삼각형의 정의와 삼각형에서 사용하는 용어인 대변, 대각 등을 알아봤어요.
삼각형의 용어를 공부했고, 기본도형의 작도도 공부했으니 이제 삼각형을 작도하는 걸 공부해보죠.
삼각형을 작도할 때 조건에 따라서는 그리지 못하는 경우도 있어요. 어떤 때는 알려준 조건에 따라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있고요.
이 글에서는 삼각형을 그릴 때 딱 하나의 삼각형만 나오게 하는 조건과 그 조건에 맞게 삼각형을 그리는 방법에 대해서 알아볼 거예요.
삼각형의 결정조건
<< 삼각형의 결정조건은 2013년 중1 수학에서는 삭제된 내용으로 2012년까지만 배웠던 내용입니다. 2013년 이후에 중 1인 학생은 아래 삼각형의 작도로 바로 넘어가세요. >>
삼각형을 그릴 수 있는 조건이 세 가지가 있어요. 그 세 가지 조건을 삼각형의 결정조건이라고 해요. 평면의 결정 조건이라는 것도 있었죠?
삼각형의 결정조건은 삼각형을 그릴 수 있는 조건이에요. 정확하게 얘기하면 모양과 크기가 일정한 딱 하나의 삼각형을 그리는 조건이에요. 삼각형의 결정조건에 맞지 않는다고 해서 꼭 삼각형을 그릴 수 없는 건 아니에요. 삼각형을 그릴 수 없는 경우도 있고, 하나가 아니라 여러 모양의 삼각형을 그릴 수도 있는 거예요.
삼각형의 결정조건은 해당 조건에서는 모양과 크기가 일정한 삼각형을 하나만 그릴 수 있어요.
삼각형의 결정조건은 삼각형을 그리는 데뿐 아니라 다음에 공부할 합동에서도 아주 중요하니까 꼭 기억하세요.
- 세 변의 길이를 알 때
- 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기를 알 때
- 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때
삼각형의 결정조건 세 가지 중에 첫 번째는 세 변의 길이를 알려줬을 때에요. 세 변의 길이를 알면 컴퍼스를 이용해서 삼각형을 그릴 수 있어요. 세 변의 길이만큼 컴퍼스를 벌려서 원을 그리고 그 교점들을 연결하면 되지요.
주의해야 할 건 세 변의 길이를 줬다고 해서 무조건 삼각형을 그릴 수 있는 게 아니에요.
가장 긴 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형을 그릴 수 없어요. 예를 들어 세 변의 길이가 1cm, 2cm, 100cm라면 삼각형을 그릴 수 없는 거죠. 마찬가지로 1cm, 2cm, 3cm이면 삼각형을 그릴 수 없어요.
세 변의 길이를 줬을 때 길이가 가장 긴 변의 길이는 다른 두 변 길이의 합보다 작아야 삼각형을 그릴 수 있어요. 이거 중요하니까 잊어버리지 마세요. 1cm, 2cm, 2.999cm는 삼각형을 그릴 수 있어요.
삼각형의 결정조건 두 번째는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때에요. 두 변의 길이를 알려준다고 했잖아요. 끼인각은 그 두 변이 만나서 생기는 각이에요. 다른 각은 안돼요. 꼭 길이를 알려준 두 변이 만난서 생기는 각이어야 해요. 이때는 끼인각을 먼저 그려요. 그다음 각 변의 길이만큼만 남기는 거지요.
삼각형의 결정조건 마지막은 한 변의 길이와 양쪽 끝각의 크기를 알 때에요. 한 변을 긋고 양쪽에 주어진 각과 크기가 같은 각을 넣으면 삼각형을 그릴 수 있어요.
변 AB의 길이를 알려줬을 때, △ABC를 그리기 위한 추가적인 조건으로 옳지 않은 것을 고르시오.
① 변 BC의 길이, 변 CA의 길이
② 변 BC의 길이, ∠B의 크기
③ ∠A의 크기, ∠B의 크기
④ 변 CA의 길이, ∠C의 크기
삼각형의 결정조건을 묻는 문제에요. 삼각형의 결정 조건은 세 변의 길이, 두 변의 길이와 끼인각의 크기, 한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때에요.
이 세 가지에 해당하지 않는 걸 찾아볼까요? 변 AB의 길이를 알고 있으니까 추가로 필요한 게 무엇인지 보면 되겠네요.
①은 두 변의 길이를 더 알려줬어요. 그러면 세 변의 길이를 모두 알려준 거니까 삼각형을 그릴 수 있겠네요
②는 한 변의 길이를 알려주고 한 각의 크기를 알려줬어요. 두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 길이를 알려준 두 변 사이의 끼인각이어야 한다고 했죠? 알려준 변은 AB와 BC에요. 그럼 그 사이에 끼인각은 ∠B가 되겠죠? 알려준 각이 끼인각인 ∠B의 크기라서 이때도 삼각형을 그릴 수 있겠네요.
③은 두 각의 크기를 알려줬어요. 한 변의 길이와 두 각을 알려줬으니까 두 각이 변의 양 끝각인지 알아봐야겠죠? 변 AB의 양 끝각은 ∠A와 ∠B인데 두 각의 크기를 알려줬네요. 삼각형을 그릴 수 있겠죠?
④는 한 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬어요. ②에서 했던 방법으로 살펴보면 두 변의 길이는 맞는데, 끼인각의 크기가 아니에요. 따라서 ④번은 삼각형의 결정 조건에 맞지 않아요.
삼각형의 작도
삼각형을 그리는 방법이에요. 삼각형을 그리는 방법은 여러 가지가 있지만 삼각형의 결정조건에 맞는 방법으로 그리면 돼요.
삼각형을 작도하는 첫 번째는 세 변의 길이가 주어졌을 때에요. 세 변의 길이를 주면 컴퍼스를 이용해서 그려요.
- 먼저 한 변의 길이만큼을 컴퍼스로 옮겨서 선을 그어요. 선분 AB라고 할게요.
- 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 바늘을 놓고 마지막 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요.
- ②와 ③의 교점에서 점 A와 점 B로 선을 그으면 △ABC가 돼요.
삼각형을 작도하는 두 번째는 두 변의 길이와 그 사이 끼인각의 크기가 주어졌을 때에요.
- 끼인각을 먼저 그려야 하는데, 크기가 같은 각의 작도에 있는 방법대로 알려준 각과 크기가 같은 각을 그려요. ∠POQ라고 해보죠.
- 점 O에 바늘을 놓고 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이때 원과 선분 OQ가 만나는 교점을 점 B라고 할게요.
- 다시 점 O에 바늘을 놓고 다른 한 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려요. 이 원과 선분 OP가 만나는 교점을 점 A라고 할게요.
- 점 A와 점 B를 연결하면 △AOB가 생겨요.
삼각형의 작도 마지막은 한 변의 길이와 양 끝각이 주어졌을 때에요.
- 한 변의 길이만큼을 컴퍼스를 이용해서 선을 그어요. 이걸 선분 AB라고 하지요.
- 선분 AB의 한쪽 끝 점 A에 미리 알려준 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 충분히 길게 그려요. 이 선분을 선분 AP라고 하지요.
- 선분 AB의 반대쪽 끝 점 B에 알려준 다른 크기의 각을 그려요. 이때 선분을 선분 BQ라고 하고 BQ와 선분 AP의 교점을 점 C라고 해보죠. 그러면 △ABC가 생겨요.
삼각형의 작도는 삼각형의 결정조건을 토대로 하되 전에 배웠던 크기가 같은 각을 작도하는 방법을 이용합니다.
삼각형의 결정조건 세 가지를 꼭 알고 있어야 하고, 실제로 작도를 해보면서 그 순서도 익혀보세요.
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비밀댓글입니다
저근데 값이 안나와 있는 경우는 어떻게 해야하나요
어떤 값을 말하는 거죠?
와 진짜 대단하시다 이 많은걸 진짜 님 혼자서 이렇게 정확하게 알려주시다니.. 가끔 오타도 나시긴 하지만 ㅋㅋㅋㅋㅋ
오타 신고 좀 해주세요. ㅎㅎ
삼각형의 결정조건이 2013년도부터 빠졌다고했는데...
저가 애들 가르칠때는... 책에 있었던 기억입니다.
문제도 나오고요. 오히려 이건 그냥 합동조건하고 한번에 설명하긴헸지만...
합동조건하고 같으니까 삭제된 걸로 알고 있어요.
이것 덕분에공부하기 쉬워졌어요
앞으로 더 쉽게 공부할 수 있게 도와드릴께요.
고마워요 도움이 많이 됫네요
댓글 고맙습니다. 직접 그려보면 이해가 더 잘 될 거예요.
두변과 끼인각 작도시에 두 변 먼저 작도하고 난 뒤에 각 작도를 하면 왜 안되는 건가요? 세변 작도해서 삼각형을 작도하는 것처럼 두변 먼저 작도한 다음에 각 작도를 하면 교점이 하나만 생기는 것 아닌가요?
답변 부탁드려요~
두 변을 먼저 작도하고 나서 각을 작도할 때, 한 변을 먼저 그리고 두 번째 변을 그릴 때 원을 그리죠? 그 원과 각을 작도할 때 원을 그리는데 이 두 원은 만나지 않거나 일치하게 돼요. 한 점에서만 만나야 작도를 할 수 있는데 그게 안 되는 거죠.
직접 그려보면 더 정확히 알 수 있을 거예요.
삼각형의 결정조건중에서 이것 말고도 두 변과 끼인각이 아닌 각이 주어져도 작도가 가능하지 않을까요? 먼저 1.길이가 짧은 변을 작도하고 2.두 변의 끝을 중심으로 하고 그 반지름이 길이가 긴 변인 원을 작도한 후 3.짧은 변의 다른쪽 끝점을 지나고 짧은 변과 주어진 각을 이루는 새로운 반직선을 그려 이 반직선과 원이 만나는 지점을 찾아 표시한 후 4. 이 점과 짧은 변의 끝을 이어주면 되지 않을까요...
말씀하신 방법으로 작도를 직접 해보시면 정확하지 않을까요? 특히 3번에서 반직선과 원이 만나는 점이 몇 개인지에 주의해서 그려보세요.
[삼각형의 결정조건, 삼각형의 작도]에서 '삼각형의 용어를 공부웠고' => '삼각형의 용어를 공부했고' 바꿔주시기 바랍니다.
바꿨습니다.
[오타신고]
위에서 12번째 문단에 (중간, [중1 수학 ~ 교재 안내] 나와있는곳 아래)
"가장 변의 길이가..." 이부분은 "가장 긴변의 길이가"의 오타인것 같습니다.
처음읽을때 '가장 변'이 뭐지 라고 생각했었어요.
네, 확인하고 수정했습니다. 고맙습니다.
오타 또 찾으면 알려주세요.
삼각형의 결정조건에서 두변의 길이를 알려줬을때 끼인각이 아닌 각이 주어지면 안되는 이유가 뭐죠?
이건 직접 그림으로 그려봐야 잘 이해됩니다.
두 변의 길이와 끼인각이 아닌 다른 각이 주어졌을 때, 끼인각의 크기를 바꿔보면서 삼각형을 그려보세요.
이거 그냥 각도기 쓰면 안됩니까?
각도기와 눈금 있는 자를 이용해서 그릴 수도 있겠죠.
하지만 여기서 다루는 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용해서 도형을 그리는 걸 말해요.
작도 https://mathbang.net/88
두변의 길이와 끼인 각이 아닌 경우 어떤 일이 생기는지 자세히 알려주세요
삼각형을 못 그리는 건 아니고요. 여러 모양의 삼각형을 그릴 수 있어요.
딱 정해진 하나의 삼각형을 그리지 못한다는 뜻으로 여러 사람이 그린 삼각형이 서로 다르겠죠.
그에 비해, 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때는 여러 사람이 그린 삼각형이 모두 똑같아요.