삼각형의 정의와 삼각형에서 사용하는 용어인 대변, 대각 등을 알아봤어요.
삼각형의 용어를 공부했고, 기본도형의 작도도 공부했으니 이제 삼각형을 작도하는 걸 공부해보죠.
삼각형을 작도할 때 조건에 따라서는 그리지 못하는 경우도 있어요. 어떤 때는 알려준 조건에 따라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있고요.
이 글에서는 삼각형을 그릴 때 딱 하나의 삼각형만 나오게 하는 조건과 그 조건에 맞게 삼각형을 그리는 방법에 대해서 알아볼 거예요.
삼각형의 결정조건
<< 삼각형의 결정조건은 2013년 중1 수학에서는 삭제된 내용으로 2012년까지만 배웠던 내용입니다. 2013년 이후에 중 1인 학생은 아래 삼각형의 작도로 바로 넘어가세요. >>
삼각형을 그릴 수 있는 조건이 세 가지가 있어요. 그 세 가지 조건을 삼각형의 결정조건이라고 해요. 평면의 결정 조건이라는 것도 있었죠?
삼각형의 결정조건은 삼각형을 그릴 수 있는 조건이에요. 정확하게 얘기하면 모양과 크기가 일정한 딱 하나의 삼각형을 그리는 조건이에요. 삼각형의 결정조건에 맞지 않는다고 해서 꼭 삼각형을 그릴 수 없는 건 아니에요. 삼각형을 그릴 수 없는 경우도 있고, 하나가 아니라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있는 거예요.
삼각형의 결정조건은 해당 조건에서는 모양과 크기가 일정한 삼각형을 하나만 그릴 수 있어요.
삼각형의 결정조건은 삼각형을 그리는 데뿐 아니라 다음에 공부할 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억하세요.
- 세 변의 길이를 알 때
- 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
- 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때
삼각형의 결정조건 세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알려줬을 때에요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 되지요.
주의해야 할 건 세 변의 길이를 줬다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.
가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm이면 삼각형을 그릴 수 없어요.
세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊어버리지 마세요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.
삼각형의 결정조건 두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때에요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만난서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거지요.
삼각형의 결정조건 마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때에요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.
변 AB의 길이를 알려줬을 때, △ABC를 그리기 위한 추가적인 조건으로 옳지 않은 것을 고르시오.
① 변 BC의 길이, 변 CA의 길이
② 변 BC의 길이, ∠B의 크기
③ ∠A의 크기, ∠B의 크기
④ 변 CA의 길이, ∠C의 크기
삼각형의 결정조건을 묻는 문제에요. 삼각형의 결정 조건은 세 변의 길이, 두 변의 길이와 끼인각의 크기, 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요.
이 세 가지에 해당하지 않는 걸 찾아볼까요? 변 AB의 길이를 알고 있으니까 추가로 필요한 게 무엇인지 보면 되겠네요.
①은 두 변의 길이를 더 알려줬어요. 그러면 세 변의 길이를 모두 알려준 거니까 삼각형을 그릴 수 있겠네요
②는 한 변의 길이를 알려주고 한 각의 크기를 알려줬어요. 두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 길이를 알려준 두 변 사이의 끼인각이어야 한다고 했죠? 알려준 변은 AB와 BC에요. 그럼 그 사이에 끼인각은 ∠B가 되겠죠? 알려준 각이 끼인각인 ∠B의 크기라서 이때도 삼각형을 그릴 수 있겠네요.
③은 두 각의 크기를 알려줬어요. 한 변의 길이와 두 각을 알려줬으니까 두 각이 변의 양 끝각인지 알아봐야겠죠? 변 AB의 양 끝각은 ∠A와 ∠B인데 두 각의 크기를 알려줬네요. 삼각형을 그릴 수 있겠죠?
④는 한 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬어요. ②에서 했던 방법으로 살펴보면 두 변의 길이는 맞는데, 끼인각의 크기가 아니에요. 따라서 ④번은 삼각형의 결정 조건에 맞지 않아요.
삼각형의 작도
삼각형을 그리는 방법이에요. 삼각형을 그리는 방법은 여러 가지가 있지만 삼각형의 결정조건에 맞는 방법으로 그리면 돼요.
삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이가 주어졌을 때에요. 세 변의 길이를 주면 컴퍼스를 이용해서 그려요.
- 먼저 한 변의 길이만큼을 컴퍼스로 옮겨서 선을 그어요. 선분 AB라고 할게요.
- 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- ②와 ③의 교점에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.
삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기가 주어졌을 때에요.
- 끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
- 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 선분 OQ가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
- 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 선분 OP가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
- 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.
삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때에요.
- 한 변의 길이만큼을 컴퍼스를 이용해서 선을 그어요. 이걸 선분 AB라고 하지요.
- 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 선분 AP라고 하지요.
- 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 선분 BQ라고 하고 BQ와 선분 AP의 교점을 점 C라고 해보죠. 그러면 △ABC가 생겨요.
삼각형의 작도는 삼각형의 결정조건을 토대로 하되 전에 배웠던 크기가 같은 각을 작도하는 방법을 이용합니다.
삼각형의 결정조건 세 가지를 꼭 알고 있어야 하고, 실제로 작도를 해보면서 그 순서도 익혀보세요.
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