수학방

도수분포표를 만드는 법을 공부해볼 거예요. 사실 도수분포표를 만드는 방법은 따로 공부하지 않아도 할 수는 있어요. 하지만 만드는 법을 공부하면 좀 더 체계적이고 더 많은 정보를 더 정확하게 줄 수 있는 도수분포표를 만들 수 있어요.

도수분포표를 만들기에 앞서 도수분포표에서 사용하는 용어들에 대해서 정확히 이해를 해야 해요. 혹시 이해되지 않는다면 도수분포표, 변량, 계급, 계급값, 도수를 한 번 읽어보세요.

도수분포표를 만드는 순서

1. 주어진 자료에서 가장 큰 변량과 가장 작은 변량을 찾는다.
2. 가장 큰 변량과 가장 작은 변량이 포함될 수 있는 계급을 만든다.
   계급은 OO 이상 ~ OO 미만이 되도록 하고, 계급의 크기가 모두 같아야 합니다.
   계급의 개수는 5 ~ 15개 정도가 적당해요.
3. 각 계급에 속하는 변량의 개수를 세어 계급의 도수를 구한다.

2번에서 OO 이상 ~ OO 미만은 첫 번째 계급에만 적어주면 돼요.

3번에서 각 계급에 속하는 도수를 모두 더한 것이 전체 변량의 개수와 같은지 확인하세요. 빼먹은 것이 있거나 두 번 센 것이 있는지 확인하는 과정이에요.

다음 수학 점수를 이용하여 도수분포표를 만들고, 물음에 답하여라.
92     88     76     90     96
72     84     82     86     74
90     86     94     88     68
82     84     86     98     84
(1) 계급의 개수를 구하여라.
(2) 점수가 82점인 학생이 속하는 계급을 구하여라.
(3) 점수가 10번째로 높은 학생이 속하는 계급의 계급값을 구하여라.
(4) 도수가 가장 작은 계급을 구하여라.

도수분포표를 만드는 첫 단계는 변량 중에서 가장 큰 것과 가장 작은 것을 찾는 거예요. 가장 큰 변량은 마지막 줄 네 번째에 있는 98이고 가장 작은 변량은 세 번째 줄 마지막 68이네요.

계급을 나누는데, 계급의 크기를 10으로 만들어볼까요? 물론 5로 해도 상관은 없어요. 계급의 크기를 10으로 하는데, 68과 98이 들어가야 하니까 처음 계급은 60점 이상 ~ 70점 미만이 되어야겠고, 마지막 계급은 90점 이상 100점 미만으로 해야겠네요.

계급을 나누고 계급에 해당하는 점수를 적어보죠.
60 ~ 70 : 68 (한 개)
70 ~ 80 : 76, 72, 74 (세 개)
80 ~ 90 : 88, 84, 82, 86, 86, 88, 82, 84, 86, 84(열 개)
90 ~ 100 : 92, 90, 96, 90, 94, 98(여섯 개)

괄호안의 숫자를 다 더해보면 20개가 되어서 문제에서 준 변량의 개수와 똑같죠?

각 계급에 해당하는 점수의 개수, 즉 도수를 구했으니 표로 만들어볼까요?

(1) 계급의 개수는 60 ~ 70, 70 ~ 80, 80 ~ 90, 90 ~ 100 이렇게 네 개군요.

(2) 점수가 82점인 학생이 속하는 계급은 80점 이상 90점 미만이고요.

(3) 점수가 10번째로 높은 학생이 속하는 계급은 80점 이상 90점 미만이네요. 계급값은 양 끝값을 더해서 2로 나누어준 것이니까 (80 + 90) ÷ 2 = 85점이군요.

(4) 도수가 가장 작은 계급은 도수가 1인 60점 이상 70점 미만이네요.

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새로운 단원은 통계입니다. 통계는 비교적 어려운 단원이에요.

새로운 용어가 많이 나오는 데다 비슷비슷해서 헛갈리기도 쉽지요. 용어의 뜻을 정확히 알아야 해요. 문제에 나오거나 설명하는 단어를 제대로 이해하지 못하면 문제를 풀 수가 없거든요.

용어를 설명하다 보니까 약간 딱딱할 수 있어요. 용어를 이해한다고 하는 게 꼭 여기에 나온 표현대로 뜻을 이해할 필요는 없어요. 자기 나름대로 표현 방식으로 단어의 뜻을 이해하세요.

들어가기 전에

열 명의 1학기 기말고사 시험 수학 점수가 있어요. 92, 84, 88, 76, 96, 72, 92, 84, 68, 96점을 받았다고 해보죠.

70점대 몇 명, 80점대 몇 명 … 이런 식으로 점수대별로 몇 명이나 있는지 표를 만들어볼게요.

10명의 점수를 주면 여러분은 위 표처럼 나타낼 수 있죠?

이번 글에서 우리가 공부할 게 뭐냐면 바로 위 표에서 사용하는 용어들이에요. 용어를 모른다고 해서 표를 못 만드는 건 아니에요. 하지만 용어를 알면 표를 더 쉽고 정확하게 만들 수 있죠. 또 표에서 좀 더 정확한 정보를 읽어낼 수도 있어요.

변량, 계급, 계급값, 계급의 크기, 도수, 도수분포표

변량

변량은 점수, 시간 같은 여러 자료를 수량으로 나타낸 것을 말해요. 그냥 자료를 쭉 적어놓은 거로 생각하면 쉬워요.

위에서는 수학 점수 92, 84, 88, 76, 96, … 이렇게 쭉 쓰여 있는 게 변량이에요.

계급

계급은 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간이에요.

70점대 몇 명, 80점대 몇 명 … 이런 식으로 점수대별로 학생 수를 알아보려면 어떻게 했죠? 70 ~ 80, 80 ~ 90, 90 ~ 100 이렇게 점수를 나눴잖아요. 이렇게 점수별로 나누어 놓은 구간이 계급이에요. 위의 표에서 왼쪽에 있는 게 계급이에요.

계급의 크기라는 용어도 있어요. 계급의 크기는 계급의 간격(너비)을 말해요.

위 예에서 70 ~ 80이라는 계급이 있었어요. 여기서 계급의 크기는 10이에요. 70과 80 사이는 10의 차이가 있잖아요.

계급의 크기 = (계급의 큰 쪽 끝값) - (계급의 작은 쪽 끝값)

중요한 건 계급의 크기는 모두 같다는 거예요. 한 계급이 70 ~ 80이었으면 그다음 계급은 80 ~ 90이 되어야 해요. 70 ~ 80, 80 ~ 85 이렇게 크기가 다르게 계급을 나누면 안돼요.

계급값은 계급을 대표하는 값으로 각 계급의 한가운데 값(중앙값)을 말해요. 70 ~ 80 사이의 한 가운데 값은 75죠. 그래서 75가 이 계급의 계급값이에요.

계급값 = (계급의 양 끝값의 합) ÷ 2

80 ~ 90의 계급값은 85, 90 ~ 100의 계급값은 95가 되겠죠?

도수

도수는 각 계급에 속하는 변량의 개수예요.

60 ~ 70점에 해당하는 점수는 68점 하나네요. 70 ~ 80점에 해당하는 점수는 72, 76점으로 두 명이에요. 80 ~ 90점에 해당하는 점수는 84, 86, 84 세 명이고, 90 ~ 100점에 해당하는 점수는 92, 96, 92, 96 네 명이에요.

같은 값이 있어도 하나로 세지 않고 각각을 따로 세요.

여기서 60 ~ 70에 해당하는 점수가 하나니까 도수는 1, 70 ~ 80에 해당하는 점수는 두 개니까 도수가 2이고, 80 ~ 90에 해당하는 점수가 세 개니까 도수는 3, 90 ~ 100에 해당하는 점수는 네 개니까 도수가 4예요. 앞 표에서 오른쪽에 있는 게 도수지요.

즉 어떤 계급에 해당하는 자료가 몇 개인가가 바로 도수예요.

도수분포표

마지막으로 도수분포표는 주어진 전체 자료를 몇 개의 계급으로 나누고 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표예요. 그러니까 앞 표가 바로 도수분포표예요.

도수분포표를 보면 한 자료가 전체에서 어느 위치에 속하는지를 쉽게 알아볼 수 있어요. 84점이라는 수학 점수가 전체에서 어느 정도나 되는지를 파악하기가 쉽죠. 또 전체 자료의 분포를 파악하는 데도 도움이 돼요.

하지만 자료 하나하나의 특징을 파악하기 어려운 단점도 있어요. 80 ~ 90에 3명이 있는데, 이들의 점수가 몇 점인지는 알 수 없다는 거지요.

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