) = (+4)

두 식은 다르지만, 결과는 둘 다 (+4)예요.

어떤 차이가 있는지 보세요. (+7)은 그대로예요. 가운데 (-)가 (+)로 바뀌고, (+3)이 (-3)으로 바뀌었어요.

식의 모양을 이렇게 바꿔도 계산한 결과가 같아요. 그러니까 다음부터는 이렇게 식의 모양을 바꿔서 계산하면 되는 거예요.

정수의 뺄셈: 뺄셈을 덧셈으로 바꿔서 계산
(-)를 (+)로 바꾸고
(-) 바로 뒤의 정수의 부호를 반대로
나머지는 모두 그대로
정수의 덧셈을 계산

연습 하나 더 해 보죠.

(-7) - (-4)에서 가운데 (-)를 (+)로 바꿔요. 그리고 (-) 바로 뒤의 (-4)의 부호를 바꾸면 (+4)가 되지요. 그래서 식은 (-7) + (+4)가 돼요.

다음을 계산하여라.
(1) (+2) - (+3)
(2) (-4) - (-3)

정수의 뺄셈은 (-)를 (+)로 바꾸고, (-) 부호 바로 뒤의 부호도 반대로 바꿔서 정수의 덧셈으로 만들어 계산해요.

(1) (+2) - (+3) = (+2) + (-3) = -1
(2) (-4) - (-3) = (-4) + (+3) = -1

정수의 뺄셈에도 교환법칙이 성립할까?

정수의 덧셈에서는 교환법칙, 결합법칙이 성립했어요. 뺄셈에서도 성립할까요?

법칙은 모든 경우에 다 성립해야 해요. 단 1개라도 성립하지 않는다면 그건 법칙이라고 할 수 없어요.

교환법칙은 연산부호 양쪽의 수의 자리를 바꿔서 계산해도 결과가 같잖아요. 실제 자리를 바꿔서 계산해서 결과가 같은지 볼까요?

(+7) - (+2) = (+7) + (-2) = (+5)에요. 두 정수의 자리를 바꿔보죠.
(+2) - (+7) = (+2) + (-7) = (-5)네요.

자리를 바꿔서 계산했더니 결과가 달라졌어요. 따라서 정수의 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아요.

{(+7) - (+2)} - (+1) = {(+7) + (-2)} - (+1) = (+5) - (+1) = (+5) + (-1) = (+4)

(+7) - {(+2) - (+1)} = (+7) - {(+2) + (-1)} = (+7) - (+1) = (+7) + (-1) = (+6)

두 식의 결과가 다르죠? 역시 결합법칙도 성립하지 않아요.

정수의 덧셈에서는 교환법칙과 결합법칙이 성립하지만
정수의 뺄셈에서는 성립하지 않는다.

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숫자를 처음 배우고 난 다음에 하는 거 뭔가요? 덧셈, 뺄셈이죠? 자연수, 분수, 소수를 처음 배웠을 때 그렇게 했잖아요.

이제 정수를 공부했으니까 정수의 덧셈, 정수의 뺄셈을 배워봐야겠죠? 첫 번째로 정수의 덧셈입니다.

정수의 덧셈의 기본 원리는 수직선을 이용하면 이해하기 쉬워요. 그렇다고 계산할 때마다 수직선을 긋는 건 어렵겠죠. 그래서 실제 계산에서는 절댓값을 이용해요. 정수의 덧셈에서 절댓값을 어떻게 이용하는지 공부해보죠.

또, 정수의 덧셈에는 특이한 법칙이 두 개 있어요. 교환법칙과 결합법칙이라고 하는데, 이게 뭔지도 알아보고요.

정수의 덧셈

먼저 정수는 부호와 함께 쓰니까 +, - 등의 연산기호와 헷갈릴 수 있어요. 그래서 정수는 (+3), (-2), (+10)처럼 괄호를 써요.

정수의 덧셈을 더하는 두 정수의 부호가 같을 때와 다를 때로 나눠서 살펴봐요.

정수의 부호가 같을 때

양의 정수끼리 더하고, 음의 정수끼리 더하는 경우예요.

2 + 3 = 5 에요. 자연수의 덧셈인데, 자연수는 양의 정수니까 이 식은 (+2) + (+3) = (+5)라고 쓸 수 있겠죠? 부호가 같은 양의 정수의 덧셈은 자연수의 덧셈과 같아요. 그냥 절댓값만 더해주면 돼요. 그리고 양의 정수니까 (+) 기호를 붙여주는 거죠.

수직선에서 오른쪽으로 이동하면 (+)고, 왼쪽으로 이동하면 (-)에요. 오른쪽으로 다섯 칸 이동하면 (+5), 왼쪽으로 다섯 칸 이동하면 (-5)죠.

(+2) + (+3)을 수직선에서 표현하면 아래 그림처럼 돼요. 마지막 화살표가 (+5) 위에 있죠? 위에서 계산한 결과와 같네요.

음의 정수끼리 더하는 것도 양의 정수끼리 더하는 것과 같아요. 두 수를 더하고 부호만 붙여주는 거죠.

(-3) + (-2)에서 부호는 (-)고 절댓값은 2와 3이에요. 두 수의 절댓값을 더하고 앞에 부호만 붙여주는 거니까 (-3) + (-2) = (-5)가 돼요.

수직선을 한 번 보세요. 0에서 왼쪽으로 세 칸 가고, 다시 왼쪽으로 두 칸 간 건 (-3) + (-2) 한 것과 같아요. (-5) 위에 있죠? 식으로 구한 것과 같아요.

정수의 부호가 다를 때

이제는 양의 정수와 음의 정수를 더할 때에요.

(+3) + (-2)를 보죠. 아래 수직선을 보세요.

(+3)은 오른쪽을 세 칸, (-2)는 왼쪽으로 두 칸이에요. 그랬더니 (+1)이 나왔어요.

(+2) + (-3)는 오른쪽으로 두 칸, 왼쪽으로 세 칸이죠? (-1)이 나왔네요.

부호가 다른 두 정수의 덧셈에서 부호는 절댓값이 더 큰 정수의 부호를 따르고 숫자는 두 정수의 절댓값의 차를 써요. (+3) + (-2)에서는 (+3)의 절댓값이 크니까 부호는 (+), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (+1)이라는 결과가 나오는 거예요.

(+2) + (-3)에서는 (-3)의 절댓값이 크니까 부호는 (-), 절댓값의 차는 1이죠. 그래서 (-1)이에요.

부호가 같은 정수의 덧셈: 절댓값을 더해주고 부호는 그대로
부호가 다른 정수의 덧셈: 절댓값의 차에 절댓값이 큰 정수의 부호

다음을 계산하여라.
(1) (+4) + (+2)       (2) (-2) + (-3)
(3) (-3) + (+6)       (4) (+4) + (-8)

(1)번 (+4) + (+2)는 부호가 같은 두 정수의 덧셈이니까 부호는 그대로 쓰고, 절댓값만 더해주면 돼요. (+4) + (+2) = (+6)

(2)번 (-2) + (-3)도 부호가 같으므로 공통 부호인 (-)를 그대로 쓰고, 절댓값의 합은 5이므로 (-2) + (-3) = (-5)

(3)번 (-3) + (+6)는 부호가 다른 정수의 덧셈이네요. 부호가 다를 때는 부호는 절댓값이 큰 쪽의 부호를 따르고, 절댓값의 차를 쓰죠. 절댓값이 (+6)이 더 크니까 부호는 (+)에요. 절댓값의 차가 3이니까 결과는 (-3) + (+6) = (+3)이 되죠.

(4)번 (+4) + (-8)에서 절댓값이 (-8)이 더 크니까 부호는 (-)에요. 절댓값의 차는 4니까 (-4) + (-8) = (-4)가 되는군요.

덧셈의 연산법칙

먼저 교환법칙이에요. 교환이라는 말은 바꾸는 거잖아요. 교환법칙에서는 정수의 자리를 바꿔요. (+4) + (+2)에서 두 정수의 자리를 바꿔서 (+2) + (+4)처럼 쓰는 거죠. 4 + 2와 2 + 4는 둘 다 6으로 서로 같죠? 그러니까 (+4) + (+2) = (+2) + (+4)도 되는 거예요. 덧셈에서는 더하는 두 수의 자리를 바꿔도 계산한 결과가 같다는 게 교환법칙이에요.

결합법칙에서 결합은 괄호로 묶는 거예요. 괄호로 묶인 곳을 먼저 계산하는 건 알고 있죠?

2 + 3 + 4를 보세요. 앞의 두 수를 먼저 계산하나, 뒤의 두 수를 먼저 계산하다 값이 같아요.
(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9
2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9

정수로 바꿔볼게요.
{(+2) + (+3)} + (+4) = (+2) + {(+3) + (+4)}로 쓸 수 있어요.

괄호를 어디에 치느냐에 상관없이 결과가 같다는 거지요. 괄호를 치는 이유는 계산을 먼저 하라는 뜻이니까 어떤 걸 먼저 계산하든지 결과가 같다는 얘기예요.

뺄셈에서는 두 법칙이 성립하지 않아요. 이유는 정수의 뺄셈을 공부한 후에 알아보죠.

덧셈에 대한 연산법칙
덧셈일 때만 가능. 뺄셈에서는 안 됨.
계산 순서에 상관없이 결과가 같다.
1. 덧셈에 대한 교환법칙: (+) 기호 양쪽의 수의 자리를 바꿔도 계산 결과가 같음. a + b = b + a
2. 덧셈에 대한 결합법칙: 어느 것이나 두 개씩 묶어서 계산해도 결과가 같음. (a + b) + c = a + (b + c)

다음 보기 중 잘못된 것을 고르시오.
(1) (+3) + (-1) = (-1) + (+3)
(2) {(+3) + (-1)} + (+2) = (+3) + {(-1) + (+2)}
(3) (+2) + (-1) - (-3) = (+2) + (-3) - (-1)
(4) {(+3) + (-2)} + {(-2) - (-3)} = {(-2) - (-3)} + {(+3) + (-2)}

교환법칙과 결합법칙이 제대로 적용되었는지 찾아보는 문제에요.

(1)은 (+) 기호 양쪽에 있는 두 정수의 자리를 바꿨으므로 교환법칙에 의해 결과가 같고요.
(2)는 앞의 두 정수를 괄호를 묶었고, 뒤 두 개의 정수를 괄호로 다시 묶은 결합법칙이라서 결과가 같고요.
(3)은 뒤에 있는 두 정수의 자리를 바꿨는데, 가운데 기호가 (-)에요. 뺄셈에서는 교환법칙이 성립하지 않아서 틀렸어요.
(4)는 중괄호로 묶여 있는 두 정수를 한 덩어리로 봐야죠. 그래서 (+) 부호 양쪽에 있는 중괄호로 묶인 두 정수들의 자리를 바꿨으니까 교환법칙에 의해 결과가 같아요.
(3)번이 틀렸네요.

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부등호는 두 수 또는 식의 대소관계, 크기 비교를 할 때 사용하는 수학기호예요. <, >는 다 알고 있죠? 이 두 가지 말고 새로운 기호를 기호와 이 기호가 뜻하는 걸 배울 거예요.

초과, 미만이라는 단어의 뜻 알고 있나요? 초과는 어떤 기준보다 큰 거예요. 대신에 기준이 되는 숫자는 포함하지 않는 거죠. 미만은 반대로 기준보다 작은 거예요. 이때도 기준은 포함되지 않아요. 초과를 >, 미만은 <로 쓰죠.

이 글에서 새로 배울 부등호는 이상, 이하에 해당하는 부등호에요.

초과와 이상, 미만과 이하의 차이를 잘 구별할 수 있도록 하세요.

부등호의 사용

이상은 기준보다 큰 걸 말해요. 그런데 초과와 달리 기준과 같아도 상관없어요. 같아도 되고, 커도 되는 경우죠. 같은 건 기호로 "="라고 쓰고, 큰 건 ">"로 쓰잖아요. 이상은 둘 다를 포함해요. 그래서 기호도 두 가지를 합쳐서 써요. 인데, 밑에 줄을 두 개 긋지 않고 하나만 긋게 약속을 했어요. 그래서 ≥기호를 써요.

"=" + ">" → → ≥

이하는 기준이 되는 수와 같거나 그 보다 작은 경우죠. 같다는 기호 "="와 작다는 기호 "<"를 합쳐서 인데, 밑에 줄을 하나만 긋기로 약속했지요. 그래서 ≤라는 기호를 써요.

"=" + "< → → ≤

이상은 뭐라고 했죠? 크거나 같은 거예요. 그럼 작지는 않죠? 그래서 "크거나 같다"를 다른 말로 "작지 않다."라고 해요. 이하는 어떤가요? 같거나 작은 거예요. 그럼 크지 않죠. 그래서 "작거나 같다."는 "크지 않다."라는 말과 같은 뜻이에요.

"크지 않다"와 "작지 않다"에 주의하세요. 실제로 문제에서는 이상, 이하, 미만, 초과라는 단어는 잘 쓰지 않아요. 크다. 작다, 크거나 같다, 작지 않다 라는 말을 많이 쓰죠.

다음 문장을 부등호를 사용하여 나타내어라.
(1) 0은 음의 정수보다 크고, 양의 정수보다 작다
(2) x는 2보다 크고, 4보다 크지 않다.

(1)은 정수의 대소관계에서 했던 거네요. 0은 음의 정수보다 크다고 했으니까 0 > 음의 정수라고 써야겠네요. 그리고 0은 양의 정수보다 작다고 했으니까 0 < 양의 정수라고 써야겠고요. 이 둘을 하나로 합치면 음의 정수 < 0 < 양의 정수가 되겠네요.

(2) x는 2보다 크다고 했으니까 x > 2에요. 그런데 x는 4보다 크지 않다고 했어요. 크지 않은 건 작거나 같은 거예요. 따라서 x ≤ 4죠. 이 둘을 하나로 합하면 2 < x ≤ 4가 되네요.

정수라는 새로운 수를 배웠어요.

이 글에서는 이 정수의 크기비교를 할 거예요. 서로 다른 두 정수가 있을 때, 누가 더 크고 작은지 말이죠.

정수의 대소관계에서는 절댓값과 수직선을 이용해요. 그러니까 절댓값이 뭔지 수직선이 어떻게 생겼는지 알고 있어야겠죠?

정수의 크기 비교 중 음의 정수 크기 비교가 조금 더 어려우니까 여기에 주의해서 보세요.

정수의 대소관계

세 자연수 1, 2, 3중에 어느 게 제일 큰가요? 당연히 3이 제일 크고, 그다음이 2고, 1이 제일 작죠? 자연수는 양의 정수니까 1, 2, 3을 수직선에 표시해보면 0을 기준으로 해서 바로 옆에 1, 그 옆에 2, 3이 있어요.

수직선에서 오른쪽에 있을수록 더 크죠? 정수의 대소관계를 비교할 때 핵심이에요. 수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 크다.

수직선에는 왼쪽부터 음의 정수, 0, 양의 정수(자연수)의 순서대로 되어있어요. 따라서 양의 정수가 제일 크고, 그다음 0이고, 음의 정수는 가장 작아요.

-10과 +10중에서 +10은 양의 정수, -10은 음의 정수니까 +10이 -10보다 더 큰 거예요.

양의 정수와 음의 정수에서는 숫자는 상관없어요. 무조건 양의 정수가 음의 정수보다 커요.

그러면 양의 정수끼리의 크기는 어떨까요? 자연수의 크기비교는 숫자가 큰 게 더 커요. 다 알고 있는 거죠.

음의 정수의 크기 비교

중요한 건 음의 정수끼리 크기비교에요. 이게 상당히 어렵습니다. 잘 보세요.

-2와 -1은 어떤 게 클까요? 잘 모르겠으면 수직선을 생각해보세요. -2와 -1중 어떤 게 더 오른쪽에 있죠? -1이 더 오른쪽에 있어요. 따라서 -1이 -2보다 더 커요. -2와 -3도 생각해보죠. 수직선에서 -2가 -3보다 더 오른쪽에 있으니까 -2가 더 커요.

양의 정수에서는 (+)부호를 빼고 남은 숫자가 크면 더 큰 수였는데, 음의 정수에서는 (-)부호를 빼고 남은 숫자가 작은 수가 더 커요. 부호를 빼고 남은 숫자가 바로 절댓값이잖아요. 그래서 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 크다고 해요.

-1, -2, -3중에서 절댓값이 가장 작은 -1이 제일 크고, 그다음 -2죠. -3이 절댓값이 3으로 제일 큰데 숫자는 제일 작아요.

한 번 더 해보죠. -10과 -100중 어느 게 더 클까요? 둘 다 음의 정수죠. 음의 정수에서는 절댓값이 작은 수가 더 커요. 따라서 절댓값이 더 작은 -10이 -100보다 더 큽니다.

정수의 대소비교
음의 정수, 0, 양의 정수 순
양의 정수는 절댓값이 클수록 크다.
음의 정수는 절댓값이 작을수록 크다.

다음 정수들을 크기가 작은 것부터 순서대로 나열하여라.
-5, +6, 3, 0, -4, -2, +2

일단 양의 정수가 제일 크고, 0, 음의 정수 순서에요. 양의 정수는 +6, 3, +2가 있고, 음의 정수는 -5, -4, -2가 있네요.

양의 정수는 절댓값이 크면 크니까 +6, 3, +2의 순서가 되겠네요. 0은 그다음이고요. 음의 정수에서는 절댓값이 작을수록 크니까 -2가 제일 크고, -4, -5의 순서가 되겠군요.

문제에서는 작은 것부터 순서대로 나열하라고 했으니까 -5, -4, -2, 0, +2, 3, +6으로 써야겠네요.

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수직선에 대해서 공부할 거예요. 수직선은 수를 배울 때 아주 유용한 방법이에요. 수를 설명할 때는 빠지지 않는 방법이죠

절댓값이라는 것도 공부할 건데요. 이 절댓값은 단어만 봐서는 무슨 뜻인지 언뜻 생각나지 않아요. 절대 반지? 뭐 이런 건가 싶기도 하지요. 의미는 이해하기가 조금 어려울지, 모르지만 그 값을 구하는 건 아주 쉬워요.

절댓값의 성질은 크게 중요한 건 아니라서 공식처럼 달달 외우고 할 필요는 없지만, 모르면 또 안 돼는 거에요. 그냥 이런 거구나 하면서 이해하고 넘어가면 될 거예요.

수직선

직선이 뭔 줄 알죠? 그냥 반듯한 선이에요. 더 자세한 건 2학기에 공부할 거니까 이 정도만 알고 있으면 돼요. (기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분) 직선에 점을 찍어서 숫자와 대응시킨 선을 수직선이라고 해요.

수직선에 숫자를 막 대응시키는 건 아니에요. 직선의 가운데 한 점을 찍는데, 그 점을 0으로 놓고 원점이라고 불러요. 원점의 오른쪽에는 양의 정수를, 왼쪽에는 음의 정수를 적는 거예요. 양수와 음수는 서로 반대의 의미를 지니는 수에요. 0의 오른쪽에 양수를 적었으니까 왼쪽에는 반대의 의미를 지닌 음수를 적는 거죠.

원점 바로 오른쪽에는 +1, 그 옆으로 +2, +3, +4, +5, … 가 적혀있죠? 원점 왼쪽으로는 -1, -2, -3, -4, -5, … 순서로 되어 있고요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커져요.

절댓값과 절댓값의 성질

절댓값

수직선에 원점을 기준으로 해서 얼마나 떨어져 있는지를 절댓값이라고 해요. 원점으로부터의 거리를 말하죠. 수학에는 기호가 중요하죠. 절댓값을 나타내는 기호는 | |에요. 세로 작대기 두 개를 긋고 그 사이에 숫자를 쓰는 거예요. |+4|, |-4|처럼요. 읽을 때는 절댓값 +4, 절댓값 -4 이렇게 읽으면 돼요.

정리해보면, 원점에서 +4까지의 거리 = +4의 절댓값 = |+4| 가 되는 거죠.

원점에서 a까지의 거리 = a의 절댓값 = |a|
절댓값 구하는 법: 부호 떼고 숫자만

+4는 원에서 오른쪽으로 4칸 떨어져 있죠? 4칸이니까 |+4| = 4에요.

-4는 원점에서 왼쪽으로 4칸 떨어져 있어요. 그런데 거리라는 건 음수가 없어요. -4칸 이런 건 없거든요. 원점에서 -4까지의 거리도 4칸이니까 |-4| = 4에요.

결국, 원점에서 +4까지의 거리와 원점에서 -4까지의 거리가 같다는 거잖아요. |+4| = |-4| = 4

하나는 양의 정수, 하나는 음의 정수인데 절댓값이 같아요. 수의 부호가 달라도 숫자가 같으면 절댓값이 같은 거죠.

절댓값을 구하는 건 아주 간단해요. | | 사이에 뭐가 들어있든지 부호를 떼고 숫자만 쓰면 돼요.
|+50|은 부호 (+)를 떼고 숫자 50만 쓰는 거지요. |+50| = 50.
|-100|도 부호 (-)를 떼고 숫자 100만 쓰면 돼요. |-100| = 100.

절댓값의 성질

• 절댓값은 원점(0)을 기준으로 해요. 0의 절댓값은 0에서 0까지의 거리니까 0이에요. |0| = 0, 그리고 이 0은 절댓값이 가장 작은 수에요.
• 절댓값은 거리의 개념이니까 항상 양수예요. 그리고 0의 절댓값이 0이니까 0도 나올 수 있지요. 절댓값은 음수로는 나오지 않아요.
• 원점에서 멀리 떨어질수록 절댓값이 커요 +3의 절댓값은 3이죠. +4의 절댓값은 4에요. +4가 더 크죠. -3의 절댓값은 3, -4의 절댓값은 4에요. -4가 더 크잖아요.
  수직선에서는 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지죠? 절댓값은 부호 떼고 숫자만 생각하는 거라고 했잖아요. 원점에서 멀어질수록 숫자가 커지니까 절댓값도 커지는 거예요.
• 절댓값이 같은 수가 두 개 있어요. +4와 -4의 절댓값이 모두 4였죠. 이걸 거꾸로 생각하면 절댓값이 4인 수는 +4와 -4 두 개잖아요. 다른 수들도 마찬가지예요. 수직선에서 원점에서 같은 거리에 있는 수는 오른쪽으로 하나, 왼쪽으로 하나씩 있잖아요.

다음 보기의 수를 절댓값이 가장 작은 것부터 큰 순서로 나열하여라.
-2, +3, -5, 0, 4, +8

절댓값을 구하라고 했으니까 절댓값 기호로 표시해볼까요? |-2|, |+3|, |-5|, |0|, |4|, |+8|

부호를 빼고 숫자만 써보죠.
|-2| = 2
|+3| = 3
|-5| = 5
|0| = 0
|4| = |+4| = 4  (|4|에서 4는 +4이므로)
|+8| = 8

절댓값을 구했으니까 순서대로 써보면, 0, -2, +3, 4, -5, 8

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이번 글은 아주 아주 중요해요.

이제까지 자연수, 분수, 소수를 공부했는데, 정수라는 새로운 종류의 수를 공부할 거예요. 초등학교 때 자연수를 모르면 덧셈, 뺄셈, 구구단 같은 게 아무런 소용이 없잖아요. 마찬가지로 이 새로운 수 체계에 대해서 이해하지 못하면 앞으로 수학을 할 수가 없어요.

정수는 우리가 알고 있는 자연수를 살짝 모양만 바꾼 거니까 그렇다고 너무 어렵게 생각할 필요가 없어요.

정수와 양의 정수, 음의 정수, 0에 대해서 공부해보죠.

부호가 있는 수, 양수와 음수

어떤 통에 물을 5L 더 부었어요. 물의 양을 계산할 때 부어준 물의 양만큼 더해주겠죠. + 5를 해줄 거예요. 반대로 통에서 물 3L를 뺄 때는 - 3을 해줄 거예요.

이때의 +, -는 계산식에 사용하는 연산기호인데, 이 연산 기호를 숫자와 결합해서 사용하는 경우가 있어요. +5L는 통에 물 5L 넣으란 뜻이고요, -3L는 통에서 3L를 빼라는 뜻이에요.

+, - 기호를 아무 때나 사용하는 건 아니고, 반대의 성질을 가진 수에 붙여서 사용해요.

기온을 말할 때 영상, 영하를 사용하죠. 영상은 +, 영하가 -인 거죠.
산의 높이와 바다의 깊이를 잴 때 해발과 해저를 사용하는데, 해발은 +, 해저는 –고요.
양이 늘어날 때는 +, 양이 감소할 때는 –예요.
수입이 생기면 +, 지출이 생기면 -예요.

이 외에도 여러 경우가 있겠죠.

+가 양의 부호라서 + 부호가 붙은 수를 양수, -가 음의 부호라서 - 부호가 붙은 수를 음수라고 해요.

정수, 양의 정수, 0, 음의 정수

부호가 있는 수를 알아봤는데요.

자연수에 부호가 있다면 어떻게 될까요? 1, 2, 3, … 에 양의 부호 +가 있다면 +1, +2, +3, … 이 될 거고요, 음의 부호인 -가 있다면 -1, -2, -3, … 이 될 거예요.

우리는 이런 수들을 정수라고 불러요. 그중에서도 양의 부호 +가 붙어 있는 수를 양의 정수, 음의 부호 -가 붙어있는 수를 음의 정수라고 부르죠.

정수가 이 양의 정수와 음의 정수 두 가지만 있는 건 아니에요. 바로 0이 있어요. 0은 +0이나 -0이나 차이가 없어요. 부호가 아무런 의미가 없으니까 0은 그냥 0이에요. 양의 정수도 아니고 음의 정수도 아닌 그냥 0이지요.

양의 정수는 + 부호를 생략할 수 있어요. 그러니까 +1, +2, +3, … 이 아니라 그냥 1, 2, 3, … 이라고 써도 된다는 거죠. 1, 2, 3, … 은 우리가 알고 있는 자연수와 같죠? 자연수가 바로 양의 정수예요.

음의 정수는 부호를 생략하면 안 돼요. 음의 정수도 부호를 생략해버리면 양의 정수와 구별할 수 없으니까요.

0은 원래부터 부호가 없는 수니까 상관없고요. 0에 부호가 없다고 해서 양수라고 생각해서는 안 돼요.

다음 수를 양의 정수, 음의 정수로 구분하여라.
+7, -3, -5, 0, +1, 2, -11

양의 정수와 음의 정수는 숫자 앞에 부호를 보면 금방 구별할 수 있어요. + 부호가 있으면 양의 정수, - 부호가 있으면 음의 정수예요. 또 양의 정수는 + 부호를 생략할 수 있다는 것도 알아둬야 해요.

숫자 앞에 + 부호가 있는 것과 없는 걸 찾아보죠. 양의 정수: +7, +1, 2
숫자 앞에 - 부호가 있는 음의 정수: -3, -5, -11
0은 양의 정수도 아니고 음의 정수도 아닌 그냥 0이에요.

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십진법과 이진법을 배웠으니까 이제는 서로 어떤 관계가 있는 지 알아볼까요?

일단은 두 방법의 차이점을 비교해 볼꺼고요. 그 다음은 이진법을 십진법으로, 십진법을 이진법으로 바꾸는 방법을 알아볼꺼에요 두 방법을 서로 왔다갔다 하려면 두 방법에 대한 이해가 제대로 되어야 겠죠? 살짝 헷갈린다면 얼른 다음 글을 읽고 오세요.

십진법과 십진법의 전개식, 이진법과 이진법의 전개식

십진법과 이진법에서는 오늘 내용이 가장 중요하다고 할 수 있어요. 특히 십진법을 이진법으로 바꾸는 방법은 꼭 알고 있어야 합니다.

십진법과 이진법 비교

십진법과 이진법을 표로 정리해봤어요. 아래 표를 보면 다 이해할 수 있어야 해요.

위 표를 잘 이해했나요? 혹시 십진법, 이진법이 아니라 오진법, 팔진법 같은 문제가 나온다고 하더라도 어떤 특징이 있는지 금방 유추해낼 수 있겠죠? 물론 이런 문제가 나오지는 않을 거에요. ㅎㅎ

이진법을 십진법으로 바꾸는 방법

이진법을 십진법으로 바꿀 때는 이진법과 이진법의 전개식을 이용해요. 이진법으로 표기된 수를 전개식으로 쓴 다음에 그걸 계산하는 거죠.

101₍₂₎라는 숫자가 있다고 해보죠. 이걸 이진법의 전개식으로 풀어서 써볼께요.
101₍₂₎ = 1 × 2² + 1 = 4 + 1 = 5

이진법을 십진법으로 바꾸는 건 이진법의 전개식만 쓸 줄 알면 돼요. 어렵지 않죠?

이진법을 십진법으로
이진법의 전개식으로 전개한 다음 계산

다음 수를 십진법으로 나타내어라.
(1) 1111₍₂₎       (2) 10101₍₂₎

(1)을 이진법의 전개식으로 풀어서 써 보죠.
1111₍₂₎ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2 + 1 × 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15

(2) 10101₍₂₎ = 1 × 2⁴ + 1 × 2² + 1 × 1 = 16 + 4 + 1 = 21

십진법을 이진법으로 바꾸는 방법

십진법을 이진법으로 바꾸는 방법은 조금 달라요.

십진법의 수를 몫이 0이 될 때까지 2로 계속나누는 거에요. 2로만 계속 나누니까 나머지가 있겠죠? 그 나머지를 거꾸로 쓰는 겁니다.

십진법 5를 이진법으로 나타내는 방법이에요.

5를 2로 나누면 몫은 2고 나머지는 1이에요.
몫 2를 2로 나누면 몫이 1이 되고 나머지는 0이죠.
몫 1을 2로 나누면 몫은 0이 되고, 나머지는 1이죠.

계속해서 나눈 다음에 나머지를 역순으로 쓰세요. 101인데 여기에 이진법이라는 표시를 넣어줘야하죠. 101₍₂₎

이게 제대로 바뀐 건가 의심스러다면 101₍₂₎는 이진법이니까 십진법으로 바꿔서 5가 나오는 지 보세요.
101₍₂₎ = 1 × 2² + 1 = 4 + 1= 5

5 = 101₍₂₎가 되는 걸 알 수 있어요.

십진법을 이진법으로
몫이 0이 될 때까지 2로 계속 나눔 → 나머지를 역순으로

다음 수를 이진법으로 나타내어라.
(1) 25       (2) 16

(1)의 25를 몫이 0이 될 때까지 2로 계속 나눠봤더니 아래처럼 됐어요. 나머지를 거꾸로 쓰면 11001₍₂₎

(2)의 16을 같은 방법으로 나눴더니 아래처럼 됐고요. 나머지를 거꾸로 쓰면 10000₍₂₎가 되네요.

십진법에서 진법과 십진법에 대해서 공부했어요.

이 글에서는 다른 방법인 이진법에 대해서 공부할 거에요. 이진법의 큰 틀은 십진법과 같아요. 거기에 몇 가지 차이가 있을 뿐이죠. 둘의 차이만 잘 구별한다면 공부하는데 별 어려움은 없을 거에요.

이진법의 전개식은 십진법의 전개식과 딱 한 가지만 달라요. 이건 이진법의 특징을 알면 금방 이해할 수 있는 차이죠.

십진법과 이진법의 같은 점과 다른 점을 잘 구별해서 공부하세요.

이진법

십진법과 십진법의 전개식에서 십진법은 숫자 10개를 사용하는 방식이라고 했어요. 이진법은 제일 앞 글자 "이"가 의미하는 것처럼 숫자 2개를 가지고 표기하는 거에요. 사용하는 숫자가 2개라고 하면 1 ~ 2까지를 생각하기 쉬운데, 이진법에서 사용하는 숫자는 0, 1이에요.

십진법은 자리가 하나 올라가면 숫자도 10배 되는 표기법이고, 이진법은 자리가 하나 올라가면 2배가 되는 표기법이에요.

십진법, 이진법 이름만 잘 이해해도 표기방법의 차이를 알 수 있겠죠?

이진법의 특징

이름만 봐서는 모르는 것들도 몇 가지 있어요.

숫자만 딱 써놓으면 이게 십진법인지 이진법인지 모르잖아요. 그래서 이진법을 십진법과 구별되도록 표시를 합니다.

1100는 십진법이고요, 1100₍₂₎는 이진법이에요. 이진법은 숫자의 오른쪽 아래에 작게 (2)라고 써요. 1111은 십진법이지만 1111₍₂₎는 이진법이에요. 숫자가 써진 것만 봐도 알아볼 수 있겠죠? 여러분이 이진법 숫자를 쓸 때도 1111₍₂₎ 이렇게 써야지 그냥 1111만 쓰면 안돼요.

또 다른 차이점 하나는 숫자를 읽는 방법이에요.

1100은 십진법이니까 천 백이라고 읽어요. 1100₍₂₎는 이진법인데, 천, 백, 십 이런 단위가 없이 그냥 숫자만 일 일 영 영이라고 읽어요. 앞에다 "이진법"을 붙여서 "이진법 일 일 영 영"이라고 읽으면 더 좋고요. 물론 천의 자리, 백의 자리 이런 표현도 사용하지 않아요.

이진법: 0, 1의 두 숫자를 이용하여 숫자를 표기하는 방법
한 자리 올라갈 때마다 숫자가 2배
숫자의 오른쪽 아래에 (2)라고 써서 구별
단위 없이 숫자만 읽음

이진법의 전개식

십진법으로 표시된 1100라는 수가 있다고 해보죠. 십진법의 전개식으로 나타내보면 1100 = 1 × 10³ + 1 × 10² 으로 쓸 수 있어요.

한 자리가 올라갈 때마다 10배가 되기때문에 10의 거듭제곱을 이용해서 나타낸 거에요. 이진법은 한 자리 올라갈 때마다 2배씩 되니까 2의 거듭제곱으로 나타내는 거죠.

1100₍₂₎ = 1 × 2³ + 1 × 2²

위 처럼 이진법의 수를 2의 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식을 이진법의 전개식이라고 해요.

1010₍₂₎를 이진법의 전개식으로 나타내 볼까요? 식으로 써보면 1010₍₂₎ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 × 1이 되겠죠.

이진법의 전개식 만드는 다른 방법을 하나 추가하자면요. 1 뒤에는 010이라는 숫자가 3개 있어요. 이 숫자 3을 1에 곱해지는 2의 지수로 쓰는 거에요. 그래서 1 × 2³가 되는 거죠. 0 뒤에는 10이라는 숫자 2개가 있죠? 2를 지수로 써서 0 × 2²가 되고요. 1뒤에는 0이라는 숫자 하나만 있으니까 1 × 2¹이 되는 거에요. 마지막 0뒤에는 숫자가 없으니까 그냥 1만 곱해요.

그리고 십진법의 전개식에서와 마찬가지로 숫자가 0이면 생략해요.
1010₍₂₎ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2 + 0 × 1
          = 1 × 2³ + 1 × 2

이진법의 전개식: 이진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식
자리의 숫자가 0이면 전개식에서 생략

다음 식을 이진법의 전개식으로 나타내어라.
(1) 1001₍₂₎       (2) 11001₍₂₎

(1) 1001₍₂₎에서 첫 번째 자리 1 뒤에는 숫자가 3개 있으니까 1 × 2³, 두 번째, 세 번째 숫자는 0이니까 생략하고요. 제일 마지막은 1 × 1이죠.

정리해보면, 1001₍₂₎ = 1 × 2³ + 1 × 1

(2)번 11001₍₂₎ = 1 × 2 ⁴ + 1 × 2³ + 1 × 1

다음 이진법의 전개식을 이진법으로 나타내어라.
(1) 1 × 2² + 1 × 2 + 1 × 1
(2) 1 × 2⁴ + 1 × 2² + 1 × 1

이진법의 전개식을 이진법으로 나타낼 때 제일 먼저 할 일은 몇 자리 수인지 찾는 거에요. 2의 거듭제곱에서 지수가 가장 큰 것보다 한 자리 많게 하면 돼요. 그 다음에는 × 2^□ 앞에 있는 숫자들을 각 자리에 맞게 숫자를 쓰는 거지요.

(1)에서 2의 지수가 가장 큰 건 2²이에요. 지수가 2이니까 이 숫자는 세 자리 숫자인 거죠. 1, 1, 1인데, 각 자리에 맞게 쓰면 111₍₂₎네요.

(2)에서 2의 지수가 가장 큰 건 2⁴이니까 이 숫자는 다섯 자리 숫자에요. 다섯자리 숫자인데, 1, 1, 1의 세 숫자밖에 없어요. 자리 찾기를 잘 해야겠군요. 첫 번째 1은 2⁴에서 뒤에서 다섯 번째 자리의 숫자고, 두 번째 1은 2²에서 뒤에서 세 번째 자리 숫자, 마지막 1은 일의 자리 숫자네요. 나머지 뒤에서 두 번째, 네 번째 숫자가 없는 건 0이라서 생략한 거라는 걸 알 수 있어요.

정리해보면 10101₍₂₎가 되는 거죠.

이제부터는 진법에 대해서 공부할 거에요. 진법은 숫자를 표기하는 방법이에요. 숫자 쓸 줄 모르는 사람은 없으니 이미 절반은 먹고 들어가는 거에요.

거기다 이 글에서 공부할 십진법은 용어만 새로울 뿐이고 내용은 이미 다 알고 있는 거라서 걱정할 필요없어요. 십진법의 전개식이라고 하는 것도 새로운 표현 방법이긴 하지만 초등학교에서 많이 연습했던 것 중의 하나에요.

새로은 내용을 배운다기 보다는 우리가 잘 알고 잘 쓰고 있던 것들의 몰랐던 이름을 배우는 과정이라고 생각하면 될 거에요.

그럼 시작하지요.

십진법

십진법은 제일 앞 글자 "십"이 의미하는 것처럼 숫자 10개를 가지고 표기하는 거에요. 사용하는 숫자가 10개라고 하면 1 ~ 10까지를 생각하기 쉬운데, 10은 1과 0을 섞어서 만든 숫자에요. 십진법에서 사용하는 숫자는 0 ~ 9까지에요.

1234 모르는 사람 있어요? 일천 이백 삼십 사죠? 지금 우리가 사용하고 있는 숫자 체계가 바로 십진법이에요. 십진법이라는 용어를 처음 들어본 것일 뿐 그게 뭔지는 이미 다 알고 있는거에요.

일의 자리, 십의 자리, 백의 자리... 가 있는데, 한 자리가 올라갈 때마다 숫자는 어떻게 되나요? 바로 뒷자리의 10배가 되죠? 십의 자리는 일의 자리의 10배, 백의 자리는 십의 자리의 10개, 천의 자리는 백의 자리의 10배처럼요. 이처럼 십진법은 자리가 하나 올라가면 숫자도 10배 되는 표기법이에요.

십진법: 0 ~ 9까지의 숫자를 이용하여 숫자를 표기하는 방법
한 자리 올라갈 때마다 숫자가 10배
지금 우리가 사용하고 있는 숫자 표시법

십진법의 전개식

1234라는 수가 있다고 해보죠. 여기서 1은 천의 자리, 2는 백의 자리, 3은 십의 자리, 4는 일의 자리 숫자에요.

1234 = 1 × 1000 + 2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1로 나타낼 수 있죠? 이걸 거듭제곱으로 나타내보죠.
1234 = 1 × 10³ + 2 × 10² + 3 × 10 + 4 × 1

위 처럼 십진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식을 십진법의 전개식이라고 해요.

2013를 십진법의 전개식으로 나타내 볼까요? 천의 자리는 2, 백의 자리는 0, 십의 자리는 1, 일의 자리가 3네요. 식으로 써보면 2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1이 되겠죠.

십진법의 전개식 만드는 다른 방법을 하나 추가하자면요. 2 뒤에는 013이라는 숫자가 3개 있어요. 이 숫자 3을 2에 곱해지는 10의 지수로 쓰는 거에요. 그래서 2 × 10³가 되는 거죠. 0 뒤에는 13이라는 숫자 2개가 있죠? 2를 지수로 써서 0 × 10²가 되고요. 1뒤에는 3이라는 숫자 하나만 있으니까 1 × 10¹이 되는 거에요. 마지막 3뒤에는 숫자가 없으니까 그냥 1만 곱해요.

그리고 한 가지 2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1에서 0 × 10²은 0이잖아요. 그래서 생략해도 괜찮아요.
2013 = 2 × 10³ + 0 × 10² + 1 × 10 + 3 × 1
       = 2 × 10³ + 1 × 10 + 3 × 1

십진법의 전개식: 십진법의 수를 거듭제곱을 이용하여 나타낸 식
자리의 숫자가 0이면 전개식에서 생략

다음 식을 십진법의 전개식으로 나타내어라.
(1) 2580       (2) 53138

(1) 2580에서 첫 번째 자리 2 뒤에는 숫자가 3개 있으니까 2 × 10³, 두 번째 5 뒤에는 숫자가 2개 있으니까 5 × 10², 8 뒤에는 숫자가 1개니까 8 × 10, 자릿수가 0일 때는 전개식에서 생략할 수 있으니까 생략하죠.

다시 정리해보면, 2580 = 2 × 10³ + 5 × 10² + 8 × 10

(2)번 53138 = 5 × 10 ⁴ + 3 × 10³ + 1 × 10² + 3 × 10 + 8 × 1

다음 십진법의 전개식을 십진법으로 나타내어라.
(1) 4 × 10² + 2 × 10 + 5 × 1
(2) 3 × 10⁴ + 5 × 10² + 2 × 1

십진법의 전개식을 십진법으로 나타낼 때 제일 먼저 할 일은 몇 자리 수인지 찾는 거에요. 10의 거듭제곱에서 지수가 가장 큰 것보다 한 자리 많게 하면 돼요. 그 다음에는 × 10^□ 앞에 있는 숫자들을 각 자리에 맞게 숫자를 쓰는 거지요.

(1)에서 10의 지수가 가장 큰 건 10²이에요. 지수가 2이니까 이 숫자는 세 자리 숫자인 거죠. 4, 2, 5인데, 각 자리에 맞게 쓰면 425네요.

(2)에서 10의 지수가 가장 큰 건 10⁴이니까 이 숫자는 다섯 자리 숫자에요. 다섯자리 숫자인데, 3, 5, 2의 세 숫자밖에 없어요. 자리 찾기를 잘 해야겠군요. 3은 10⁴에서 만의 자리 숫자고, 5는 10²에서 백의 자리 숫자, 2는 일의 자리 숫자네요. 나머지 천의 자리 숫자와 십의 자리 숫자가 없는 건 0이라서 생략한 거라는 걸 알 수 있어요.

정리해보면 30502가 되는 거죠.