다각형에서 내각과 외각의 용어에 대해 이해하고 있죠?
삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 공부한 내용을 정리해보죠.
내각의 크기의 합 = 180°
외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
외각의 크기의 합 = 360°
그럼 이번에는 삼각형이 아니라 사각형, 오각형 등의 내각의 크기의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼까요.
그리고 일반적인 다각형, 그러니까 n각형에서의 내각과 외각의 성질에 대해서 알아보죠.
다각형 내각의 크기의 합
다각형의 내각의 크기의 합은 아주 간단하게 구할 수 있어요.
위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요. 한 점에서 대각선을 그어봤어요. 삼각형이 몇 개씩 생겼나요?
사각형은 두 개, 오각형은 세 개, 육각형은 네 개의 삼각형이 있어요.
대각선의 개수구하기, 대각선의 개수 공식에서 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)이라는 걸 공부했어요. 삼각형의 개수는 대각선의 수보다 하나 더 많으니까 (n - 3) + 1 = (n - 2)개예요.
내각의 크기를 어떻게 구하는지 대충 감이 오죠?
삼각형 내각의 크기의 합은 180°에요. 다각형의 한 점에서 대각선을 그어서 삼각형이 몇 개 들어있는지 세어본 다음에 삼각형 개수에 180°를 곱하면 다각형 내각의 크기의 합을 알 수 있어요.
| 다각형 | 사각형 | 오각형 | 육각형 | n각형 |
|---|---|---|---|---|
| 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 수 (개) | 1 | 2 | 3 | n - 3 |
삼각형의 수 (개) |
2 | 3 | 4 | n - 2 |
| 내각의 크기의 합 (°) | 180° × 2 = 360° |
180° × 3 = 540° |
180° × 4 = 720° |
180° × (n - 2) |
삼각형 내각의 크기의 합을 구하면 n = 3을 대입해서 180° × (3 - 2) = 180°로 나오는군요.
그냥 다각형이라면 한 내각의 크기를 구할 수는 없겠지만 정다각형은 한 내각의 크기를 구할 수 있겠죠? 정다각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 다각형이잖아요. 내각의 크기가 모두 같으니까 크기의 합을 나눠주면 구할 수 있겠지요.
정n각형 한 내각의 크기 = {정n각형 내각의 크기의 합} ÷ n
= {180° × (n - 2)} ÷ n
n각형 내각의 크기의 합 = 180° × (n - 2)
정n각형 한 내각의 크기 =
다각형의 외각의 크기
다각형의 외각의 크기의 합은 그림이 아니라 식으로 설명해 볼게요. 잘 따라오세요.
다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내각과 외각의 성질에 대해서 기억하고 있죠? 다각형에서 한 내각의 크기와 이웃한 외각의 크기의 합은 항상 180°라고 했어요.
다각형이 n각형이라면 각이 n개 있겠죠? 그러니까 전체 내각과 외각의 크기의 합은 180° × n이 될 거예요. 이걸 식으로 써보죠.
(내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180° × n
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (내각의 크기의 합) ← (내각의 크기의 합)을 이항
(외각의 크기의 합) = 180° × n - {180° × (n-2)} ← n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n-2)
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n - 180° × 2) ← 분배법칙
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n) + 360°
(외각의 크기의 합) = 360°
약간 복잡하긴 하지만 위 계산 과정을 거치면 다각형의 외각의 크기의 합은 360°라는 결과가 나와요.
삼각형, 사각형, 오각형과 관계없이 다각형의 외각의 크기의 합은 모두 360°로 일정해요.
그럼 정n각형의 한 외각의 크기는 얼마일까요? 전체가 360°니까 n으로 나눠주면 되겠네요.
n각형 외각의 크기의 합 = 360°
정n각형 한 외각의 크기 =
다음 다각형의 내각의 크기의 합과 한 내각의 크기, 외각의 크기의 합과 한 외각의 크기를 차례로 구하여라.
(1) 정오각형
(2) 정십각형
(3) 정십오각형
n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합은 정다각형이 아니어도 구할 수 있지만, 한 내각의 크기, 한 외각의 크기는 정n각형에서만 구할 수 있어요. 문제에서는 정n각형이네요. 표로 한 번 해볼까요?
| 다각형 | n각형 | 정오각형 | 정십각형 | 정십오각형 |
|---|---|---|---|---|
| 내각 크기의 합 | 180° × (n - 2) | 180° × (5-2) = 540° |
180° × (10-2) = 1440° |
180° × (15-2) = 2340° |
| 한 내각의 크기 | {180° × (n - 2)} ÷ n | 540° ÷ 5 = 108° |
1440° ÷ 10 = 144° |
2340° ÷ 15 = 156° |
| 외각 크기의 합 | 360° | 360° | 360° | 360° |
| 한 외각의 크기 | 360° ÷ n | 360° ÷ 5 = 72° |
360° ÷ 10 = 36° |
360° ÷ 15 = 24° |
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마지막 노란 박스 위에
다각형의 외각의 크기,,,,,,,,,,,에서
(외각읰 크기의 합) = 360°
외각의
원래 이런 글자가 있나요? ㅋㅋ
허허 이건 답이없다
맨위에 도형 그림있는 곳에
'위 그림은 사각형, 사각형, 오각형 그림인데요'
-> 위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요
로 바꾸셔야할 것 같습니다.
오타 찾아주셔서 고맙습니다. 바꿨습니다.
외각을 회각이라고 적었어요
고쳤어요. ㅠㅠ
180 x n - ( 180 x n - 180 x 2 ) 에서
180 x n - ( 180 x n ) + 360 으로 어떻게 되는건가요?
- 180 x 2 = - 360인데, 이게 괄호 밖으로 나온 거예요.
180 x n - ( 180 x n - 180 x 2 ) 일때
180 x n 을 A, 180 x 2 를 B 라고 하면
A - ( A - B ) 가 되는데, 이것은
A + ( -A ) + B 로 바꿀수 있으니까
180 x n - ( 180 x n ) + 360 이 되는것이 맞나요?
네 맞아요.
정다면체 외각의 합은요??
다면체에서는 내각, 외각의 크기를 구하지 않아요.
다각형의 외각의 크기 식에서
(180 x n - 180 x 2) -> (180 x n) + 360 이부분이 이해가 잘 안되는데
180 x 2 해서 360 인건 알겠고, 괄호 안에서 밖으로 나오면 부호가 바뀌는 건가요?
이항할때 부호 바뀌는건 알겠는데 괄호에서 나올때 부호바뀌는건 기억이 안나서요.
저부분이 나와있는 단원이 어딘지 알수 있을까요? 다시 복습해야 될것 같아요.
괄호 앞에 (-)가 있으니까 그것때문에 그래요.
분배법칙(http://mathbang.net/219)입니다.
왜 다각형의 외각은 항상 360도에여?
본문 내용이 그에 대한 설명이에요.
영국에서 아이를 키우는 엄마입니다. 집에서 수학법칙을 설명하거나 학교숙제를 도와주기위해 찾아보는데,
이해하기 쉽게 쓰여있는데다 예문까지 있어서 정말 큰 도움이 되고 있습니다. 감사합니다!
이제는 아이에게 직접 와서 공부하라고 해보세요. 어머니가 알려주시는 것보다 혼자서 공부하는게 더 효과가 좋으니까요.
중3수학하다가 자꾸 막혔는데 여기자료보고 깜짝 놀랐어요 기초부터 다시 밟아가니 아주 쉽다는걸 알겠네요 근데 저 공부 아주 못하는건 아니거든요 ㅋㅋ 저보다 못하는 애들은 저보다 기초가 부족한것 뿐이었네요 수학은 기발한게 아니라 기초인듯해요
기초부터 밟아가는 과정이 쉽다는 걸 깨달으셨으니까 앞으로 엄청난 발전이 있을 거예요.
힘내세요. ㅎㅎ
수학이 어렵다고만 생각했는데 중1이라서 인터넷으로 찾아보니까 약간은 쉬워진것같네여 ㅎㅎ
조금만 더 노력하면 약간이 아니라 매우매우 쉬워질 거예요.
제가 지금 선행을 하고 있는데도 이해하기 쉬워서 좋은것 같아요
실제로 학교에서 공부할 때까지 잊어버리지 말고 잘 기억해 두세요.
와 어떻게 구하나 막막했는데 감사합니다
앞으로는 막막한 일이 없을 거예요.
온라인 스쿨 이걸루 다해결 ㄳ
온라인 개학에 딱 맞나요?
어케하누
학교보다 훨씬 이해 잘 되네요
감사합니다
코로나 때문에 학교를 자주 안 가서 그런 것 아닐까요?
n각형의 내각의 크기의 합이 2340일 때 n의 값이 뭐에요
본문 노란 상자에 있는 공식에 대입하면 바로 나와요.
한 꼭짓점의 내각의 크기가 179인 정다각형이 있을까요?
정n각형의 한 내각의 크기 공식에 179를 넣어서 일차방정식을 만들어 계산해보면 360각형이라는 걸 알 수 있어요.
{180 x (n - 2)}/n = 179
저 진짜 헷갈릴때 마다 보는것 같아요 감사합니다(필기노트를 너무 학원에 많이 두고 와서) 딱2년 선행하는데 시험 공부하고 있어요 저번 시험 평균50점 나왔는데 수학방님것 참고하며 공부하겠습니다.