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위치관계 또 나오네요.

이번에는 두 원의 위치관계에요.

위치관계 마지막이니까 정신 바짝 차리고 따라오세요.

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서 했던 것처럼 두 원이 어떤 관계가 있는지 그때 반지름과 두 원 사이의 거리는 어떻게 되는지 알아보죠.

또, 외접과 내접이라는 용어도 나오는데, 어떤 용어인지 그 뜻도 알아보자고요.

두 원의 위치관계

원과 직선의 위치관계, 원의 할선과 접선, 접점에서는 원의 반지름과 원과 직선 사이의 거리를 이용해서 위치관계를 알아봤죠?

이번에도 같은 방법으로 두 원의 위치관계를 알아볼 꺼에요. 원과 원 사이의 거리는 두 원의 중심 사이의 거리(중심거리)를 이용하고, 두 원의 반지름은 모두 이용합니다. 정확히 말하면 반지름의 합과 차를 이용해요.

두 원을 각각 O, O'이라고 해볼까요? 그리고 원 O의 반지름을 r, 원 O'의 반지름을 r', 두 원의 중심 사이의 거리를 d라고 해보지요.

두 원의 위치관계 - 두 점에서 만나는 경우

첫 번째로 두 원이 두 점에서 만나는 경우가 있어요. 원이 두 점에서 만난다는 얘기는 서로 겹친다는 거지요? 두 원이 서로 겹치려면 작은 원의 반지름보다 가까운 거리에서 만나야 해요. 그래서 두 원의 반지름을 더한 값이 중심거리보다 커야 하지요. r + r' > d가 되어야 해요.

그럼 r + r' > d만 되면 될까요? 자 (5)번 그림을 한 번 보세요. (5)번은 r + r' > d에요. 그런데 두 점에서 만나지 않죠? 따라서 두 점에서 만나는 경우에는 r + r' > d말고 다른 조건이 또 필요해요. 어떤 조건이냐면 r' - r < d라는 조건이에요. 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 작아야 한다는 거에요.

결과적으로 두 원이 두 점에서 만나려면 r' - r < d < r + r'가 되어야 해요.

두 원의 위치관계 - 한 점에서 만나는 경우, 내접, 외접

두 번째는 두 원이 한 점에서 만나는 경우예요. 한 점에서 만나는 경우는 두 가지가 있는데, 하나는 (2)번처럼 작은 원이 큰 원의 바깥에 있으면서 한 점에서 만나는 경우가 있어요. 이때는 두 원의 반지름을 더한 것이 중심거리와 같은, r + r' = d가 되어야 해요. 이때를 서로 바깥에서 만난다고 해서 외접이라고 해요.

다른 경우는 (3)번처럼 작은 원이 큰 원의 안쪽에 들어있으면서 한 점에서 만나는 경우예요. 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리와 같아야 하죠. 즉, r' - r = d가 되어야 해요. 이때는 큰 원의 안에서 만난다고 해서 내접이라고 해요.

두 원의 위치관계 - 만나지 않는 경우, 외부에 있을 때, 내부에 있을 때, 동심원

세 번째는 만나지 않는 경우예요. 만나지 않는 경우는 세 가지가 있어요.

(4)번처럼 두 원이 완전히 떨어져서 만나는 않는 경우예요. 이때는 두 원의 반지름의 합보다 중심거리가 더 길어야겠죠? r + r' < d에요.

(5)번은 작은 원이 큰 원의 안에 있으면서 서로 만나지 않는 경우예요. (3)번과 다르죠? 이때는 큰 원의 반지름에서 작은 원의 반지름을 뺀 것이 중심거리보다 커야 해요. d < r' - r이죠.

(6)번은 아주 특이한 경우인데요. 두 원의 중심이 같고 반지름이 다른 경우예요. 두 원의 중심이 같으니까 중심거리가 0이에요. d = 0, r ≠ r' 인 경우죠. 두 원의 위치관계에서는 특별히 얘기하지 않으면 두 원의 반지름이 다른 것으로 보기 때문에 d = 0만 써도 크게 상관은 없어요.

이처럼 중심이 같고, 반지름이 다른 원을 동심원이라고 합니다.

아래 표처럼 정리할 수 있어요.

표를 다 외울 필요는 없어요. 이걸 외우는 건 정말 멍청한 짓이에요. 왜 이런 표가 나왔는지를 이해하면 됩니다. 특히 두 점에서 만날 때 r' - r 가 왜 나오는지에 대해서 이해하세요.

두 원의 위치관계 찾기

두 원의 위치관계를 알고 싶을 때는 두 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리가 합과 차의 사이에서 어디에 있는지를 보면 돼요.

만약 중심거리가 차보다 작으면 내부에, 차와 같으면 내접, 차와 합 사이면 두 점에서 만나고, 합과 같으면 외접, 합보다 크면 외부에 있어요. 아래 그림이 무슨 내용인지 이해하겠죠? 위 표를 이해하는 것보다는 훨씬 쉬울 거에요.

중심선, 중심거리, 공통현

두 원의 중심 사이의 거리를 중심거리라고 한다고 했어요.

이외에도 두 원의 위치관계에서 사용하는 용어에는 중심선과 공통현이라는 게 있어요.

중심선은 두 원의 중심을 연결한 직선이에요.

공통현은 두 원이 두 점에서 만날 때에만 생겨요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 현은 원에서 두 점을 연결한 직선이라고 했어요. 두 원이 만나는 두 점을 연결하면 현이 생기는데 이 현은 두 원 양쪽 모두에 공통으로 들어있어서 공통현이라고 불러요.

여기서도 두 원이 한 점에서 만날 때 그 점을 접점이라고 해요. 주의할 건 접점은 한 점에서 만날 때(내접, 외접)만 사용하는 용어에요. 두 점에서 만날 때는 접점이라는 용어를 사용하지 않아요.

중심선은 공통현을 수직이등분해요. 참고로 알아두면 문제 푸는 데 도움이 될 거에요.

반지름의 길이가 3cm, 5cm인 두 원이 있다. 중심거리 d가 아래와 같을 때 두 원의 위치관계를 말하여라.
(1) d = 4cm
(2) d = 8cm
(3) d = 12cm

이 문제를 풀 때는 큰 원의 반지름과 작은 원의 반지름의 합과 차를 미리 구하세요. 그리고 중심거리와 비교하면 쉬워요.

r + r' = 3cm + 5cm = 8cm, r' - r = 5cm - 3cm = 2cm입니다.

(1) d = 4cm이면 2cm보다는 크고 8cm보다는 작죠? 반지름의 차보다 크고 합보다 작을 때는 두 원이 두 점에서 만나는 경우였죠?

(2) d = 8cm이면 두 원의 반지름의 합과 같네요. 합과 같으면 외접, 즉 한 점에서 만나는 경우에요.

(3) d = 12cm이면 두 원의 반지름의 합보다 커요. 따라서 두 원은 외부에 있으면서 만나는 않는 경우가 되겠네요.

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원을 공부했으니까 이제는 원의 위치관계에 대해서 알아볼 거예요. 점, 선, 면을 공부할 때 점, 선, 면의 위치관계에 대해서 알아봤잖아요.

평면에서 점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계
공간에서 두 직선의 위치관계, 평면과 직선의 위치관계

간단하게 정리해볼까요?

점과 직선의 위치관계: 직선이 점을 지난다. 지나지 않는다의 두 가지
평면에서 두 직선의 위치관계: 한 점에서 만난다. 평행, 일치의 세 가지
공간에서 두 직선의 위치관계: 평면에서 두 직선의 위치관계 + 꼬인위치
공간에서 평면과 직선의 위치관계: 직선이 평면에 포함, 한 점에서 만난다. 평행

이번에 위치관계가 나와요. 다음 글에서도 위치관계가 하나 더 나오죠. 위치관계가 많이 나와서 헷갈릴 수 있어요. 그러니까 주의 깊게 보세요.

원과 직선의 위치관계

원과 직선의 위치관계에는 만나지 않을 때, 한 점에서 만날 때, 두 점에서 만날 때의 세 가지 경우가 있어요. 세 점 이상에서 만나는 경우는 없어요.

원의 반지름의 길이를 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 하고, r과 d의 크기를 비교해볼까요?

점과 직선 사이의 거리를 구할 때 어떻게 했죠? 점과 직선 사이의 거리 중에 가장 짧은 거리, 즉 점에서 직선으로 내린 수선의 길이를 구했어요. 원의 중심과 직선 사이의 거리도 마찬가지 방법으로 구해요.

원과 직선이 두 점에서 만날 때를 생각해보세요. 원과 직선이 두 점에서 만나려면 원의 중심과 원 사이에 직선이 있어야 해요. 따라서 원의 중심과 직선 사이의 거리는 반지름보다 짧을 수밖에 없죠. d < r이 되어야 하죠.

한 점에서 만날 때는 원의 중심과 직선 사이의 거리와 반지름이 같아야 해요. 원은 기본적으로 원의 중심에서 같은 거리에 있는 점들로 이루어져 있어요. 이 점 중의 하나가 바로 직선위의 점인 경우죠. d = r이에요.

서로 만나지 않을 때는 원보다 직선이 바깥에 있어야 해요. 원의 중심과 직선 사이의 거리가 반지름보다 길어야겠죠? 따라서 d > r이에요.

할선과 접선, 접점

원과 직선의 위치관계는 세 가지가 있다고 했어요. 이 위치관계에 따라 직선의 이름을 다르게 불러요. 어떻게 부르는지 알아보죠.

원과 직선이 두 점에서 만날 때, 이 직선을 할선이라고 해요. 분할하는 선이라는 뜻이죠. 원을 둘로 나누는 선이라서 할선이라고 불러요.

또 원과 직선이 한 점에서 만날 때, 이 직선을 접선이라고 해요. 원과 접촉하는 선이라는 뜻이죠. 그리고 이때 원과 직선이 만나는 그 한 점을 접점이라고 해요. 반지름과 접선은 접점에서 항상 수직이에요.

원과 직선이 만나지 않는 경우에는 따로 생각할 게 없네요.

원의 반지름을 r, 원의 중심과 직선사이의 거리를 d라고 할 때, 아래 경우에서 원과 직선의 위치관계를 말하여라.
(1) r = 5cm, d = 3cm
(2) r = 5cm, d = 5cm
(3) r = 5cm, d = 7cm
(4) r = 14cm, d = 15cm

(1)에서 r > d 에요. d가 더 짧으니까 원안에 직선이 있다는 뜻이죠. 이 때는 두 점에서 만나는 경우겠네요.

(2)는 r = d네요. 원의 반지름과 직선과의 거리가 같을 때요. 따라서 원과 직선이 한 점에서 만나는 경우가 되겠군요.

(3)은 r < d에요. 원의 중심과 직선의 거리가 반지름보다 크기 때문에 원 밖에 직선이 있어요. 이 때는 원과 직선이 만나지 않는 경우죠.

(4)는 r < d네요. (3)처럼 원과 직선이 만나지 않는 경우입니다.

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원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 원과 그 친구들에 대해서 알아봤어요.

이제는 원에 대해서 조금 더 알아보죠. 초등학교 때 원의 넓이와 원의 둘레를 구했는데, 공식 기억하고 있죠?

원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식
원의 둘레 = 반지름 × 2 × 3.14
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14

솔직히 원의 넓이와 원의 둘레를 구하는 게 계산하기 귀찮았잖아요. 조금만 실수해도 틀렸다고 하고.

이제 이런 걱정할 필요가 없어요. 원의 둘레, 원의 넓이를 구하는 방법이 매우 쉬워졌거든요.

원주율

원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 말해요. 이건 초등학교 때 이미 공부했어요. 숫자로 하면 얼마라고 했나요? 3.14죠.

이제 중학교에서는 3.14라는 걸 쓰지 않아요. 왜냐? 계산하기 복잡할 뿐만 아니라 3.14가 정확한 숫자가 아니니까요.

중학교에서는 3.14 대신에 π라는 걸 써요. 파이라고 읽어요. 한글 모음 ㅠ처럼 생겼는데, 아래에 세로로 그어진 부분의 끝을 왼쪽과 오른쪽으로 살짝 나오게 써요. 앞으로 계산할 때 3.14 대신에 π를 쓰세요.

원의 둘레와 원의 넓이

원의 둘레 길이와 원의 넓이 구하는 공식이 아래처럼 바뀌었어요.

반지름의 길이를 r (Radius), 원의 둘레의 길이를 l(Length), 원의 넓이를 S(Square)라고 해보죠.

원의 둘레 길이(원주, l)와 넓이(S)
l = 2 × 반지름 × 3.14 = 2πr
S = 반지름 × 반지름 × 3.14 = πr²

예를 들어 반지름이 10cm인 원의 둘레는 10cm × 2 × 3.14 = 62.8cm라고 하지 않고, 2 × π × 10cm = 20πcm라고 써요.

넓이는 10cm × 10cm × 3.14 = 314cm²이 아니라 π × (10cm)² = 100πcm²이라고 하고요.

3.14를 곱하지 않아도 되니까 계산이 훨씬 간결해졌죠?

부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이

이번에는 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이에 대해서 생각해보죠.

부채꼴에서도 원의 반지름은 r(Radius), 부채꼴의 호의 길이를 l(Length), 부채꼴의 넓이를 S(Square), 중심각의 크기를 x°라고 해보죠.

부채꼴에서 호의 길이는 부채꼴의 중심각에 정비례한다고 했어요. 원의 중심각이라는 용어는 없지만 원도 부채꼴처럼 중심에 각이 있죠? 한 바퀴 뺑 돌았으니까 이 각의 크기는 360°잖아요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 부채꼴의 중심각에서 부채꼴의 호의 길이를 구하는 예제에서 비례식을 이용해서 풀었었죠? 여기서도 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 둘레 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴 호의 길이
360 : 2πr = x : l
360 × l = 2πr × x
l = 2πr × x ÷ 360

부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례한다는 사실을 이용해서 비례식으로 풀어보죠.

원의 중심각 : 원의 넓이 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴의 넓이
360 : πr² = x : S
360 × S = πr² × x
S = πr² × x ÷ 360

부채꼴 호의 길이(l)와 넓이(S)

넓이 구하는 공식이 두 개죠? 아래에 있는 공식은 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식이에요.

가끔은 부채꼴의 중심각을 가르쳐주지 않고 부채꼴 호의 길이를 알려주고 넓이를 구하는 경우도 있거든요. 부채꼴 호의 길이를 이용할 수 있도록 넓이 구하는 공식을 조금 변형하면 돼요.

아래 그림을 보고 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를 구하여라.

(1)은 도넛 모양이네요. 색칠한 부분 전체의 둘레는 바깥에 있는 큰 원의 둘레와 안에 있는 작은 원의 둘레를 더해줘야겠죠?
바깥 큰 원의 둘레 = 2πr = 2π × 6 = 12π
안쪽 작은 원의 둘레 = 2πr = 2π × 4 = 8π
전체의 둘레 = 12π + 8π = 20π(cm)네요.

넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼줘야겠죠?
큰 원의 넓이 = πr² = π6² = 36π
작은 원의 넓이 = πr² = π4² = 16π
36π - 16π = 20π(cm²)군요.

오른쪽 (2)에서는 45°만큼 비어있어요. 따라서 이 부채꼴의 중심각은 (360° - 45°) = 315°예요.

둘레의 길이는 중심각이 315°인 부채꼴 호의 길이에 반지름 6cm를 두 번 더해줘야겠죠?
부채꼴 호의 길이 = 2πr × x ÷ 360 = 2π × 6 × 315 ÷ 360 = 10.5π
색칠한 부분 둘레의 길이는 (10.5π + 12)cm군요.

넓이는 중심각이 315°인 부채꼴의 넓이를 구하면 되겠네요.
부채꼴의 넓이 = πr² × x ÷ 360 = π6² × 315 ÷ 360 = 31.5π(cm²)입니다.

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다각형에 이어 이번에는 원이에요.

다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이었어요.

이번에는 선분이 아닌 것들로 둘러싸인 도형을 공부할 거예요. 바로 원과 그 친구들이죠.

원은 초등학교 때 지름, 반지름, 넓이 구하는 걸 하면서 공부했어요. 그때의 내용이 또 나와요. 하지만 고맙게도 계산은 훨씬 쉬워졌어요. 기대하세요.

원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴

원은 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형이에요. 그리고 그 한 점을 원의 중심이라고 하고, 일정한 거리를 우리는 반지름이라고 하지요.

호는 원의 일부분인데, 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부를 말해요. 이때 양 끝점이 A, B이면 호 AB라고 부르고 기호로 로 나타내요. 선분 AB는 AB 위에 반듯한 선을 그어서 로 표시했는데, 호는 AB 위에 곡선을 그어서 표시해요.

A와 B를 양 끝점으로 하고, 중간에 점 C를 지나는 호는 정확한 경로를 알 수 있게 호 ACB라고 불러요.

현은 원 위의 두 점을 이은 선분을 말해요. 현이 지나는 두 점이 AB이면 현 AB라고 부르고 기호로 로 표시해요. 현은 반듯한 선분이라서 기호도 그냥 선분 기호를 사용해요.

현 중에서 원의 중심을 지나는 현을 지름이라고 하고, 지름은 현 중에서 길이가 가장 길어요.

활꼴은 이름 그대로 활처럼 생겼어요. 호와 현으로 이루어진 도형을 말해요.

부채꼴은 부채모양처럼 생겼고요. 호와 원의 반지름 두 개로 이루어진 도형이에요. 부채꼴에는 두 반지름이 원의 중심에서 만나서 생기는 각이 있지요? 이 각을 부채꼴의 중심각이라고 불러요.

부채꼴과 중심각

부채꼴의 중심각은 중요한 의미가 있어요. 바로 중심각에 따라 부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 달라지기 때문이죠.

하나의 원이나 합동인 두 원에서

• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
• 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
• 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
• 부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.

위에서 ∝ 표시는 정비례 표시에요. 중심각이 2배, 3배로 커지면 그에 따라 부채꼴 호의 길이도 2배, 3배로 길어진다는 뜻이에요. 부채꼴의 넓이도 마찬가지고요. 단, 현의 길이는 정비례하지 않아요.

아래 그림을 보고 x의 길이를 구하시오.

위 그림에서 x는 부채꼴 호의 길이에요. 한 원에서 부채꼴의 중심각과 부채꼴 호의 길이는 정비례한다고 했어요.

위에 있는 부채꼴의 중심각은 40°이고, 호의 길이는 xcm예요. 아래에 있는 부채꼴의 중심각은 120°이고 호의 길이는 9cm고요. 정비례하니까 비례식으로 풀어보죠.

40° : xcm = 120° : 9cm
120° × xcm = 40° × 9cm
x = 40 × 9 ÷ 120
x = 3

x는 3cm네요.

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다각형에서 내각과 외각의 용어에 대해 이해하고 있죠?

삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 공부한 내용을 정리해보죠.

내각의 크기의 합 = 180°
외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
외각의 크기의 합 = 360°

그럼 이번에는 삼각형이 아니라 사각형, 오각형 등의 내각의 크기의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼까요.

그리고 일반적인 다각형, 그러니까 n각형에서의 내각과 외각의 성질에 대해서 알아보죠.

다각형 내각의 크기의 합

다각형의 내각의 크기의 합은 아주 간단하게 구할 수 있어요.

위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요. 한 점에서 대각선을 그어봤어요. 삼각형이 몇 개씩 생겼나요?

사각형은 두 개, 오각형은 세 개, 육각형은 네 개의 삼각형이 있어요.

대각선의 개수구하기, 대각선의 개수 공식에서 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)이라는 걸 공부했어요. 삼각형의 개수는 대각선의 수보다 하나 더 많으니까 (n - 3) + 1 = (n - 2)개예요.

내각의 크기를 어떻게 구하는지 대충 감이 오죠?

삼각형 내각의 크기의 합은 180°에요. 다각형의 한 점에서 대각선을 그어서 삼각형이 몇 개 들어있는지 세어본 다음에 삼각형 개수에 180°를 곱하면 다각형 내각의 크기의 합을 알 수 있어요.

삼각형 내각의 크기의 합을 구하면 n = 3을 대입해서 180° × (3 - 2) = 180°로 나오는군요.

그냥 다각형이라면 한 내각의 크기를 구할 수는 없겠지만 정다각형은 한 내각의 크기를 구할 수 있겠죠? 정다각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 다각형이잖아요. 내각의 크기가 모두 같으니까 크기의 합을 나눠주면 구할 수 있겠지요.

정n각형 한 내각의 크기 = {정n각형 내각의 크기의 합} ÷ n
                                   = {180° × (n - 2)} ÷ n

n각형 내각의 크기의 합 = 180° × (n - 2)
정n각형 한 내각의 크기 = 

다각형의 외각의 크기

다각형의 외각의 크기의 합은 그림이 아니라 식으로 설명해 볼게요. 잘 따라오세요.

다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내각과 외각의 성질에 대해서 기억하고 있죠? 다각형에서 한 내각의 크기와 이웃한 외각의 크기의 합은 항상 180°라고 했어요.

다각형이 n각형이라면 각이 n개 있겠죠? 그러니까 전체 내각과 외각의 크기의 합은 180° × n이 될 거예요. 이걸 식으로 써보죠.

(내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180° × n
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (내각의 크기의 합)                ←   (내각의 크기의 합)을 이항
(외각의 크기의 합) = 180° × n - {180° × (n-2)}                  ←   n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n-2)
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n - 180° × 2)        ←   분배법칙
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n) + 360°
(외각의 크기의 합) = 360°

약간 복잡하긴 하지만 위 계산 과정을 거치면 다각형의 외각의 크기의 합은 360°라는 결과가 나와요.

삼각형, 사각형, 오각형과 관계없이 다각형의 외각의 크기의 합은 모두 360°로 일정해요.

그럼 정n각형의 한 외각의 크기는 얼마일까요? 전체가 360°니까 n으로 나눠주면 되겠네요.

n각형 외각의 크기의 합 = 360° 
정n각형 한 외각의 크기 = 

다음 다각형의 내각의 크기의 합과 한 내각의 크기, 외각의 크기의 합과 한 외각의 크기를 차례로 구하여라.
(1) 정오각형
(2) 정십각형
(3) 정십오각형

n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합은 정다각형이 아니어도 구할 수 있지만, 한 내각의 크기, 한 외각의 크기는 정n각형에서만 구할 수 있어요. 문제에서는 정n각형이네요. 표로 한 번 해볼까요?

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다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 내각과 외각이 무엇인지 알아봤어요. 내각은 이웃하는 두 변으로 이루어진 각으로 다각형의 안쪽에 있고, 외각은 한 변의 연장선과 이웃한 변이 이루는 각으로 다각형의 바깥쪽에 있어요.

항상 하는 거지만 기본적인 도형의 용어에 대해서 공부하고, 그다음은 삼각형을 공부해요. 이 삼각형의 내용을 확장해서 사각형, 오각형……… 등의 다각형으로 넓히는 거고요.

이 글에서는 내각과 외각 중에서 삼각형의 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼 거예요. 공식 아닌 공식이니까 꼭 외워두세요.

삼각형의 내각의 합

삼각형 내각의 크기의 합은 180°

△ABC가 있어요. 점 A를 지나고 변BC에 평행한 직선 DE를 그었어요.

그랬더니 ∠DAB와 ∠EAC가 생겼죠?

평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각에서 평행선과 한 직선이 만나서 생기는 동위각의 크기는 같다고 했어요. 물론 엇각도 서로 크기가 같고요.

∠DAB는 ∠B와 엇각이에요. 그리고 ∠EAC는 ∠C와 엇각이지요. ∠DAB = ∠B, ∠EAC = ∠C예요.

△ABC의 내각의 크기의 합을 구해보죠.

∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠DAB + ∠EAC = ∠DAE = 180° (평각)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

삼각형 세 내각의 크기의 합 = 180°

삼각형의 모양이 어떤 것이든 상관없어요. 직삼각형이든 정삼각형이든 그냥 삼각형이든 모두 내각의 크기의 합은 180°에요.

삼각형 외각의 크기, 외각의 합

삼각형의 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다.

이번에는 조금 복잡하니까 그림을 잘 보세요.

△ABC가 있어요. 우선 변 AB와 변 BC의 연장선을 그어요. 그리고 변 AB와 평행하고 점 C를 지나는 직선을 그렸어요. 직선 CE라고 할게요.

마찬가지로 변 AB의 연장선과 직선 CE는 평행선이니까 동위각과 엇각의 크기가 같겠죠?

∠ACE는 ∠A와 엇각이고요, ∠ECD는 ∠B와 동위각이에요. ∠ACE = ∠A, ∠ECD = ∠B

점 C의 외각의 크기는 ∠ACE + ∠ECD = ∠A + ∠B가 되지요. 점 C의 외각의 크기는 삼각형의 세 내각 중 ∠C를 뺀 나머지 두 내각의 합인 걸 알 수 있어요.

한 꼭짓점에서 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다고 할 수 있어요.

여기에 다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내용을 하나 더 붙여서 (외각의 크기) = 180° - (내각의 크기)라는 것까지 알아두세요.

삼각형의 외각의 크기의 합은 360°

삼각형의 한 외각의 크기를 알아봤으니 이제 외각을 모두 더하면 얼마가 되는지 알아볼까요? 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합이니까 아래처럼 쓸 수 있어요.

∠A의 외각의 크기 = ∠B + ∠C
∠B의 외각의 크기 = ∠A + ∠C
∠C의 외각의 크기 = ∠A + ∠B

외각의 크기의 합은 위 세 개를 다 더하면 되겠죠?

외각의 크기 합 = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
                    = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B + ∠C
                    = 180° × 2           (∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°, 삼각형 내각의 합)
                    = 360°

외각의 크기의 합은 360°인 걸 알 수 있어요.

삼각형 한 외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
삼각형 세 외각의 크기의 합 = 360°

다음 그림을 보고 x의 크기를 구하여라.

(1)은 삼각형의 내각의 크기가 적혀있는데, x로 표현되어 있어요. 삼각형 내각의 크기의 합은 180°이므로 세 각을 모두 더하면 180°가 되어야겠죠?
x + x + 20° + 2x = 180°
4x = 160°
x = 40°
x는 40°네요.

(2)에서는 x가 내각에도 표시되어 있지만 외각에도 표시되어있어요. 내각이 하나는 x이고 다른 하나는 직각표시가 있으니 90°네요. 외각이 하나 표시되어 있으니까 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 합과 같은 성질을 이용해보죠.
x + 90° = 3x
2x = 90°
x = 45°
x는 45°네요. 직각이등변삼각형이었군요.

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다각형을 공부하고 있어요.

이 글에서는 다각형에 있는 변이 아닌 다른 선분에 대해서 알아볼 거예요. 그리고 그 선분을 몇 개나 그을 수 있는지 알아보고 개수를 구하는 공식도 만들어 볼거고요.

공식이 어떻게 만들어지는 그 과정을 잘 이해해보세요. 공식 유도과정을 잘 이해하면 공식을 외우기도 쉽고 공식을 써먹기도 쉬워요.

대각선

다각형에서 이웃한 꼭짓점을 연결한 선분은 변이라고 하죠? 그럼 이웃하지 않은 꼭짓점을 연결한 선분을 뭐라고 할까요? 많이 들어본 이름일 텐데 바로 대각선이라고 해요.

보통 대각선 하면 비스듬하게 그어진 선을 생각하는데, 여기서는 그게 아니니까 주의하세요.

아래 그림은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 본 거예요.

삼각형에는 대각선이 없죠? 왜요? 이웃하지 않은 꼭짓점이 없으니까요.

사각형에서는 한 꼭짓점에서 한 개의 대각선을 그을 수 있네요. 오각형은 두 개, 육각형은 세 개의 대각선을 한 꼭짓점에서 그을 수 있어요.

사각형 ABCD를 계속 보죠. 사각형의 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 몇 개일까요?

대각선은 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점으로 연결한 선분이에요. 점 A를 보세요. 점 A에서는 자기 자신인 점 A와 이웃한 점 B, 점 D가 아닌 점 C에만 대각선을 그을 수 있어요. 그러니까 점 A에서는 총 한 개의 대각선을 그을 수 있는 거죠.

오각형에서는 자기 자신, 이웃한 꼭짓점 두 개를 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있어요. 육각형에서도 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있고요.

n각형에서 n에 상관없이 자기 자신과 이웃한 두 개를 뺀 나머지 점에 대각선을 그을 수 있다는 결론이 나와요.

한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)개에요.

다각형의 대각선의 개수

그럼 n각형에서 그을 수 있는 대각선의 총 개수는 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수와 꼭짓점의 수를 곱하면 되겠죠? n(n - 3)개가 되겠군요.

사각형에서는 4 × (4 - 3) = 4개가 나와요. 오각형은 5 × (5 - 3) = 10, 육각형은 6 × (6 - 3) = 18개가 되겠네요.

여기서 한 가지 더 짚고 넘어갈 게 있어요.

사각형 ABCD는 점 A, 점 B, 점 C, 점 D에서 각각 하나의 대각선을 그을 수 있으니 총 4개의 대각선을 그을 수 있어요.

그런데 점 A에서 점 C로 그은 대각선 AC와 점 C에서 점 A로 그은 대각선 CA는 같은 선분이에요. 따라서 두 개가 아니라 한 개로 쳐야 해요. 또 점 B에서 점 D로 그은 대각선 BD와 점 D에서 점 B로 그은 대각선 DB도 같은 선분이죠? 같은 대각선을 두 번씩 세면 안 되니까 위에서 구했던 대각선의 개수를 2로 나눠줘야 해요.

n각형 대각선의 개수 = 

삼각형, 사각형, 오각형, 육각형에서 대각선의 개수를 표로 정리해보죠.

다각형의 대각선의 개수

다각형	삼각형	사각형	오각형	육각형	n각형
꼭짓점의 개수(개)	3	4	5	6	n
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 (개)	0	1	2	3	n - 3
대각선의 총 개수 (개)	0	2	5	9	× n(n - 3)

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새로운 단원의 시작이에요. 평면도형에 대해서 공부할 거예요.

평면도형은 앞에서 공부했던 평면 위에 있는 도형을 말해요. 더 깊이 생각할 필요도 없어요.

이 단원에서는 평면도형의 종류를 알아보고 그 도형마다 어떤 특징이 있는지 공부할 거예요. 우선 이 글에서 우리가 알고 있는 삼각형, 사각형 등에서 사용하는 용어와 그 특징들을 알아보죠.

용어라 해봐야 두 세 개밖에 안되니까 어렵게 생각하지 말고, 용어의 정의보다는 특징과 관련성 등에 주목해서 읽어보세요.

다각형

다각형은 이름 그대로 각이 여러 개 있는 도형이에요. 다시 말해 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면 위의 도형이죠. 대표적인 다각형은 뭐가 있어요? 맞아요. 삼각형, 사각형, 오각형 등이 있어요.

원은 다각형이 아니에요. 각이 없잖아요.

보통 다각형은 둘러싸인 선분의 개수로 이름을 부르는데 선분이 3개이면 삼각형, 4개이면 사각형이라고 해요. 선분이 n개이면 n각형이라고 하지요. 각의 개수에 따라 불러도 똑같죠.

내각, 외각

다각형에서 꼭짓점은 알파벳 대문자를 사용해서 A, B, C … 순서로 이름을 적어요. 위 그림에서도 각 꼭짓점에 알파벳으로 이름을 붙였네요.

내각이라는 게 있어요. 다각형의 한 꼭짓점에서 이웃하는 두 변으로 이루어진 각을 말해요. 이름 그대로 다각형의 안쪽에 있는 각이죠. 위 그림에서 내각은 ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E 이렇게 총 다섯 개가 있어요. 오각형이니까요.

외각은 내각과 반대로 바깥에 있는 각이에요. 다각형의 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이웃한 변의 연장선이 이루는 각이에요. 다각형의 변 하나를 원래보다 길게 죽 그어요. 이렇게 길게 그은 선과 그 옆에 있는 선과 이루는 각이 외각이에요.

위 그림에서 변 CD의 연장선을 그었더니 ∠EDF라는 각이 생겼어요. 이 각이 바로 ∠CDE의 외각이에요. 또 변 DE의 연장선을 그었더니 ∠CDG라는 각이 생기죠? 이 각도 역시 ∠CDE의 외각이에요. ∠CDE의 외각이 ∠EDF와 ∠CDG 두 개가 생겼어요. 그런데 잘 보면 이 두 각은 직선 CF와 직선 EG라는 두 직선이 만나서 생기는 맞꼭지각이죠? 맞꼭지각은 크기가 같으니까 두 외각도 크기가 같아요. ∠EDF = ∠CDG

내각인 ∠CDE와 외각인 ∠EDF를 더하면 몇 °가 될까요? 두 각을 더하면 ∠CDF가 되는데 이건 평각이라서 180°예요. (내각) + (외각) = 180°

자, 다음 두 가지를 기억하세요.

한 꼭짓점에서 두 개의 외각은 맞꼭지각으로 크기가 같다
한 꼭짓점에서 내각과 그 이웃한 외각의 합은 180°

내각과 외각의 설명이 어렵죠? 그냥 정의를 그렇게 하는 거지 외워야하는 건 아니에요. 내각과 외각이 무엇을 의미하는지 알고 그림에서 내각과 외각을 찾을 줄 알면 돼요.

정다각형은 정삼각형, 정사각형처럼 모든 변의 길이가 같고 내각의 크기가 모두 같은 다각형을 말해요. (내각) + (외각) = 180°인데, 내각의 크기가 모두 같으니까 외각의 크기도 모두 같겠죠? n개의 선분으로 둘러싸인 정다각형은 정n각형이라고 불러요.

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이제 도형의 기초 단원의 마지막이에요

양이 상당히 많았네요. 점, 선, 면부터 시작해서 위치관계, 작도까지

직접 그림을 그려보지 않으면 이해가 잘되지 않아서 어렵긴 하지만 몸으로 익힌 거라서 한 번 이해하면 머리에 조금 더 오래 남는 단원이기도 해요.

이제 마지막이니까 앞에서 했던 내용을 잘 기억해보세요. 오늘 할 내용의 절반은 앞에서 했던 내용과 같아요. 절반은 거저 먹는 거예요.

도형의 합동

합동이에요. 합동은 함께 모여서 일을 하는 걸 말하는데, 여기서 말하는 합동은 그게 아니에요

도형을 모양이나 크기를 바꾸지 않고 옮겨서 다른 도형에 완전히 포갤 수 있을 때 두 도형을 합동이라고 해요. 쉽게 말해서 도형을 뒤집고 돌려봐서 두 도형이 똑같으면 합동인 거예요.

기호로는 ≡로 표시해요. 작대기가 세 개예요. =에 -을 하나 더 해서 -가 총 세 개입니다.

모양과 크기를 바꾸지 않고 위치만 바꾼 거니까 두 도형의 모양과 크기는 같겠죠? 넓이도 같아요.

합동인 두 도형에서 꼭짓점도 각도 변도 모두 포개지겠죠? 이렇게 포개지는 걸 대응한다고 하는데 포개지는 변을 대응변, 포개지는 각을 대응각, 포개지는 꼭짓점을 대응점이라고 해요.

삼각형을 이용해서 조금 더 설명할게요

아래 △ABC와 △DEF가 있어요. 이 두 삼각형은 서로 합동이에요. △DEF를 180° 돌리면 △ABC와 포개지거든요.

대응점을 찾아보죠. 대응점은 도형을 포갰을 때 서로 겹치는 점이에요. 서로가 서로에게 대응점이에요.

점 A - 대응점 - 점 D
점 B - 대응점 - 점 E
점 C - 대응점 - 점 F

이번에는 대응변을 찾아볼까요? 변 AB와 변 DE가 서로 포개져요. 그러니까 변 AB의 대응변은 변 DE이죠. 대응변의 길이는 서로 같아요. 당연하죠. 서로 포개지는 거니까요.

변 AB - 대응변 - 변 DE
변 BC - 대응변 - 변 EF
변 CA - 대응변 - 변 FD

∠A와 ∠D도 서로 포개지죠. 그러니까 서로가 서로의 대응각이에요. 대응각의 크기도 서로 같아요.

∠A - 대응각 - ∠D
∠B - 대응각 - ∠E
∠C - 대응각 - ∠F

도형의 합동을 기호로 ≡로 표시한다고 했으니 두 △ABC, △DEF가 합동이면 △ABC ≡ △DEF로 표시할 수 있어요. 이때 꼭 기억해야하는 한 가지가 있는데요. 바로 두 삼각형을 적을 때, 대응점의 순서가 같아야한다는 거예요.

△ABC는 이름을 적을 때, A, B, C의 순서로 적었어요. 그러니까 그와 합동인 삼각형은 A의 대응점인 D, B의 대응점인 E, C의 대응점인 F의 순서로 적은 △DEF라는 거예요

△DEF와 △DFE, △EDF, △EFD, △FDE, △FED는 하나의 삼각형을 부르는 여러 이름이에요. 하지만 △ABC에 합동인 삼각형을 부를 때는 꼭 △DEF라는 이름을 써야 해요.

그럼 △CBA과 합동인 삼각형은 뭐라고 불러야 할까요? 각 C, B, A의 대응점을 순서대로 붙인 △FED죠.

이거 중요해요. 그림을 봐서 대응점을 잘 못 찾을 때 이름만 보고도 금방 알 수 있어야 해요.

삼각형의 합동조건

위의 내용은 모든 평면도형에 적용되는 내용이에요. 삼각형이든 사각형이든 오각형이든 상관없어요.

삼각형의 합동조건은 삼각형에만 적용되는 거예요. 다만 새로운 건 아니에요. 이미 공부했던 삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도의 연장선이거든요.

삼각형을 작도할 수 있는 조건은 세 가지가 있었어요. 세 변의 길이가 주어졌을 때, 두 변의 길이와 그 끼인각이 주어졌을 때, 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때죠?

삼각형의 합동 조건도 세 가지가 있어요. 뭘까요? 차이가 있다면 두 삼각형 사이에서 생기는 조건이므로 하나 또는 둘이 아니라 한 쌍, 두 쌍이라고 쓰는 거죠.

• SSS 합동: 세 쌍의 대응변의 길이가 같을 때
• SAS 합동: 두 쌍의 대응변의 길이와 끼인각의 크기가 같을 때
• ASA 합동: 한 쌍의 대응변의 길이와 양쪽 끝각의 크기가 같을 때

S는 변을 나타내는 side, A는 각을 나타내는 angle의 첫 글자를 딴 거예요. SSS는 세 변, SAS는 두 변과 끼인 각, ASA 는 한 변과 양 끝각이라는 걸 조금 더 쉽게 기억할 수 있어요.

삼각형의 작도, 삼각형의 합동의 세 조건이 모두 같아요. 따로 외울 필요 없겠죠?

아래 두 삼각형은 서로 합동이다. 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 두 삼각형은 삼각형의 합동 조건 중 어디에 해당하는가?
(2) 변 BA의 대응변은?
(3) ∠F와 포개지는 각은?
(4) 점 E에 대응하는 점은?

(1)번, 숫자는 쓰여 있지 않지만 그림을 보면 아랫변에 길이가 같다는 표시가 되어 있고, 양 끝각에 각 표시가 되어 있는 걸로 봐서 삼각형의 합동조건 중 세 번째인 한 변의 길이와 양 끝각이 같을 때에 해당하는 걸 알 수 있어요.

(2)번, 두 삼각형이 합동이니까 기호로 표시하면 △ABC ≡ △DEF로 쓸 수 있지요? 변 BA의 대응변을 물어봤어요. 그러면 변 DE가 되겠죠? 그런데 우리 삼각형의 이름을 부를 때 어떻게 하기로 했어요? 대응점의 순서대로 부르기로 했잖아요. 그러니까 변을 말할 때도 대응점의 순서대로 하면 변 DE가 아니라 변 ED가 되어야겠죠? 사실 변이나 각에서는 이름을 대응점 순서대로 하지 않아도 상관없어요. 하지만 삼각형과의 통일성을 위해서 이렇게 연습하세요.

(3) ∠F와 포개지는 각은 ∠F의 대응각을 찾으라는 얘기죠? ∠F의 대응각은 ∠C네요.

(4) 점 E에 대응하는 점은 점 E의 대응점 즉, 점 B네요.

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삼각형의 정의와 삼각형에서 사용하는 용어인 대변, 대각 등을 알아봤어요.

삼각형의 용어를 공부했고, 기본도형의 작도도 공부했으니 이제 삼각형을 작도하는 걸 공부해보죠.

삼각형을 작도할 때 조건에 따라서는 그리지 못하는 경우도 있어요. 어떤 때는 알려준 조건에 따라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있고요.

이 글에서는 삼각형을 그릴 때 딱 하나의 삼각형만 나오게 하는 조건과 그 조건에 맞게 삼각형을 그리는 방법에 대해서 알아볼 거예요.

삼각형의 결정조건

<< 삼각형의 결정조건은 2013년 중1 수학에서는 삭제된 내용으로 2012년까지만 배웠던 내용입니다. 2013년 이후에 중 1인 학생은 아래 삼각형의 작도로 바로 넘어가세요. >>

삼각형을 그릴 수 있는 조건이 세 가지가 있어요. 그 세 가지 조건을 삼각형의 결정조건이라고 해요. 평면의 결정 조건이라는 것도 있었죠?

삼각형의 결정조건은 삼각형을 그릴 수 있는 조건이에요. 정확하게 얘기하면 모양과 크기가 일정한 딱 하나의 삼각형을 그리는 조건이에요. 삼각형의 결정조건에 맞지 않는다고 해서 꼭 삼각형을 그릴 수 없는 건 아니에요. 삼각형을 그릴 수 없는 경우도 있고, 하나가 아니라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있는 거예요.

삼각형의 결정조건은 해당 조건에서는 모양과 크기가 일정한 삼각형을 하나만 그릴 수 있어요.

삼각형의 결정조건은 삼각형을 그리는 데뿐 아니라 다음에 공부할 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억하세요.

• 세 변의 길이를 알 때
• 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
• 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 결정조건 세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알려줬을 때에요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 되지요.

주의해야 할 건 세 변의 길이를 줬다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.

가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm이면 삼각형을 그릴 수 없어요.

세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊어버리지 마세요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.

삼각형의 결정조건 두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때에요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만난서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거지요.

삼각형의 결정조건 마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때에요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.

변 AB의 길이를 알려줬을 때, △ABC를 그리기 위한 추가적인 조건으로 옳지 않은 것을 고르시오.
① 변 BC의 길이, 변 CA의 길이
② 변 BC의 길이, ∠B의 크기
③ ∠A의 크기, ∠B의 크기
④ 변 CA의 길이, ∠C의 크기

삼각형의 결정조건을 묻는 문제에요. 삼각형의 결정 조건은 세 변의 길이, 두 변의 길이와 끼인각의 크기, 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요.

이 세 가지에 해당하지 않는 걸 찾아볼까요? 변 AB의 길이를 알고 있으니까 추가로 필요한 게 무엇인지 보면 되겠네요.

①은 두 변의 길이를 더 알려줬어요. 그러면 세 변의 길이를 모두 알려준 거니까 삼각형을 그릴 수 있겠네요
②는 한 변의 길이를 알려주고 한 각의 크기를 알려줬어요. 두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 길이를 알려준 두 변 사이의 끼인각이어야 한다고 했죠? 알려준 변은 AB와 BC에요. 그럼 그 사이에 끼인각은 ∠B가 되겠죠? 알려준 각이 끼인각인 ∠B의 크기라서 이때도 삼각형을 그릴 수 있겠네요.
③은 두 각의 크기를 알려줬어요. 한 변의 길이와 두 각을 알려줬으니까 두 각이 변의 양 끝각인지 알아봐야겠죠? 변 AB의 양 끝각은 ∠A와 ∠B인데 두 각의 크기를 알려줬네요. 삼각형을 그릴 수 있겠죠?
④는 한 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬어요. ②에서 했던 방법으로 살펴보면 두 변의 길이는 맞는데, 끼인각의 크기가 아니에요. 따라서 ④번은 삼각형의 결정 조건에 맞지 않아요.

삼각형의 작도

삼각형을 그리는 방법이에요. 삼각형을 그리는 방법은 여러 가지가 있지만 삼각형의 결정조건에 맞는 방법으로 그리면 돼요.

삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이가 주어졌을 때에요. 세 변의 길이를 주면 컴퍼스를 이용해서 그려요.

1. 먼저 한 변의 길이만큼을 컴퍼스로 옮겨서 선을 그어요. 선분 AB라고 할게요.
2. 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
3. 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
4. ②와 ③의 교점에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.

삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기가 주어졌을 때에요.

1. 끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
2. 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 선분 OQ가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
3. 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 선분 OP가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
4. 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.

삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때에요.

1. 한 변의 길이만큼을 컴퍼스를 이용해서 선을 그어요. 이걸 선분 AB라고 하지요.
2. 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 선분 AP라고 하지요.
3. 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 선분 BQ라고 하고 BQ와 선분 AP의 교점을 점 C라고 해보죠. 그러면 △ABC가 생겨요.

삼각형의 작도는 삼각형의 결정조건을 토대로 하되 전에 배웠던 크기가 같은 각을 작도하는 방법을 이용합니다.

삼각형의 결정조건 세 가지를 꼭 알고 있어야 하고, 실제로 작도를 해보면서 그 순서도 익혀보세요.

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도형의 합동, 삼각형의 합동조건

직선과 각에 이어서 이번에는 직선과 각들로 이루어진 도형에 대해서 알아볼 거예요.

도형 중에 가장 먼저 배우는 건 역시 가장 간단한 삼각형이죠.

삼각형에서 적용되는 성질 대부분이 사각형, 오각형에도 그대로 적용되니까 첫 단계인 삼각형에 대해서 제대로 공부해야 해요.

이 글에서는 삼각형의 의미와 삼각형에서 사용하는 용어들에 대해서 알아보죠.

삼각형의 정의, 대변, 대각

삼각형은 이름 그대로 각이 세 개 있는 도형이죠? 각이 세 개인 것은 꼭짓점이 세 개라는 말과 같아요. 삼각형을 좀 더 멋있게 정의해 볼까요? 세 점 A, B, C를 선분으로 연결한 도형을 삼각형 ABC라고 정의해요. 기호로는 △ABC로 표시하고요. △ 기호 뒤에 세 점을 모두 쓰는 거죠.

삼각형은 꼭짓점과 변, 각으로 이루어져 있어요.

꼭짓점: 점 A, 점 B, 점 C
변: 변 AB, 변 BC, 변 CA
각: ∠ABC (= ∠B), ∠BCA (= ∠C), ∠CAB (= ∠A)

변 AB는 점 A와 점 B를 연결하는 선이잖아요. 점, 선, 면, 직선, 반직선, 선분에서 알아봤던 것처럼 변 AB는 선분 AB니까 기호로 로 나타낼 수 있어요. 변 BC와 변 CA도 마찬가지로 로 나타낼 수 있고요.

삼각형에 대변과 대각이라는 게 있어요. 똥 아니에요. 대변은 한 각과 마주보고 있는 변을 말하고, 대각은 한 변과 마주보는 각을 말해요.

△ABC에서 ∠A와 마주 보는 변은 변 BC죠? 그래서 ∠A의 대변은 변 BC입니다. 대변의 길이는 각의 알파벳을 소문자로 쓴 것으로 표현해요. 그러니까 ∠A의 대변의 길이는 a로, ∠B의 대변의 길이는 b로 나타내는 거지요.

삼각형의 대변은 찾기 쉬워요. 이름에 그 각의 알파벳이 들어있지 않은 변이 대변이에요. ∠B의 대변은 이름에 B가 없는 변, 즉 변 CA가 되는 거죠.

∠A의 대변: 변 BC = a
∠B의 대변: 변 CA = b
∠C의 대변: 변 AB = c

대각은 마주 보는 각인데, 변이 마주 보는 각이에요. 대변과 대각은 서로 반대겠죠? 대각도 마찬가지로 이름에 변에 있는 알파벳이 없는 각이 대각이에요. 변 AB의 대각은 A, B가 없는 ∠C가 되는 거죠.

변 AB의 대각: ∠C
변 BC의 대각: ∠A
변 CA의 대각: ∠B

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직선의 이등분선, 각의 이등분선에 이어서 이번에는 크기가 같은 각과 평행선을 작도하는 방법을 알아보죠.

크기가 같은 각을 만약 각도기로 그린다면 몇 °인지를 재서 바로 그리면 되겠지만 작도는 각도기를 이용하지 않으니까 좀 더 복잡해지죠

하지만 앞에서 해봤던 것처럼 그리는 흐름을 이해하고, 연습만 몇 번 해보면 작도도 생각보다 어렵지는 않아요.

이 글에서 공부할 크기가 같은 각의 작도와 평행선의 작도는 원리가 같으니까 하나만 제대로 이해하면 돼요.

크기가 같은 각의 작도

크기가 같은 각을 작도해보죠.

하나의 각을 주고, 이 각과 크기가 같은 각을 그리는 거예요. 이 각을 ∠XOY라고 해볼게요.

1. 이 ∠XOY에서 점 O에 컴퍼스를 대고 원을 그려요. 원과 선분 OX가 만나는 점을 P, 원과 선분 OY가 만나는 점을 Q라고 하지요.
2. 일단 이렇게 해놓은 상태에서 크기가 같은 새로운 각을 그릴 선분을 하나 그어요. 선분 l이라고 할까요?
3. 선분 l의 한쪽 끝점 A에 컴퍼스 바늘을 놓고 ①에서 그렸던 원과 반지름이 같은 원을 그려요. 이 원이 선분 l과 만나는 점을 B라고 해보죠.
4. 컴퍼스를 이용해서 점 P와 점 Q 사이의 거리만큼을 재요. 그리고 점 B에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그립니다. 이 원과 ③에서 그린 원과의 교점이 생겨요. 이 교점을 C라고 할게요.
5. 점 A와 점 C를 자를 대고 연결해요.

이 ∠BAC가 ∠POQ와 크기가 같은 각입니다.

평행선의 작도

평행선의 성질, 평행선에서 동위각과 엇각에서 공부했던 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각 또는 엇각의 크기가 같으면 두 직선이 평행하다는 성질을 기억하나요?

평행선의 작도는 동위각 또는 엇각을 이용해서 크기가 같은 각을 만드는 과정이에요.

점 P를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 작도해보죠.

1. 직선 l과 직선 위에 있는 않은 점 P를 그려요.
2. 점 P를 지나고 직선 l과 한 점에서 만나는 직선을 그려요. 직선 l과 만나는 점을 점 O라고 하고요.
3. 점 O에 컴퍼스 바늘을 대고 원을 그려요. 이때 원이 직선 OP와 만나는 점을 점 A라고 하고 원과 직선 l이 만나는 점을 점 B라고 하지요.
4. ③에서 그렸던 원과 같은 반지름으로 점 P에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 직선 OP가 만나는 점을 C라고 해보죠.
5. 컴퍼스를 이용해서 점 A와 점 B의 거리를 재고, 이 길이를 반지름으로하여 점 C에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 ④에서 그렸던 원의 교점을 점 D라고 합니다.
6. 점 P와 점 D를 직선으로 연결해요.

이 직선 PD가 점 P를 지나고 직선 l에 평행한 평행선이에요.

④에서 점 C의 위치가 점 P와 직선 l 사이에 있으면 평행선에서 엇각을 이용하고, 점 C가 점 P보다 위에 있으면 평행선의 동위각을 이용하는 거예요.

위 예에서는 점 C가 점 P보다 위에 있으니 동위각을 이용해서 평행선을 그린 거죠.

동위각 ∠AOB = ∠CPD라는 성질을 이용해서 평행선을 그려봤어요. ③번 이후의 과정은 크기가 같은 각을 작도하는 방법과 완전히 같아요. 그러니까 크기가 같은 각을 그리는 작도를 연습해봐야겠죠?

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이전 글 작도, 수직이등분선의 작도에 이어서 이번에는 각의 이등분선과 직각의 삼등분선을 작도해볼거예요.

작도는 그냥 설명만 봐서는 잘 이해가 안 돼요. 컴퍼스와 자를 가지고 직접 그려봐야 해요. 연습장에 컴퍼스와 자를 이용해서 순서대로 따라 해보고, 나중에는 설명 없이 혼자서 그려보세요.

설명 없이 혼자서 척척 해낼 때의 성취감은 그냥 일반적인 문제를 풀 때보다 더 많이 생길 거예요.

직접 해보면 이해하기는 어렵더라도 머리 속에 더 오래 남아요. 해보지 않으면 금방 잊어버리니까 꼭 직접 해보세요.

각의 이등분선의 작도

각이 있는데, 몇 °인지 몰라요. 하지만 이 각을 절반으로 나누는 선을 그릴 수 있어요. 물론 이등분한 각도 몇 °인지는 모르겠지요?

각의 이등분선을 작도해보죠.

1. 각 XOY를 그려요.
2. 컴퍼스를 적당히 벌려서 점 O에 바늘을 놓고 원을 그려요. 선분 OX와 원이 만나는 점을 점 A라고 하고, 선분 OY와 만나는 점을 점 B라고 하지요.
3. 점 A에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 사용했던 반지름과 달라도 상관없어요.
4. 이번에는 ③에서 사용했던 반지름 그대로 점 B에 컴퍼스 바늘을 놓고 원을 그려요. ③의 원과 한 점에서 만나죠? 이 점을 점 C라고 할게요.
5. 점 C와 점 O를 자로 연결해요. 이 선분 OC가 바로 각 O의 이등분선입니다.

각의 이등선의 특징을 알아볼까요?

각의 이등분선이니까 각 XOC와 각 YOC는 같겠죠.

선분 OA의 길이과 선분 OB의 길이가 같아요. 이등분선의 작도 ②단계에서 점 O를 중심으로 그은 원이니까 당연히 같겠죠.

이등분선의 작도 ③, ④단계에서 같은 반지름으로 그렸으니까 선분 AC의 길이와 선분 BC의 길이도 같아요.

점 C에서 선분 OX에 내린 수선의 발을 점 P, 점 C에서 선분 OY에 내린 수선의 발은 점 Q라고 할 때, 선분 CP의 길이와 선분 CQ의 길이가 같아요. 삼각형 OCP와 삼각형 OCQ가 똑같거든요. 

직각의 삼등분선의 작도

일반적인 각은 삼등분선을 작도할 수 없지만, 직각만 유일하게 삼등분할 수 있어요.

정삼각형은 세 변의 길이가 같잖아요. 세 변의 길이가 같고 또 세 각의 크기가 같아요. 이 성질을 이용해서 직각을 삼등분하는 겁니다. 직각을 삼등분했으니 한 각은 30°가 되겠죠?

1. 각 XOY를 그려요. 이 각 XOY는 직각이에요.
2. 점 O에 컴퍼스의 바늘을 놓고 원을 그려요. 이 원과 선분 OX가 만나는 점을 점 A, 선분 OY와 만나는 점을 B라고 하지요.
3. ②에서 사용한 원의 반지름 그대로 점 A에 바늘을 놓고 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 C라고 할게요.
4. 같은 반지름으로 점 B를 중심으로 원을 그려요. ②에서 그린 원과 만나는 점을 점 D라고 하지요.
5. 점 O와 점 C를 연결하고, 점 O와 점 D를 연결하세요. 이 두 선분이 각 XOY를 삼등분하는 선입니다.
6. 참고로 ③, ④의 원이 만나는 점을 점 E라고 할 때, 점 O와 점 E를 연결하면 각의 이등분선이 돼요.

점 A와 점 C는 ②에서 그린 원 위에 있는 점이에요. 그러니까 선분 OA의 길이와 선분 OC의 길이는 같겠죠? 

또 ③에서 그린 원과 ②에서 그린 원의 반지름이 같으니까 선분 AC의 길이는 선분 OA의 길이와 같아요. 

즉 삼각형 OAC가 세 변의 길이가 같은 정삼각형이라는 거지요. 정삼각형의 한 각의 크기는 60°로 모두 같아요. 따라서 ∠AOC가 60°니까 ∠XOY에서 ∠AOC를 뺀 나머지 ∠BOC는 30°예요.

같은 이유로 ∠AOD도 30°고, ∠COD도 30°지요.

∠AOB = 90°
∠AOC = ∠BOD = 60°
∠AOD = ∠BOC = ∠COD = 30°
∠AOE = ∠BOE = 45°

직각의 삼등분선 작도에서 제일 중요한 건 컴퍼스의 폭이 바뀌지 않는다는 거예요. 그리는 원의 반지름이 모두 같아야 하는 것에 주의하세요.

작도할 수 있는 각

위에서 공부한 내용을 어떻게 활용할까요? 이제 우리는 각도기가 없어도 몇 가지 각을 작도할 수 있어요.

제일 먼저 직선의 수직이등분선을 이용하면 90°를 작도할 수 있죠? 이 직각을 각의 이등분선 작도를 하면 45°를 그릴 수 있고요. 직각을 삼등분선을 그리면 30°와 60°를 그릴 수 있어요.

그 다음에 이 30°, 45°, 60°, 90°를 각의 이등분하면 각각 15°, 22,5° 등도 만들 수 있겠죠?

또 30°를 그린 다음에 그 선분을 연장해서 거기에 직각을 그리고 각의 이등분선을 긋는다면 30° + 45° = 75°까지 그릴 수 있어요. 다시 말해서 작도할 수 있는 각을 더하거나 빼서 나오는 각도 작도할 수 있는거지요. 90° + 45° = 135° 같은 각도 작도할 수 있는 거지요.

수직이등분선의 작도 → 90°
직각의 삼등분선의 작도 → 30°, 60°
각의 이등분선의 작도 → 45° 22.5° 15° 등
위 방법을 혼합 → 위에서 작도할 수 있는 각을 서로 더하거나 뺀 각 ex) 30° + 45° = 75°

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기본도형에 대해서 공부했어요. 점, 선, 면이란 무엇인지 점, 선, 면이 평면과 공간에서 어떤 위치와 특징을 갖는지요.

이제부터는 도형을 그리는 방법을 공부할 거예요. 우리가 알고 있던 도형이 어떻게 그려지는지 좀 더 알아보자고요. 똑같은 삼각형이라도 조건에 따라서 여러 가지 방법으로 그릴 수 있어요.

이 글에서는 도형 그리기의 기초인 작도에 대해서 알아볼 거고 수직이등분선을 그리는 과정을 통해서 간단한 작도를 직접 한 번 해볼 거예요.

눈금 없는 자와 컴퍼스가 필요하니까 꼭 준비하세요.

작도

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요. 눈금 있는 자로 그리거나 각도기를 가지고 그리는 건 작도가 아니에요. 작도할 때 몇 가지 조건을 주는데, 그 조건에 맞추면 눈금 있는 자와 각도기 없이도 도형을 그릴 수 있거든요.

작도할 때 사용하는 눈금 없는 자는 선을 그을 때 써요. 두 점을 연결해서 선을 그을 때와 이미 그려져 있는 선분을 더 길게 그릴 때요.

컴퍼스는 원래 기능대로 원을 그릴 때 쓰고요. 자에 눈금이 없으니 길이를 잴 수가 없잖아요. 이때 컴퍼스를 이용해서 주어진 선분의 길이만큼을 다른 곳에 옮길 수 있어요.

몇 가지 작도를 직접 해보면서 알아보죠.

수직 이등분선의 작도

선분의 수직이등분선이 뭔지는 이름에서 알 수 있겠죠? 수직은 90°로 만난다는 뜻이고 이등분은 정확하게 둘로 나눈다는 거잖아요. 그러니까 선분의 중점(M)을 지나고 90°로 만나는 선을 그리는 방법을 배울 거예요.

두 점 사이의 거리, 중점

선분 AB의 수직이등분선을 눈금 없는 자와 컴퍼스로 그려보죠.

아래 그림에서 검은색은 이전 단계에서 이미 그려진 것이고 파란색 선은 현재 단계에서 그리는 것들이에요. 파란색 점은 컴퍼스의 바늘을 놓는 위치입니다.

1. 먼저 선분 AB를 그리고요.
2. 컴퍼스의 바늘을 점 A에 두고 적당한 길이로 벌린 다음에 원을 그리세요. 이때 반지름은 선분 AB 길이의 정도가 좋아요.
3. 이번에는 컴퍼스의 길이를 그대로 유지한 체 컴퍼스의 바늘을 점 B에 두고 원을 그리세요.
4. 점 A를 중심으로 그렸던 원과 점 B를 중심으로 그렸던 원이 만나는 지점이 두 군데가 생겨요. P, Q라고 할게요. 이 P, Q를 눈금 없는 자로 연결해서 선을 그으세요.

바로 이 선분 PQ가 선분 AB의 수직이등분선이에요.

수직이등분선은 몇 가지 특징이 있어요. 아래 그림을 보세요.

선분 AB와 선분 PQ는 수직이에요. 

M은 선분 AB의 중점이니까 선분 AM의 길이와 선분 BM의 길이가 같죠. 

같은 반지름을 이용해서 원을 그렸으니까 선분 AP의 길이와 선분 AQ의 길이, 선분 BP의 길이, 선분 BQ의 길이가 모두 같아요. 

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앞에서는 평면에서의 여러 가지를 공부했어요. 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계를요. 이제는 공간에서 같은 내용을 공부할 거예요.

점이 모이면 선이 되고, 선이 모이면 평면이 돼요. 그렇죠? 그럼 공간은 뭐가 모여서 된 걸까요? 바로 평면이 모여서 된 거예요. 그래서 평면에서 점과 직선의 위치 관계, 평면에서 두 직선의 위치 관계는 공간에서도 그대로 적용됩니다. 평면에서의 위치 관계에 추가로 몇 개 더 공부하는 거예요.

공간에서 두 직선의 위치 관계

점과 직선의 위치관계, 두 직선의 위치관계에서 평면에서 두 직선은 한 점에서 만나는 경우, 평행한 경우, 일치하는 경우가 있었어요. 일치하는 경우는 여러 점에서 만나는 경우니까 한 점에서 만나는 경우와 일치하는 경우를 합쳐서 두 직선이 만나는 경우라고 할 수 있죠.

공간에서는 여기에 한 가지가 더해지는 데요. 바로 꼬인 위치라는 거예요. 꼬인 위치는 쉽게 말해서 위 세 가지가 아닌 경우예요. 그러니까 만나지도 않으면서 평행하지도 않은 경우죠.

왼쪽 세 그림에는 "한 평면 위"라고 쓰여 있죠? 이 세 가지는 평면에서 두 직선의 위치관계에도 있던 내용이에요. 반대로 꼬인 위치는 서로 다른 평면에 있는 경우고요.

꼬인 위치에 대해서는 잘 이해가 안 될 수 있는데요. 아래 직육면체 그림을 보죠.

변 AB와 변 CD, 변 EF, 변 HG는 서로 평행이에요. 그리고 변 AB와 변 AD, 변 AE는 한 점 A에서 만나죠? 변 AB와 변 BC, 변 BF는 한 점 B에서 만나요. 그럼 변 AB와 변 EH는 어떤 사이일까요? 만나지도 않고 평행하지도 않아요. 이런 관계를 바로 "꼬인 위치에 있다."고 합니다.

평면과 직선의 위치관계

이번에는 공간에서 평면과 직선의 위치 관계예요.

직선이 평면에 포함되는 경우가 첫 번째예요. 평면에서 두 직선의 위치 관계에서 직선은 모두 평면에 포함되어 있었어요. 직선이 평면에 포함되는 경우는 다른 말로 평면 위의 직선이라고 표현하고 이때 직선과 평면이 만나는 점이 매우 많아요. 앞의 직육면체 그림에서 면ADHE에 선분 AD, DH, HE, EA가 포함되어 있어요.

두 번째는 평면과 직선이 한 점에서 만나는 경우예요. 마치 화살이 과녁에 박혀있는 것처럼 생겼어요. 직육면체 그림에서 면ADHE와 세로로 된 선분 AB는 점 A에서 만나죠. 또 선분 DC와는 점 D에서, 선분 HG와는 점 H, 선분 EF와는 E에서 만나요.

마지막은 직선이 평면과 만나지 않고 평행하는 경우예요. 점이 직선 위에 있지 않는 경우와 비슷한 모양이에요. 직육면체 그림의 면ADHE는 선분 BC, 선분 CG, 선분 GF, 선분 BF와 평행이에요.

공간에서 평면과 직선의 수직

평면과 직선이 한 점에서 만날 때 특이하게 만나는 경우가 있어요. 바로 직각으로 만나는 경우요. 두 직선이 한 점에서 만날 때, 수직으로 만나는 경우가 있잖아요. 여기서도 그런 경우예요.

평면을 P, 평면 P와 한 점에서 만나는 직선을 직선 m이라고 해보죠. 평면 P와 직선 m이 만나는 점을 점 O라고 하고요. 그리고 평면 P에 포함되고 점 O를 지나는 직선을 l이라고 하지요.

평면 P와 직선 m이 직교하니까 직선 m은 수선이고, 기호로 P ⊥ m으로 나타낼 수 있어요. 이때 점 O는 수선의 발이에요. (수직과 직교, 수선, 수선의 발, 점과 직선 사이의 거리)

공간에서 직선과 평면이 서로 수직일 때는 한 가지 특징이 있는데, 평면 P와 직선 m이 수직이면 평면 P위의 직선 l과 직선 m도 점 O에서 수직이에요.

아래 그림을 보고 변 AB와 꼬인 위치에 있는 선분을 모두 찾으시오.

꼬인 위치는 만나지도 않고 평행하지도 않은 위치에 있는 걸 말해요.

변 AB와 평행한 변을 찾아볼까요? 변 CD, 변 EF, 변 GH가 있네요.

변 AB와 만나는 변을 찾아보죠. 변 AD, 변 AE, 변 BC, 변 BF이고요.

그럼 이제는 평행하지도 않고, 만나지도 않는 꼬인 위치에 있는 변을 찾아보죠. 직육면체에서 찾을 수 있는 변 중에 위에서 적지 않은 변을 다 적으면 돼요. 변 EH, 변 DH, 변 FG, 변 CG가 되겠네요.

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