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점과 선, 각 등에서 쭉 공부해오고 있는데요.

이제는 점과 선의 위치 관계에 대해서 공부할 거예요. 서로 어떤 위치에 있는가인데 어렵게 생각하지 마세요. 서로 만나느냐 만나지 않느냐 평행하냐를 따지는 거예요.

예를 들어, 두 직선이 만나는지, 두 직선이 평행한지, 두 직선이 일치하는지를 구분하는 거죠.

지금 여기서 공부할 내용은 평면에서 점과 직선의 위치관계, 평면에서 두 직선의 위치관계예요.

점과 직선의 위치관계

한 평면 위에 점과 직선이 있을 때 서로 어떤 위치에 있는지 알아보죠.

먼저 점이 직선 위에 있을 때가 있어요. 점이 직선 위에 있다는 말은 직선이 점을 지나간다는 얘기지요. 문제에서 직선 위의 점 어쩌고저쩌고 나오면, 직선이 점을 지나가는 구나 하고 생각하면 돼요.

점이 직선 위에 있지 않을 때도 있겠지요? 이때를 다르게 표현하면, 직선이 점을 지나지 않는다고 표현할 수 있겠죠? 다른 말로 직선 밖의 점이라고 하는데 자주 쓰이는 말은 아니에요.

아래 그림에서 왼쪽은 점이 직선 위에 있는 것으로 직선 위의 점이라고 하고, 오른쪽은 점이 선 위에 있지 않은 것으로 직선 위에 있지 않은 점이라고 말해요.

여기서 말하는 위는 위, 아래 방향이 아니라는 걸 이해해야 해요.

점이 직선 위에 있느냐 없느냐는 직선이 점을 지나느냐 지나지 않느냐로 표현할 수도 있는 거예요.

두 직선의 위치관계

평면에서 두 직선의 위치관계에 대해서 알아볼까요?

평면이라고는 하지만 우리가 익히 아는 그냥 종이 위에 그린 그림이라고 생각하면 쉬워요. 평면이라고 다를 게 없어요.

평면에서 두 직선은 세 가지의 위치관계가 있어요. 첫 번째는 두 직선이 한 점에서 만나는 경우이고, 두 번째는 평행한 경우, 세 번째는 일치하는 경우예요.

직선이 두 점 이상에서 만나면 두 직선이 일치한다고 할 수 있어요. 두 점을 지나는 직선은 하나 밖에 없거든요. 거꾸로 말해 두 직선이 일치하면 두 개 이상의 점에서 만난다고 할 수 있는 거죠.

두 직선이 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 한꺼번에 두 직선이 만나는 경우라고 할 때도 간혹 있어요.

그리고 여기에서 생각하는 평면은 아주아주 넓은 평면이에요. 아래 그림처럼 그려진 평면이 작아서 두 직선이 만나지 않을 때 '직선이 만나지도 않고, 평행도 아니고, 일치하는 것도 아닌데요.' 하는 학생은 없기 바랍니다. 평면을 더 크게 그리면 두 직선은 만나게 되어 있어요. 직선이 끝이 없이 계속되는 것처럼 평면도 끝이 없어요.

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우리가 지금까지 공부했던 직선, 반직선, 선분, 각 등은 모두 평면에서 구했던 거예요. 평면이라는 게 어렵게 들릴 수도 있지만 그냥 간단히 도화지라고 생각하면 돼요. 지금까지 그냥 하얀 종이 위에 직선을 그려놓고 그 관계를 알아봤잖아요.

함수에서 그래프 그렸던 모눈종이처럼 생긴 좌표평면 기억나죠? 그게 바로 평면이에요.

평면이라는 말이 새롭게 들어간다고 해서 절대로 어려워하지 마세요. 면 중에서 평평한 면을 평면이라고 하는 거니까요.

기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 선은 점이 여러 개 모인 거였죠? 선이 여러 개 모이면 면이 되고요. 그런 점이 여러 개 모이면 면이 되는 거잖아요. 점 몇 개가 있어야 면을 만들 수 있을까요? 또 선이 몇 개가 있어야 면을 만들 수 있을까요?

평면의 결정조건

평면을 만드는 방법은 여러 가지가 있어요. 그런데 그중에서도 딱 하나의 평면만 만들 수 있는 조건들이 있어요. 이런 조건들을 평면의 결정조건이라고 해요.

그러니까 어떤 조건을 주면 다른 평면을 만들고 싶어도 못 만들고, 정해진 딱 하나의 평면만 만들 수 있는 거예요. 같은 조건을 가지고 어떤 사람은 A라는 평면을 다른 사람은 B라는 평면을 만든다면 그건 평면의 결정조건이라고 할 수 없어요.

평면의 결정조건에는 네 가지가 있어요. 하나씩 알아보죠.

① 한 직선 위에 있지 않은 점이 세 개 있으면 평면을 만들 수 있어요. 점이 직선 위에 있지 않다는 건 직선이 그 점을 지나지 않는다는 뜻이에요. 그러니까 한 직선 위에 있지 않은 세 점은 세 점을 동시에 지나는 직선이 없다는 거죠. 점 세 개를 연결해서 삼각형을 그린다고 생각해보세요. 그 삼각형은 평면이죠? 이 삼각형을 양쪽으로 계속 늘릴 수 있잖아요. 그럼 아주 넓은 평면이 만들어져요.

② 한 직선과 직선 위에 있지 않은 점이 하나 있으면 평면을 만들 수 있어요. 한 직선이 있다는 말은 직선 위에서 점 두 개를 가져올 수 있다는 뜻이죠? 직선 위의 두 점과 직선 밖의 한 점을 이용해서 ①번과 같은 방법으로 평면을 만들 수 있겠죠?

③ 한 점에서 서로 만나는 두 직선이 있으면 평면을 만들 수 있어요. 각 직선에서 두 점을 가져오면 총 네 개의 점이 찍히겠죠? 그다음 네 점을 연결하면 사각형 모양의 평면이 생길 거예요. 물론 이걸 확장하면 매우 넓은 평면을 만들 수 있고요.

④ 서로 평행한 두 직선이 있으면 ③번과 같은 방법으로 평면을 만들 수 있어요.

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기찻길은 선로가 두 개예요. 이 선로는 간격이 일정해서 아무리 멀리까지 가도 서로 만나지 않아요. 이렇게 한 평면 위에 있는 두 직선이 만나지 않을 때 두 직선은 평행하다고 해요.

평행한 두 직선을 줄여서 평행선이라고 하고 기호로는 //로 나타내요. 평행한 직선 두 개를 오른쪽으로 약간 기울여서 그린 모양이죠.

두 직선 l, m이 평행하면 l //이라고 쓰는 겁니다. 거꾸로 l // m이라고 되어있으면 l과 m이 평행하다는 뜻이고요.

평행선의 성질

평행선에는 중요한 성질 두 가지가 있는데, 바로 맞꼭지각, 동위각, 엇각에서 공부했던 동위각과 엇각이에요.

맞꼭지각은 마주 보고 있어서 각의 크기가 같다고 했어요. 그런데 동위각과 엇각은 크기가 다를 수 있지요. 하지만 평행선에서는 이게 조금 달라지거든요.

평행선에서 동위각의 크기는 같다.

평면 위에서 평행선과 다른 한 직선이 만나서 생기는 교각 중에는 맞꼭지각도 있고 동위각, 엇각이 있어요.

위 그림은 평행하지 않은 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만났을 때 생기는 교각의 모습이에요. ∠d와 ∠h가 동위각이죠? 그런데 얼핏 봐도 두 각의 크기는 달라요.

다음은 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 교각이에요.

∠a와 ∠b의 크기가 어떤가요?

아래에 있는 직선 m을 그대로 위로 밀어 올린다고 생각해보죠. 그대로 위로 올리면 l과 만나겠죠? 두 직선은 평행하니까 단순히 만나기만 하는 게 아니라 완전히 일치하게 돼요. l이 m과 일치하니까 l과 이루는 ∠a이나 m과 이루는 ∠b가 서로 같은 건 당연하지요.

종이를 대서 실제로 위로 움직여서 확인 보세요.

평행선에서 엇각의 크기는 같다.

엇각은 서로 대각선 방향에 있는 각이라고 했어요. 그리고 엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾는 거라고 했지요?

앞에서 동위각은 서로 크기가 같다고 했어요. 그리고 맞꼭지각도 서로 크기가 같죠? 따라서 원래 각의 동위각의 맞꼭지각인 엇각도 원래의 각과 크기가 같게 되는 거지요.

원래 각 = 동위각 = 맞꼭지각

위 그림에서 ∠b와 ∠c는 서로 엇각이에요.

∠b는 ∠a와 동위각이라서 크기가 같아요. ∠a와 ∠c는 맞꼭지각이니까 크기가 같죠.

∠b = ∠a = ∠c 관계가 있어서 결국 ∠b = ∠c가 되는 거죠.

평행선의 성질
평면 위의 평행선이 다른 직선과 만날 때
동위각의 크기가 같다
엇각의 크기가 같다.

다음 그림에서 l, m이 서로 평행일 때 x의 크기를 구하여라.

그림만 보면 위와 아래에 평행선이 있어요. 그런데 구하는 각은 평행선에 있는 각이 아니라 중간에 떠 있는(?) 각이죠? 이럴 때는 각에 선을 하나 그어주세요. 위, 아래에 있는 선과 평행해야 합니다. 그러면 총 세 개의 평행선이 생기는 거예요.

x가 새로 그은 선 때문에 둘로 나뉘었어요. 윗부분(①)과 아랫부분(②)을 더해서 x를 구해볼까요? 윗부분은 45°와 엇각이에요. 평행선에서 엇각은 크기가 같으니까 여기는 45°가 될 거예요.

아랫부분은 110° 부분을 볼까요? 110° 아래에 있는 각은 70°죠? 직선이니까 평각(180°)잖아요. 그럼 70°인 곳과 x의 아랫부분(②)은 동위각으로 크기가 같아요. 따라서 x의 아랫부분(②)은 70°예요.

x를 두 부분으로 나눴는데, ①은 45°, ②는 70°이니까 둘을 더해서 x = 115°네요.

평행선의 조건

어떤 두 직선이 있어요. 그 두 직선이 얼핏 봐서는 평행한 것처럼 보이지만 평행인지 아닌지 확신할 수가 없어요. 이때 두 직선이 평행인지 아닌지 어떻게 판단할까요?

원리는 바로 앞에서 공부한 평행선의 성질 두 가지를 이용하는 거예요.

평행선은 다른 직선과 만나서 생기는 각 중에서 동위각과 엇각의 크기가 같아요..

그러니까 그림에 선이 그어져 있다면 그 각을 보고, 동위각과 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행선이고 다르면 평행선이 아닌 것이죠.

평행선에서는 동위각과 엇각이 같다. → 동위각과 엇각이 같은 두 직선은 평행선

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직선의 정의와 직선이 만날 때 생기는 점(교점), 직선이 만나서 생기는 각(교각)에 대해서 공부하고 있어요.

이제는 두 직선이 만날 때 두 직선의 관계에 대해서 알아보죠. 두 직선이 만나므로 평행한 두 직선은 아니고 그렇다고 일치하는 두 직선도 아니에요.

두 직선이 만나는 교점에서 교각이 90°인 직각일 때 어떤 의미를 가지는지 공부해봐요.

수직과 직교, 수선

직선 AB와 직선 CD가 만나는 점은 교점이라고 하고, 만나서 생기는 각은 교각이라고 해요. 그런데 이 교각이 90°일 때가 있는데, 이때를 두 직선이 직교한다고 해요. 직각으로 만난다는 말이지요.

당연한 얘기지만 한 교각이 90°면 두 직선이 만나서 생기는 모든 교각이 90°에요.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 두 직선은 서로 수직이라고 말해요. 아주 따지고 들어가면 의미의 차이가 있지만 그냥 직교와 수직은 같은 뜻이라고 생각해도 좋아요.

수학에서는 의미를 쉽게 알 수 있게 기호로 표시하죠. 수직, 직교는 기호로 ⊥로 표시해요. 모음인 ㅗ처럼 생겼죠? 세로인 직선과 가로인 직선이 직각으로 만났을 때를 기호로 표시한 거라는 걸 알 수 있겠지요?

직선 AB와 직선 CD가 수직이면 로 씁니다.

직선 AB와 직선 CD가 직교할 때, 한 직선을 다른 직선의 수선이라고 해요. 수직인 선이라는 뜻이죠. 직선 AB는 직선 CD의 수선이고, 직선 CD는 직선 AB의 수선이 되는 거죠.

직교, 수직, 수선은 두 직선의 교각이 90°일 때라는 걸 기억하세요.

수선의 발

한 직선 l과 직선 위에 있지 않은 한 점 P가 있다고 해보죠. 이때 점 P 을 지나는 새로운 직선을 그리는데, 직선 l에 수직인 직선, 즉 수선을 그었을 때 교점이 생기겠죠? 이 점을 H라고 할게요. 교점 H에는 교각이 몇 °일까요? 당연히 90°겠죠? 수선을 그었으니까요.

이때 이 점 H를 수선의 발이라고 해요. 새로 그은 직선이 직선 l의 수선이잖아요.

그냥 간단하게 두 직선이 수직으로 만나는 교점을 수선의 발이라고 생각하면 돼요. 수선의 발은 교점 중에서도 수직(직교)일 때 교점이라는 걸 알아두세요.

점과 직선 사이의 거리

두 점 사이의 거리, 중점에서 점 A와 점 B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 가장 짧은 선, 즉 선분 AB의 길이라는 걸 공부했어요.

그럼 점 P와 직선 l 사이의 거리는 어떻게 구할까요. 마찬가지로 점 P와 직선 l을 연결하는 가장 짧은 선의 길이를 구하면 돼요. 그런데 가장 짧은 선이 뭐냐면 바로 직선 l에 수직인 선이에요. 직선 l이 수직인 선과 만나는 교점을 수선의 발, H라고 했어요. 그러니까 점 P와 직선 l 사이의 거리는 점 P와 점 H 사이의 거리가 되고, 이건 선분 PH의 길이와 같아요.

점과 직선 사이의 거리 = 점과 수선의 발 사이의 거리 = 선분 PH의 길이

점과 직선 사이의 거리를 구할 때는 점에서 직선에 수선을 그어 수선의 발을 찾고, 점과 수선의 발 사이의 길이를 구하면 되는 거죠.

다음 그림을 보고 물음에 답하여라.
선분 AB의 길이 = 5cm, 선분 BC의 길이 = 10cm, 선분 AD의 길이 = 4cm이다.
(1) 선분 AD의 수선을 모두 구하여라.
(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하여라.

(1) 선분 AD의 수선을 구하라고 했네요. 수선은 수직인 직선이에요. 선분 AD에 수직인 직선은 빨간 직각 표시가 있는 선분 BD와 선분 CD, 그리고 이 둘을 포함한 선분 BC가 되겠네요.

(2) 점 A와 선분 BC의 거리를 구하라고 했는데요. 점과 선분의 거리는 점에서 선분으로 수선을 긋고, 수선과 직선이 만나는 교점(수선의 발)과 점 사이의 거리를 구하는 거죠? 점 A에서 선분 BC에 그은 수선은 선분 AD가 되고요. 이 수선의 발은 점 D에요. 점 A에서 선분 BC까지의 거리는 선분 AD의 길이가 되고 이건 문제에서 4cm라고 줬네요. 따라서 점 A와 선분 BC 사이의 거리는 4cm네요.

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평각, 직각, 예각, 둔각에서 각이란 무엇인지, 크기에 따라 각을 어떻게 나누는지 알아봤어요. 이번 글에서는 다른 각을 위치에 따라 구분하는 방법에 대해서 알아보죠.

이번 글에서는 맞꼭지각, 동위각, 엇각을 설명할 건데, 이게 글로 설명하기는 참 어려운 내용이에요. 그래서 정신줄 꽉 잡고 한 줄 한 줄 정독해야 이해할 수 있어요. 설명과 그림을 왔다 갔다 하면서 주의 깊게 보세요.

아마 한 번 봐서는 이해하기가 어려울 거예요.

맞꼭지각

선과 선, 면과 선이 만나는 점을 뭐하고 했지요? 교점이라고 했어요. 면과 면이 만나서 생기는 선은 교선이라고 했고요.

그럼 교각은 뭘까요? 만나서 생기는 각이겠지요. 뭐가 만나느냐면 바로 두 직선이 만나요. 그러니까 선과 선이 만나는 교점에 각이 생긴다는 얘기지요. 근데 교각은 항상 네 개가 생겨요. 그래서 이 네 개를 전부 다 교각이라고 합니다.

아래는 두 직선 l과 m이 만나서 생기는 교각을 표시한 그림이에요. a, b, c, d 모두 교각입니다.

이때 네 개의 교각 중에서 서로 마주 보고 있는 두 각을 서로의 맞꼭지각이라고 해요. 꼭짓점을 맞대고 있다는 뜻이죠. ∠a와 ∠c가 서로 마주 보고 있죠? 그래서 ∠a와 ∠c가 맞꼭지각이고, ∠b와 ∠d도 서로 맞꼭지각이에요.

맞꼭지각은 서로 크기가 같아요. ∠a = ∠c이고 ∠b = ∠d란 얘기죠

∠a + ∠b = ∠a + ∠d = 180° (평각)
∠b = ∠d

∠a + ∠b = ∠b + ∠c = 180° (평각)
∠a = ∠c

동위각, 엇각

맞꼭지각이 두 직선이 만나서 생기는 각이라면, 동위각과 엇각은 세 직선이 만나는 곳에서 생겨요. 두 직선 l, m이 다른 직선 n과 만나면 교각이 8개가 생겨요. l, n이 만나는 곳에서 4개, m, n이 만나는 곳에서 4개요.

동위각은 같은 위치에 있는 각이라는 뜻이에요. 교점을 중심으로 해서 같은 위치에 있다는 뜻인데요. 교점을 중심으로 해서 상하좌우의 위치가 같으면 동위각이라고 해요.

동위각을 쉽게 찾는 방법을 알려드릴게요. 동위각은 두 직선 l, m과 다른 직선 n이 만나서 생기는 거라고 했어요. 다른 직선 n을 가로축(또는 세로축)으로 놓으세요. 그런 다음 교점을 중심으로 오른쪽 위, 오른쪽 아래, 왼쪽 위, 왼쪽 아래 등으로 위치를 비교하면 동위각을 금방 찾을 수 있어요.

아래 그림에서는 n을 세로로 생각해보죠. ∠a는 직선 l과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위에 있고, ∠b는 왼쪽 아래에 있죠? ∠c는 오른쪽 아래, ∠d는 오른쪽 위에 있어요. ∠e는 직선 m과 n이 만나는 교점의 왼쪽 위, ∠f는 왼쪽 아래, ∠g는 오른쪽 아래, ∠h는 오른쪽 위에 있어요.

동위각을 찾아보죠. 왼쪽 위에 있는 동위각은 ∠a, ∠e, 왼쪽 아래 있는 동위각은 ∠b, ∠f, 오른쪽 아래 있는 동위각은 ∠c, ∠g, 오른쪽 위에 있는 동위각은 ∠d, ∠h가 되는 거예요.

동위각 찾는 건 몇 번 해봐서는 금방 이해가 되지 않으니까 연습을 많이 하세요.

엇각은 서로 엇갈린 위치에 있는 각이에요. 맞꼭지각도 아니고 동위각도 아닌 각이죠. 한 가지 중요한 게 있는데, 엇각은 8개의 각 모두에 있는 게 아니에요. 교점이 하나만 있는 두 직선 l, m 사이에 있는 4개의 각(∠b, ∠c, ∠e, ∠h) 사이에서만 찾아요. 선 밖의 각 4개는 전혀 생각하지 마세요.

엇각은 대각선 방향에 있는 각을 찾으면 되는데, ∠c의 엇각을 찾아볼까요? ∠c는 오른쪽 아래에 있으니까 대각선 방향은 왼쪽 위가 되겠네요. 왼쪽 위에 있는 각 즉, 대각선 방향에 있는 각은 ∠e죠? 그래서 ∠c와 ∠e가 서로 엇각이에요. ∠b는 왼쪽 아래에 있으니까 오른쪽 위에 있는 ∠h와 엇각이고요.

엇각을 찾는 다른 방법은 동위각의 맞꼭지각을 찾으면 돼요. ∠c의 동위각은 ∠g인데, ∠g의 맞꼭지각이 ∠e에요. 이 방법으로 찾아도 똑같이 ∠e가 나와요. 편한 방법으로 연습하세요.

아래 그림을 보고 다음을 구하여라.
(1) ∠a의 동위각
(2) ∠g의 엇각
(3) ∠i와 크기가 각

이 문제는 어려운 유형의 문제에요. 교점이 3개이고 교각이 12개나 되거든요. 이렇게 교점이 세 개인 문제에서는 교점을 하나 가려서 없다고 생각하고 남은 교점 두 개에서 동위각과 엇각을 찾으세요. 그다음 다른 교점을 가리고 찾고, … 이렇게 여러 번 하는 방법으로 풀어야 해요.

(1) ∠a의 동위각을 찾으라고 했는데, 먼저 l과 m이 만나는 교점을 가리고 해보죠. n을 세로축으로 놓으면 ∠a의 동위각은 ∠e라는 걸 찾을 수 있어요.

그다음에는 m, n이 만나는 교점을 가려보세요. 그림을 왼쪽으로 약간 기울여서 l을 가로축으로 놓으면 ∠a는 왼쪽 위에 있는 각이 돼요. ∠i, ∠j, ∠k, ∠o 중에서 왼쪽 위에 있는 각은 어떤 각일까요? ∠i가 왼쪽 위에 있는 각이에요.

그래서 ∠a의 동위각은 ∠e와 ∠i네요.

(2) 엇각은 두 직선 사이에 있는 경우에만 찾는다고 했어요. 그림의 왼쪽 부분(직선 l과 n의 교점, 직선 m과 n의 교점)에서는 엇각을 고려할 수 있는 게 ∠b, ∠c, ∠e, ∠h뿐이에요. 여기에서는 ∠g는 엇각을 얘기하지 않으니까 이곳에 ∠g의 엇각은 없어요.

이번에는 직선 m과 n의 교점, 직선 l과 m의 교점을 생각해보죠. 두 직선 사이에 있는 각은 ∠h, ∠g, ∠j, ∠k네요. 여기에는 ∠g가 있어서 엇각을 고려해볼 수 있어요. 엇각은 대각선 방향에 있는 각이니까 오른쪽 아래에 있는 ∠g의 엇각은 왼쪽 위에 있는 ∠j가 되는군요.

(3) 직선이 만나는 곳에 교각이 생기는데 크기가 같으면 서로 맞꼭지각이어야 해요. ∠i와 맞꼭지각인 것은 ∠k니까 ∠i와 ∠k의 크기가 같아요.

글 처음에 말한 것처럼 동위각, 엇각을 찾는 건 쉬운 문제가 아니에요. 위에서 알려드린 몇 가지 팁을 이용해서 연습을 많이 해보세요.

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이번 글에서는 각에 대해서 알아볼 거예요. 초등학교 다닐 때에는 두 직선이 만나서 생기는 게 각이라고 공부했어요

이제 중학생이니까 조금 다르게 그리고 조금 더 정확하게 각의 의미를 공부할 거예요.

각의 정의와 각을 기호로 어떻게 표시하는지 각의 종류에는 무엇이 있는지 알아보죠.

각의 정의, 각의 표시

각은 한 점 O에서 시작하는 두 반직선 OA, OB로 이루어지는 도형을 말하고 이것을 각 AOB라고 불러요.

각 rㄴㄷ과 각 ㄷㄴr은 같은 거잖아요. 각 AOB와 각 BOA는 같은 거예요.

각은 기호로 ∠ 로 표시해요. "니은"자 모양인데, 옆으로 약간 기울어져 있어요. 그래서 각 AOB는 ∠AOB로 쓰고, 각 BOA는 ∠BOA로 써요.

각은 세 알파벳을 모두 쓰지 않고, 각이 있는 부분의 꼭짓점의 알파벳을 이용해서 ∠O라고 하기도 하고, 각의 크기를 이용해서 ∠a로 나타내기도 해요. 똑같은 각을 나타내는 방법이 여러 가지인데 모두 다 알고 있어야 해요.

∠AOB = ∠BOA = ∠O = ∠a

각의 크기와 종류

각의 크기는 ∠AOB에서 반직선 OA가 점 O를 중심으로 반직선 OB까지 회전한 정도를 말하지요. 쉽게 말해서 두 반직선 사이의 벌어진 정도인데, 각의 크기를 알 때는 숫자로 표시하지만 정확한 값을 알 수 없을 때 대게 알파벳 소문자로 표시해요.

각은 그 크기에 따라 종류를 나눠요.

평각은 평평한 각이에요. 평평하다는 건 굴곡이 없이 고른 걸 말하잖아요. 그러니까 각을 이루는 두 반직선 OA와 OB가 직선을 이룰 때를 평각이라고 해요. 물론 점 O는 A와 B 사이에 있어야겠죠? 평각은 크기가 180°에요.

직각은 직각삼각형, 직사각형에서 볼 수 있어요. 직각은 평각의 인 90°를 말해요.

예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각을 말해요. 0°는 예각이 아니에요. 각을 나타내는 기호인 ∠은 예각의 모양을 작게 그린 거예요.

둔각은 90°보다 크고 180°보다 작은 각을 말해요.

각을 크기에 따라서 네 가지로 나눌 수 있겠죠?

다음 그림에서 예각을 모두 찾으시오.

예각은 0°보다 크고 90°보다 작은 각이에요. 그림에서 90°보다 작은 각을 찾아보죠.
먼저 점 A에서 생기는 각 중 90°보다 작은 각은 ∠CAF, ∠EAF(=∠BAF) 두 개네요.
점 B, C, D에는 직각밖에 없어서 넘어가고요.
점 E에서는 ∠BEF가 예각이고, ∠AEF는 둔각이네요.
점 F에서는 ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 예각 세 개, ∠AFD, ∠DFE의 둔각이 두 개 있어요.
따라서 예각은 ∠CAF, ∠EAF, ∠BEF, ∠AFC, ∠AFE, ∠EFC의 총 여섯 개입니다.

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이 글에서는 수학에서 사용하는 거리라는 개념의 정확한 뜻에 대해서 알아볼 거예요. 그 거리 개념을 이용해서 점과 점 사이의 거리도 알아볼 거고요. 두 점의 한가운데 있는 점에 대해서도 알아볼 거예요.

집에서 학교까지의 거리를 말할 때 우리는 보통 우리가 다니는 길을 그대로 갔을 때의 거리를 얘기하죠? 실제 이동한 거리요. 때로는 시간으로 표현하기도 하고요.

그런데 어떤 날은 큰길로 학교에 가고 다른 날은 지름길로 갈 때 이동 거리는 달라질 수 있어요. 이동 거리라는 건 때에 따라 달라질 수도 있다는 거예요.

하지만 수학의 도형에서의 거리는 두 지점 사이의 가장 가까운 거리를 말해요. 사람이 다닐 수 있느냐 없느냐는 절대 고려하지 않지요.

아래 지도에서 빨간색 선은 실제 이동 경로에 따른 거리이고 파란색 선은 거리라고 할 수 있어요.

두 점 사이의 거리

두 점 A, B 사이의 거리는 두 점을 연결하는 무수히 많은 선 중에서 길이가 가장 짧은 선의 길이를 말하는데, 길이가 가장 짧은 선은 선분 AB에요. 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 선분 AB의 길이를 뜻해요.

두 점 A, B 사이의 거리 = 선분 AB의 길이

두 점 A, B 사이의 거리 그러니까 선분 AB의 길이를 기호로 로 표시하는데요. 기본 도형 - 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 는 선분 AB를 나타낸다고 했죠? 이 기호 는 선분 AB이기도 하고, 선분 AB의 길이이기도 해요. 두 가지 뜻이 있어요.

집과 학교 사이의 거리도 마찬가지로 가장 짧은 직선거리를 나타내니까 파란색으로 표시된 선의 길이인 거지요.

중점

중점(中點)은 말 그대로 가운데 있는 점을 말해요. 무엇의 가운데? 두 점의 가운데 있다는 뜻이죠. 보통 알파벳으로 M(Middle point, Median point)이라고 써요

두 점 A, B가 있는데, 중점 M은 두 점의 한가운데에 있으니까 A에서 중점까지의 거리(선분 AM의 길이)와 B에서 중점까지의 거리(선분 BM의 길이)가 같겠죠? 따라서 중점을 정의할 때 가운데 있는 점이라고 하지 않고, 선분 AM과 선분 BM의 길이가 같을 때 점 M을 중점이라고 해요.

M은 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이인 선분 AB의 길이의 절반이겠죠? 다른 말로 하면 중점 M은 선분 AB 길이를 이등분한다고 할 수 있는 거죠.

두 점 A, B와 중점 M

거리와 중점은 오직 선분에서만 구할 수 있어요. 직선이나 반직선은 시작점 혹은 끝점이 끝도 없이 계속되니까 거리나 중점을 구할 수 없어요. 직선 위의 두 점 A, B, 반직선 위의 두 점 C, D 사이의 거리나 중점을 구할 수는 있어요. 하지만 이때 두 점이라는 특정한 위치가 정해졌으니까 직선이 아니라 선분 AB, 선분 CD가 되어서 구할 수 있는 거예요.

점 M은 선분 AB의 중점이고 점 N은 선분 BM의 중점이다. 선분 AB의 길이가 20cm일 때 선분 MN의 길이를 구하여라.

M이 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이는 전체 길이의 절반이겠죠? 20 ÷ 2 = 10 (cm)예요.  =  = 10cm죠. 마찬가지로 점 N은 선분 BM의 중점이니까 선분 MN의 길이는 선분 BM의 절반이겠죠? 10 ÷ 2 = 5 (cm)예요.  =  = 5cm이니까 은 5cm입니다.

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새로운 단원인 도형 단원이에요.

도형은 그림이 많이 나오니까 그림을 보고 무슨 도형인지 어떤 특징이 있는지 빨리 파악해야 해요.

언제나 마찬가지지만 단원의 첫 부분에는 단원에서 사용할 용어들을 배우지요. 이 글에서는 도형을 이루는 가장 기본적인 것인 점과 선, 면, 직선, 반직선, 선분의 정의에 대해서 정리해 볼게요.

사실 처음 듣는 단어들은 없어요. 그렇다고 뜻을 모르는 것도 아니고요. 다만 좀 더 구체적인 수학적 의미로서 꼭 알고 있어야할 내용이에요.

점, 선, 면

점은 딱히 뭐라고 설명하기가 좀 그렇네요. 그냥 연필로 딱 한 번 찍은 것을 점이라고 하잖아요. 우리가 알고 있는 그 점입니다.

선은 무수히 많은 점이 모여서 이루어진 걸 말해요. 그냥 죽 그은 것처럼 보이지만 아주 많은 점을 아주 가깝게 많이 찍으면 그게 선이 되는 거예요.

조금 더 멋있게(?) 표현하면 점들이 연속적으로 움직인 자리가 바로 선이에요.

면은 무수히 많은 선이 모여서 이루어진 걸 말해요. 보통 우리는 면을 그리면 모서리만 그리죠? 직사각형을 그리면 선을 네 개만 그어서 바깥쪽에는 선이지만 안쪽은 비어있다고 생각하기 쉬운데, 사실 채우지 않았다 뿐이지 선으로 둘러싸인 모든 곳에 선이 그어져 있다고 생각해야 해요.

그래서 면은 선들이 연속적으로 움직인 자리라고 정의해요.

교점과 교선

교점과 교선에서 교는 섞이다는 뜻인데 여기서는 서로 만난다는 뜻으로 해석해요.

교점은 말 그대로 만나는 점이라는 뜻인데, 뭐가 만나느냐? 선과 선이 만나는 점 또는 면과 선이 만나서 생기는 점을 교점이라고 해요.

이때 선과 면은 꼭 반듯한 직선이 아니어도 상관없어요. 곡선이나 휘어진 면이 만나서 생기는 곳도 교점이라고 해요.

교선은 면과 면이 만나서 생기는 선이에요. 면과 면이 만날 때는 만나는 점이 하나만 생기는 것이 아니라 여러 개가 생기는 데, 그 여러 개가 모여서 바로 선이 되는 거죠.

직선, 반직선, 선분

직선은 서로 다른 두 점에 의해서 결정돼요. 그러니까 점이 하나만 있다면 그 점을 지나는 선은 무수히 많이 그릴 수 있어요. 하지만 서로 다른 두 점이 있으면 그 두 점을 모두 지나는 직선은 딱 하나만 생겨요.

그래서 직선을 정의할 때는 서로 다른 두 점을 이용해서 정의합니다.

직선은 서로 다른 두 점 A, B를 지나 한없이 곧게 뻗은 선이에요. 두 점을 지나야 하고 끝이 없이 계속되어야 해요. A, B를 지나지만 어는 한 곳에서 끝나면 직선이라고 하지 않아요. 또 하나 중요한 건 곧게 뻗은 선이어야 한다는 거예요. 중간에 휘어지면 안 돼요.

직선은 지나는 두 점을 이용해서 표시하는데, A, B를 지나기 때문에 알파벳 A와 B를 이용해서 직선 AB라고 하기도 하고 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A와 B를 지나서도 계속되니까 화살표를 양쪽으로 표시하는 거예요. 혹 두 점 A, B가 정의되지 않았거나 간단히 쓰고 싶을 때는 소문자 l(엘)을 써서 직선 l이라고 쓰기도 해요.

반직선은 직선 AB 위의 한 점 A에서 출발해서 점 B쪽으로 곧게 뻗은 선을 말해요. 반직선에서 중요한 것은 출발점이 있다는 거예요. 직선은 점 A을 지나서 계속되어야 하지만 반직선은 점 A를 지나는 것이 아니라 바로 그 위에서 시작한다는 거지요. 넘어가면 안 된다는 얘기에요.

반직선도 마찬가지로 알파벳 A와 B를 이용해서 표시해요. 반직선 AB라고 하기도 하고, 기호로 로 표시하기도 해요. 선이 A에서 출발해서 B쪽 방향으로 계속되니까 B쪽 방향으로 화살표가 하나만 있어요.

선분은 직선 AB 위의 점 A에서 B까지의 부분을 말해요. 점에서 점까지 에요. 점을 넘어가는 건 아닙니다.

선분은 선분 AB라고 하기도 하고, 기호로는 로 표시해요. 선이 A에서 B로 끝나니까 화살표가 없는 그냥 선만 그어요.

반직선 AB()와 반직선 BA()는 달라요. 출발점이 다르잖아요. 반직선 AB는 출발점이 A이고, 반직선 BA는 출발점이 B에요. 두 반직선이 서로 같으면 출발점이 같아야 한다는 것도 잊지 마세요.

그 외 직선 AB와 직선 BA는 같고, 선분 AB와 선분 BA도 같아요.

아래 그림을 보고, 직선, 반직선, 선분으로 구분하시오.

위 그램에서는 선 양쪽으로 화살표가 하나도 없지요. 화살표가 어느 방향으로 나 있느냐를 보고 반직선의 방향을 찾기도 하거든요. 하지만 화살표가 표시되는 경우보다 표시되지 않는 경우가 훨씬 많아요. 이때는 선이 점을 지나서 더 이어지는지 아닌 지를 보고 판단해야 해요.

첫 번째 그림은 M, N이라는 두 점이 있는데, 선이 두 점을 모두 지나서도 연결이 되어 있네요. 그래서 이건 직선이고 두 점 M, N을 지나니까 직선 MN()입니다.

오른쪽 위의 그림에서는 점 M에서는 점 위에서 선이 끝나고, 점 N에서는 선이 계속 이어져 있죠? 그래서 점 M에서 출발해서 점 N으로 가는 반직선 MN()이네요.

왼쪽 아래 그림은 반대로 점 M에서는 계속 이어져 있고, 점 N에서는 끝나니까 점 N에서 출발해서 점 M으로 가는 반직선 NM()이고요.

마지막 오른쪽 아래 그림은 선이 모두 두 점에서 끝나니까 선분 MN()이에요.

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이번 글은 누적도수의 그래프를 그리는 방법에 대한 글로 통계 마지막 시간이에요.

통계는 크게 보면 두 가지에요. 용어 배우고, 표와 그래프를 그리는 거지요.

각 용어에 도수, 상대도수, 누적도수가 있어요. 각 용어에 맞게 표나 그래프 그리는 법을 익혀두세요.

누적도수의 그래프를 그리는 방법은 도수분포다각형이나 상대도수의 그래프 그리는 법과 딱 한 가지가 달라요. 바꿔 말하면 그 다른 한가지가 매우 중요하다는 거지요.

누적도수의 그래프 그리는 방법

1. 세로축에 누적도수를 가로축에 각 계급의 양 끝값을 적는다.
2. 각 계급의 끝값 중에 큰 쪽 끝값과 누적도수가 만나는 곳에 점을 찍는다. 이때 첫 번째 계급의 왼쪽 끝에 도수가 0인 점을 찍는다.
3. 각 점을 차례대로 선으로 연결한다.

2번이 다른 그래프와 다른 점이고 가장 중요한 부분이에요.

다른 그래프에서는 양 계급 끝값의 가운데, 즉 계급값 부분에 점을 찍었는데, 누적도수의 그래프에서는 계급값이 아니라 끝값 중 큰 값에 점을 찍어요.

그 계급의 누적도수 = 계급의 도수 + 앞 계급의 누적도수
계급의 도수 = 해당 계급의 누적도수 - 앞 계급의 누적도수

그래프를 보고 이웃한 두 계급의 누적도수를 알면 계급의 도수를 구할 수 있겠지요?

누적도수 그래프의 특징

오른쪽 위로 올라가는 모양이에요. 누적이라는 뜻 자체가 숫자가 커진다는 걸 의미하니까 오른쪽으로 갈수록 숫자가 커지고 그 때문에 오른쪽으로 갈수록 위로 올라가는 그래프가 돼요.

경사가 가장 급한 곳의 도수가 가장 커요. 경사가 크다는 말은 앞의 누적도수와 차이가 크다는 말이지요. 함수에서 기울기를 생각해보세요. x의 증가량에 해당하는 계급의 크기는 똑같아요. 여기에 y의 증가량에 해당하는 해당 계급의 도수 (그 계급의 누적도수 - 앞 계급의 누적도수)가 클수록 경사가 커지겠죠?

경사가 없는 계급은 도수가 0인 걸 말해요. 경사가 없이 평평하다는 건 "그 계급의 누적도수- 앞 계급의 누적도수 = 0" 라는 말이잖아요.

그래프에서 마지막 계급의 오른쪽 끝점의 누적도수는 도수의 총합과 같아요. 누적도수의 분포표에서 계급의 누적도수는 도수의 총합과 같았죠? 그래프에서도 마찬가지예요.

아래는 수학 점수를 구간별로 나눈 누적도수의 그래프이다. 그래프를 보고 물음에 답하여라.
(1) 도수가 가장 큰 계급의 계급값을 구하여라.
(2) 점수가 10번째로 높은 학생이 속한 계급을 구하여라.

(1)번 실제 도수를 구하지 않더라도 그래프에서 경사가 가장 큰 곳이 도수가 가장 큰 계급이라고 했어요. 위 그래프에서 경사가 가장 큰 곳은 80점 이상 90점 미만인 계급이네요. 문제에서 구하라고 한 것은 계급이 아니라 계급값이니까 (90 + 80) ÷ 2 = 85가 되겠네요.

(2)번 점수가 10번째로 높은 학생이니까 오른쪽에서 10번에 해당하는 학생, 즉 11에 해당하는 도수가 속한 구간을 찾아야겠지요. 11이라는 도수와 만나는 계급은 80점 이상 90점 미만이네요.

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도수, 상대도수라는 용어를 공부했어요.

이번 글에서 배울 용어는 누적도수라는 용어에요. 도수, 상대도수에서 사용하는 도수와 같은 도수인데, 앞에 누적이라는 말이 붙어있죠? 국어사전에서 누적이라는 말은 "포개어 여러 번 쌓음"이라고 되어있네요.

즉, 누적도수는 도수를 계속 쌓아가는 걸 말해요. 도수분포표에서 처음 계급부터 어떤 계급까지의 도수를 차례대로 더한 값이에요. 쉽게 말해서 계급의 도수에 앞에 있는 계급의 도수까지 모두 더한다고 생각하면 돼요.

어떤 계급의 누적도수 = 그 계급의 도수 + 처음 계급부터 앞 계급까지의 도수의 합
                                   = 그 계급의 도수 + 앞 계급의 누적도수

아래 표에서 왼쪽은 시험 점수를 10점 단위로 나눈 계급이고, 가운데는 점수별 학생 수에요. 오른쪽에는 누적도수를 나타낸 겁니다. 이 표처럼 각 계급의 누적도수를 표로 나타낸 것을 누적도수의 분포표라고 해요.

제일 처음 계급인 60점 이상 70점 미만인 학생 수는 1명이에요. 이보다 앞에는 계급이 없으니까 누적도수는 1이지요.

두 번째 70점 이상 80점 미만인 학생 수는 3명이에요. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만이라는 계급이 있고 도수가 1이에요. 그래서 1 + 3 = 4라는 누적도수를 갖게 돼요.

세 번째 80점 이상 90점 미만인 학생 수는 10명이에요. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만, 70점 이상 80점 미만이라는 두 개의 계급이 있고, 이 계급에는 각각 1, 3이라는 도수가 있어요. 1 + 3 + 10 = 14라는 누적도수를 갖게 돼요. 사실 70점 이상 80점 미만의 누적도수가 4였기 때문에 그냥 4 + 10 = 14로 계산해도 돼요.

네 번째 90점 이상 100점 미만인 학생 수는 6명이죠. 이보다 앞에는 60점 이상 70점 미만, 70점 이상 80점 미만, 80점 이상 90점 미만이라는 세 개의 계급이 있고, 이 세 계급의 누적도수는 14지요. 그래서 누적도수는 14 + 6 = 20이에요.

누적도수의 특징

누적도수에는 두 가지 큰 특징이 있어요. 첫 번째 그림인 누적도수의 분포표에서 빨간색으로 표시된 곳이요.

• 첫 번째 계급은 누적도수 = 도수
• 마지막 계급의 누적도수 = 도수의 총합

첫 번째 계급은 앞 계급이 없으니까 더할 게 0이어서 누적도수와 계급의 도수가 같아요.

마지막 계급의 누적도수는 그 이후로 더할 게 없죠. 더할 수 있는 건 다 더했다는 거예요. 그래서 총 도수와 마지막 계급의 누적도수가 같아요. 마지막 계급의 누적도수와 총 도수가 같으니까 누적도수의 합계란에는 빈 칸으로 두는 거예요.

누적도수는 어떤 대상이 자료 전체에서 차지하는 위치를 알고 싶을 때 사용해요. 예를 들어 90점인 학생은 전체에서 몇 등인가를 구할 때 그냥 도수분포표보다 훨씬 편리하지요.

아래 누적도수의 분포표를 보고, A, B, C, D의 값을 구하여라.

A는 첫 번째 계급의 누적도수이므로 계급의 도수와 같아요. A = 2네요.
B는 계급의 도수인 3과 앞 계급의 누적도수 A = 2를 더해서 5가 되고요.
C는 그냥 도수죠. 앞 계급의 누적도수인 5와 C를 더해서 16이어야 하므로 C = 11이어야 하고요.
D는 총 도수인데, 총 도수는 마지막 계급의 누적도수와 같죠? 마지막 계급의 누적도수가 20이므로 총 도수도 20입니다.

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상대도수의 분포표는 도수분포표에서 도수가 상대도수로 바뀐 것뿐이에요. 마찬가지로 상대도수의 그래프는 도수가 상대도수로 바뀐 것 빼고는 히스토그램이나 도수분포다각형과 완전히 다 같아요.

히스토그램은 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 도수였죠? 상대도수의 그래프는 가로축에 계급의 양 끝값, 세로축에 상대도수를 놓고 그래프를 그리면 돼요.

상대도수 그래프 그리기

1. 가로축에 각 계급의 양 끝값을 적는다.
2. 세로축에 상대도수를 적는다.
3. 히스토그램이나 도수분포다각형을 그리는 방법과 똑같은 방법으로 그래프를 그린다.

상대도수 그래프의 특징

상대도수 그래프는 각 계급의 도수가 전체에서 차지하는 비율을 쉽게 알 수 있고, 전체 도수가 다른 자료와 비교할 때 매우 편리해요.

아래는 상대도수와 상대도수의 분포표의 예제 문제에 나왔던 상대도수를 이용하여 그래프로 나타낸 겁니다.

단순히 표에서 숫자를 이용해서 비교할 때보다 그래프로 나와 있으니까 훨씬 더 쉽게 알아볼 수 있겠죠?

상대도수 그래프의 넓이

도수분포다각형에서 그래프와 가로축으로 이루어진 부분의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 전체 넓이와 같았어요.

상대도수의 그래프에서는 도수 대신 상대도수를 사용하니까 (계급의 크기) × (상대도수의 총합)이 되는데, 상대도수의 총합은 1이니까 넓이는 계급의 크기와 같죠.

도수분포다각형의 그래프와 가로축 사이의 넓이
     = 히스토그램 직사각형의 전체 넓이
     = (계급의 크기) × (도수의 총합)

상대도수의 그래프에서 그래프와 가로축으로 둘러싸인 넓이
= 계급의 크기

두 학급의 수학 점수를 상대도수 그래프로 나타낸 것이다. 파란색이 1반, 빨간색이 2반을 나타낼 때 물음에 답하여라.
(1) 1반에서 80점 이상 90점 미만인 학생 수가 10명이고 상대도수가 0.5일 때 1반의 전체 학생 수를 구하여라.
(2) 90점 이상인 학생 수의 비율이 더 높은 반은 몇 반인가?

(1)번에서 (상대도수) = (계급의 도수) ÷ (총 도수)에요. 1반의 전체 학생 수를 구하라고 했으니 총 도수를 구하란 말이네요. 식에 대입해 보죠.
0.5 = 10 ÷ x
x = 20
1반의 학생 수는 20명이네요.

(2)번에서는 실제 두 반에서 90점 이상인 학생이 몇 명인지 알 수도 없고, 상대도수도 몰라요. 하지만 그래프를 보면 그 숫자를 알지 못해도 누가 많은지는 알 수 있어요. 90점 이상 100점 미만의 계급에 1반의 선이 조금 더 위로 올라와 있죠? 따라서 90점 이상인 학생의 비율은 1반이 더 높다고 할 수 있겠네요.

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통계 단원에 점점 익숙해지고 있나요?

새로운 용어도 많이 나오고 표도 만들고 그래프도 그려야 해서 조금 어렵죠? 이 글에서도 새로운 용어와 표 만들기를 할 거예요. 하지만 어렵게 생각하지 마세요. 이미 공부했던 도수와 도수분포표에 숟가락 하나만 얹으면 되거든요.

상대도수

상대도수는 도수의 총합에 대한 각 계급의 도수의 비율을 말해요. 그러니까 전체에 대한 상대적인 크기죠. 상대도수를 식으로 쓰면 아래와 같아요.

계급의 상대도수 = (계급의 도수) ÷ (도수의 총합)

백분율 구할 때 어떻게 하나요? 전체 40개 중 20개의 백분율을 구할 때, 20 ÷ 40 × 100 = 50% 이렇게 구하죠? 상대도수를 구할 때는 뒤에 × 100만 빼주면 돼요. 전체 도수가 40이고, 어떤 계급의 도수가 20이면 이 계급의 상대도수는 20 ÷ 40 = 0.5인 거죠.

아래 표에서 총 도수는 20이고, 80점 이상 90점 미만의 도수가 10이죠. 그럼 80점 이상 90점 미만의 상대도수는 10 ÷ 20 = 0.5예요.

이런 식으로 각 계급의 상대도수를 모두 구하면 아래 표처럼 돼요.

도수를 표로 나타낸 것을 도수분포표라고 하지요? 그럼 상대도수를 위 표처럼 나타낸 표를 뭐라고 할까요? 바로 상대도수의 분포표라고 합니다. 도수분포표에서 도수만 상대도수로 바뀐 것뿐이에요.

상대도수의 특징

상대도수의 분포표에서 상대도수의 총합은 1이에요.

상대도수의 분포표의 제일 마지막 칸을 볼까요? 상대도수의 총합이 얼마로 나오나요? 상대도수를 다 더해보죠. 0.05 + 0.15 + 0.5 + 0.3 = 1이죠. 위 표에서만 그런 것이 아니라 모든 상대도수의 분포표에서 항상 1이에요.

상대도수는 각 계급의 도수에 비례해요.

상대도수 구하는 식을 보죠. 도수의 총합은 일정하고 바뀌는 건 도수밖에 없어요. 그러니까 도수에 비례하는 거예요.

그냥 도수도 있는데, 왜 굳이 상대도수라는 걸 구할까요? 상대도수가 유용할 때가 있기 때문이겠죠? 언제 유용하냐?

바로 도수가 너무 커서 전체를 조사하기 힘들 때예요. 예를 들어서 전체 도수의 총합이 100만이고, 어떤 계급의 도수가 30,000, 40,000 이러면 숫자가 크니까 알아보기가 쉽지 않잖아요. 이럴 때 상대도수를 이용해서 숫자를 작게 하는 거죠.

또 도수의 총합이 다른 두 개의 자료를 비교할 때도 사용해요. 1반과 2반의 수학 점수를 비교하는데, 1반은 학생이 20명이고 2반은 25명이라면 단순히 80점 이상 90점 미만 학생 수를 비교할 수는 없겠죠? 이럴 때 상대도수를 이용해서 비교해요.

다음은 두 학급의 수학 성적을 나타낸 상대도수의 분포표이다. 물음에 답하여라.
(1) A, B, C, D의 값을 구하여라.
(2) 두 반 중 90점 이상인 학생의 비율이 더 높은 학급은 어디인지 구하여라.

(1)번에서 A는 총 도수가 25이고, 도수가 3이니까 3 ÷ 25 = 0.12네요.

B는 두 가지 방법으로 구할 수 있어요. B ÷ 25 = 0.12에서 B = 0.12 × 25 = 3이라는 걸 알 수 있어요. 다른 방법으로 상대도수는 도수에 비례하니까 70점 이상 80점 미만의 도수, 상대도수와 비교할 수도 있고요. B : 0.12 = 14 : 0.56이라는 비례식을 만들 수 있죠.

C를 구해보죠. C는 도수도 비어있고, 상대도수도 비어있어서 다른 방법이 필요해요. 총 도수가 25니까 3 + B + 14 + C = 25가 되어야 해요. B는 위에서 3이었으니까 C = 5겠네요.

D는 5 ÷ 25 = 0.2가 되겠죠.

E는 상대도수의 총합인데, 상대도수의 총합은 무조건 1이에요. 따라서 E = 1입니다.

(2)번에서 90점 이상인 학생의 비율이 1반은 0.3이고 2반은 0.2니까 1반의 비율이 더 높군요.

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자료를 표(도수분포표)로 만드는 법, 그림(히스토그램)으로 그리는 법까지 공부해봤어요. 물론 도수분포표와 히스토그램을 분석하고 정보를 찾아내는 것도 해봤고요.

이번에는 두 가지가 아닌 다른 한 가지를 더 공부할 거예요. 그림을 그리는 방법이요.

자료를 여러 가지 방법으로 표현해보면서 각각 어떤 특징이 있는지, 어떤 장점이 있는지를 살펴보죠.

이번에 배울 내용은 도수분포다각형이라는 거예요.

도수분포다각형 그리는 방법

다각형은 각이 여러 개 있는 도형이죠? 도수분포다각형은 자료를 여러 개의 각을 가진 도형으로 표현한 그림을 말해요.

꺾은선 그래프와 닮아있어요.

그럼 도수분포다각형을 어떻게 그리느냐?

1. 히스토그램을 그리세요.
2. 히스토그램에서 각 사각형의 윗변의 가운데에 중점을 찍어요. 특히, 계급의 양끝에 도수가 0인 계급이 있다고 생각하여 그곳에도 중점을 찍어요.
3. 중점을 직선으로 연결하세요.

도수분포다각형을 그리는 것에 익숙해지면 굳이 히스토그램을 그리지 않아도, 계급과 도수가 만나는 곳에 점을 찍어서 그냥 그릴 수도 있겠지요.

도수분포다각형의 특징

그럼 도수분포표도 있고 히스토그램도 있는데, 굳이 또 도수분포다각형이라는 걸 왜 그리는 걸까요? 뭔가 장점이 있으니까 그리겠죠?

도수분포다각형은 변량과 도수의 분포상태를 연속적으로 관찰할 수 있어요. 꺾은선으로 되어있어서 변량과 도수의 분포의 흐름을 연속적으로 판단하기가 쉬워요.

아래에서 빨간색 선만 보면 점수가 어떻게 바뀌는지를 표에서보다 더 알아보기 쉽죠.

또 서로 다른 변량을 이용해서 그린 둘 이상의 도수분포다각형을 한 곳에 겹쳐서 그리면 서로를 비교하기 편리한 장점도 있어요.

히스토그램에서는 전체 직사각형의 넓이를 구했더니 어떤 특징이 있었죠? (계급의 크기) × (총 도수)와 같았어요. 도수분포다각형에도 넓이에 특별한 성질이 있어요.

도수분포다각형에서 선과 가로축 사이의 넓이를 구해볼까요? 선이 여러 번 꺾여있어서 넓이를 구하기가 어렵죠? 어떻게 구하냐면, 도수분포다각형 선 밖에 파란색으로 점 찍어진 곳의 넓이와 선 안의 파란색으로 점 찍어진 빈 곳의 넓이가 같아요. 빨간색 점도 그렇고, 녹색 점도 그렇지요.

결국, 도수분포다각형의 넓이를 구하는 것과 히스토그램의 직사각형의 넓이를 구하는 게 같아요.

도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 도형의 넓이
     = 히스토그램의 직사각형의 전체 넓이
     = (계급의 크기) × (도수의 총합)

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도수분포표에 대해서 알아봤어요. 여러 개의 자료로 표를 만들면 자료의 위치나 흐름 등을 쉽게 파악할 수 있는 장점이 있어요.

이번 글에서 공부할 히스토그램은 도수분포표에서 한 발 더 나가서 표가 아니라 그림으로 그리는 거예요. 그림이 글자보다 직관적이고 이해하기가 쉽잖아요.

히스토그램이 무엇인지, 히스토그램을 어떻게 그리는지 알아보죠.

히스토그램

도수분포표는 아래 표처럼 생겼어요. 왼쪽 칸에는 계급을 쓰고 오른쪽 칸에는 도수를 적지요. 제일 아랫줄에는 도수의 총합을 적어요.

아래는 도수분포표 만드는 법에서 사용한 수학 점수를 도수분포표로 나타낸 거예요.

이 도수분포표의 왼쪽에 있는 계급을 가로축에, 오른쪽 칸에 있는 도수를 세로축에 표시해서 직사각형 모양으로 나타낸 그래프가 바로 히스토그램이에요.

히스토그램으로 그리면 아래처럼 생겼어요.

히스토그램 그리는 방법

위에서 설명한 것처럼 히스토그램의 가로축에는 도수분포표에서의 계급의 양 끝값을, 세로축에는 도수를 써요. 눈금과 눈금 사이가 아닌 눈금선이 있는 부분에 계급의 양 끝값과 도수를 써야 해요.

그리고 실제 사용하는 계급 앞과 뒤에 한 칸씩을 더 만드세요.

각 계급을 가로로, 도수를 세로로 하는 직사각형을 그려요. 주의할 건 눈금에 다 채워서 그려야 해요. 옆의 직사각형과 바로 붙도록 그립니다. 아래 그림처럼 직사각형 사이가 서로 떨어져 있으면 안 돼요. 앞의 그림은 제대로 된 히스토그램, 아래 그림은 잘못된 히스토그램입니다.

히스토그램의 특징

히스토그램은 그림(그래프)이므로 자료의 분포 상태를 도수분포표보다 좀 더 쉽게 알아볼 수 있어요. 글자보다 그림이 이해하기 쉬운 건 당연하잖아요.

히스토그램에서 한 계급의 직사각형의 넓이를 한 번 구해볼까요? 한 계급에서 가로의 길이는 계급의 크기와 같아요. 세로의 길이는 도수와 같죠. 그래서 직사각형의 넓이는 (계급의 크기) × (계급의 도수)가 되겠죠? 60점 이상 70점 미만의 직사각형의 넓이는 10 × 1 = 10, 70점 이상 80점 미만의 직사각형의 넓이는 10 × 3 = 30 이렇게 구할 수 있죠.

그런데 가로에 있는 계급의 크기는 계급이 달라도 모두 일정해요. 따라서 직사각형의 넓이는 도수에 비례해요.

다음이 중요한 내용인데요. 전체 직사각형의 넓이를 구해볼까요? 각각의 직사각형의 넓이를 다 더하면 되겠죠? 60점 이상 70점 미만은 10, 70점 이상 80점 미만은 30, 80점 이상 90점 미만은 10 × 10 = 100, 90점 이상 100점 미만은 10 × 6 = 60이죠. 10 + 30 + 100 + 60 = 200이네요.

이번에는 (계급의 크기) × (총 도수)를 구해볼까요? 10 × (1 + 3 + 10 + 6) = 10 × 20 = 200이에요. 위에서 구한 직사각형의 넓이와 같죠?

직사각형의 전체 넓이 = {(계급의 크기) × (도수)}의 총합 = (계급의 크기) × (총 도수)

아래 히스토그램을 보고 아래 물음에 답하여라.
(1) 계급값이 85점인 계급의 도수를 구하여라.
(2) 계급값이 95점인 계급의 직사각형의 넓이는 60점 이상 70점 미만인 계급의 직사각형의 넓이의 몇 배인가?

(1)에서 계급값이 85이므로 계급은 80점 이상 90점 미만이 되겠죠? 이 계급에서 막대의 세로가 도수니까 10이네요.

(2)는 계급값이 95점인 계급은 90점 이상 100점 미만인데, 이때의 도수는 6이에요. 60점 이상 70점 미만인 계급의 도수는 1이고요. 넓이는 도수에 비례한다고 했으니까 두 계급의 직사각형의 넓이를 비교할 때는 실제 넓이가 아닌 도수만 비교해도 돼요. 6/1 = 6이라서 넓이는 6배 입니다.

히스토그램과 막대그래프의 차이

히스토그램은 얼핏 보면 막대그래프와 닮았어요. 그런데 왜 막대그래프가 아닌 히스토그램을 그릴까요?

막대그래프는 보통 연속되지 않는 자료들을 그래프로 그릴 때 사용해요. 사과는 몇 개, 수박은 몇 개, 이럴 때 사용하죠. 수박과 사과는 서로 연결할 수 없잖아요.

히스토그램은 60 ~ 70점, 70 ~ 80점, … 처럼 서로 연속된 자료를 나타낼 때 사용합니다. 첫 번째 계급의 끝값인 70점과 두 번째 계급의 70점이 서로 연결되잖아요.

그래프를 보면 가장 눈에 띄는 게 있어요. 히스토그램은 막대가 서로 붙어 있고, 막대그래프는 벌어져 있어요. 위에서 설명한 연속이냐 연속하지 않느냐의 차이 때문에 생기는 건데요. 60 ~ 70, 70 ~ 80은 연속하니까 죽 붙여서 그려야 하는 거지요.

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도수분포표에서 사용하는 용어를 공부했고 도수분포표를 만드는 법도 공부했어요. 도수분포표에서 원하는 정보를 읽어내는 요령도 생겼지요.

이제는 도수분포표를 보고 그 표에 나와 있지 않은 정보를 유추해내는 방법을 공부할 거예요. 바로 도수분포표를 보고 변량의 평균을 구하는 거지요.

도수분포표를 이용해서 구한 평균과 실제 변량의 평균 사이에는 어떤 관계가 있는지도 알아보자고요.

평균

대푯값은 자료의 특징이나 자료 전체의 경향을 대표할 수 있는 값으로 중앙값이나 최빈값 등이 있어요. 중앙값은 계급값을 할 때 살짝 들어본 기억이 나나요? 계급값은 계급의 중앙값, 그러니까 (계급의 양 끝값의 합) ÷ 2라고 했었지요?

대푯값은 딱 하나만 있는 게 아니고 여러 개가 있어요.

평균은 대푯값 중의 하나입니다. 평균 구하는 공식은 모두 알고 있죠?

도수분포표에서 평균 구하기

도수분포표에서 평균을 구할 때는 위 공식에서 오른쪽에 있는 내용을 이용해요.

도수분포표에서는 도수의 총합을 구할 수 있죠? 그런데 변량의 총합을 구할 수 없어요. 변량이 나오지 않으니까요. 그럼 평균을 구할 수 없을까요?

정확한 평균을 구할 수는 없지만 대략적인 평균을 구할 수는 있어요. 도수의 총합은 정확하게 구할 수 있지만 변량의 총합을 구할 수 없으니까 대략적인 변량의 총합을 구하는 거죠.

도수분포표에서 평균을 구할 때는 아래 순서로 해요.

1. 각 계급의 계급값을 구한다.
   계급값은 위에서 설명한 것처럼 그 계급을 대표하는 대푯값의 한 종류에요. 정확한 값을 구할 수 없으므로 대표할 수 있는 값을 이용합니다.
2. 각 계급의 (계급값) × (도수)를 구한다.
   대푯값인 계급값을 이용해서 계급의 대략적인 총합을 구하는 거예요. 각 계급의 도수는 도수분포표에서 바로 알 수 있죠?
3. (계급값) × (도수)을 모두 더한다.
   계급별로 구한 (계급값) × (도수)를 모두 더하여 변량의 총합을 대신합니다.
4. (계급값) × (도수)의 총합을 도수의 총합으로 나눈다.

아래는 도수분포표 만드는 법 예제에 있는 변량과 도수분포표에요. 이걸 이용해서 도수분포표에서 평균을 구해보죠.

구하는 평균은 1710 ÷ 20 = 85.5군요.

변량을 이용해서 실제 평균을 구해볼까요? 역시 같은 예제에 있는 변량입니다.

92     88     76     90     96
72     84     82     86     74
90     86     94     88     68
82     84     86     98     84

20개의 값을 다 더한 다음에 20으로 나눠볼게요. 다 더했더니 1700이네요. 1700 ÷ 20 = 85군요.

실제로 구한 평균과 도수분포표를 이용해서 구한 평균이 다르죠? 도수분포표를 이용한 평균은 정확하진 않지만 차이가 많이 나지 않아서 변량의 분포라든가 위치 등을 파악하는데 큰 어려움은 없어요.

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