다각형에서 내각과 외각의 용어에 대해 이해하고 있죠?
삼각형 내각의 합과 외각의 크기, 외각의 합에서 공부한 내용을 정리해보죠.
내각의 크기의 합 = 180°
외각의 크기 = 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합
외각의 크기의 합 = 360°
그럼 이번에는 삼각형이 아니라 사각형, 오각형 등의 내각의 크기의 합과 외각의 크기, 외각의 크기의 합을 알아볼까요.
그리고 일반적인 다각형, 그러니까 n각형에서의 내각과 외각의 성질에 대해서 알아보죠.
다각형 내각의 크기의 합
다각형의 내각의 크기의 합은 아주 간단하게 구할 수 있어요.
위 그림은 사각형, 오각형, 육각형 그림인데요. 한 점에서 대각선을 그어봤어요. 삼각형이 몇 개씩 생겼나요?
사각형은 두 개, 오각형은 세 개, 육각형은 네 개의 삼각형이 있어요.
대각선의 개수구하기, 대각선의 개수 공식에서 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)이라는 걸 공부했어요. 삼각형의 개수는 대각선의 수보다 하나 더 많으니까 (n - 3) + 1 = (n - 2)개예요.
내각의 크기를 어떻게 구하는지 대충 감이 오죠?
삼각형 내각의 크기의 합은 180°에요. 다각형의 한 점에서 대각선을 그어서 삼각형이 몇 개 들어있는지 세어본 다음에 삼각형 개수에 180°를 곱하면 다각형 내각의 크기의 합을 알 수 있어요.
| 다각형 | 사각형 | 오각형 | 육각형 | n각형 |
|---|---|---|---|---|
| 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 수 (개) | 1 | 2 | 3 | n - 3 |
삼각형의 수 (개) |
2 | 3 | 4 | n - 2 |
| 내각의 크기의 합 (°) | 180° × 2 = 360° |
180° × 3 = 540° |
180° × 4 = 720° |
180° × (n - 2) |
삼각형 내각의 크기의 합을 구하면 n = 3을 대입해서 180° × (3 - 2) = 180°로 나오는군요.
그냥 다각형이라면 한 내각의 크기를 구할 수는 없겠지만 정다각형은 한 내각의 크기를 구할 수 있겠죠? 정다각형은 변의 길이와 내각의 크기가 모두 같은 다각형이잖아요. 내각의 크기가 모두 같으니까 크기의 합을 나눠주면 구할 수 있겠지요.
정n각형 한 내각의 크기 = {정n각형 내각의 크기의 합} ÷ n
= {180° × (n - 2)} ÷ n
n각형 내각의 크기의 합 = 180° × (n - 2)
정n각형 한 내각의 크기 =
다각형의 외각의 크기
다각형의 외각의 크기의 합은 그림이 아니라 식으로 설명해 볼게요. 잘 따라오세요.
다각형, 내각, 외각, 정다각형에서 공부했던 내각과 외각의 성질에 대해서 기억하고 있죠? 다각형에서 한 내각의 크기와 이웃한 외각의 크기의 합은 항상 180°라고 했어요.
다각형이 n각형이라면 각이 n개 있겠죠? 그러니까 전체 내각과 외각의 크기의 합은 180° × n이 될 거예요. 이걸 식으로 써보죠.
(내각의 크기의 합) + (외각의 크기의 합) = 180° × n
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (내각의 크기의 합) ← (내각의 크기의 합)을 이항
(외각의 크기의 합) = 180° × n - {180° × (n-2)} ← n각형의 내각의 크기의 합 = 180° × (n-2)
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n - 180° × 2) ← 분배법칙
(외각의 크기의 합) = 180° × n - (180° × n) + 360°
(외각의 크기의 합) = 360°
약간 복잡하긴 하지만 위 계산 과정을 거치면 다각형의 외각의 크기의 합은 360°라는 결과가 나와요.
삼각형, 사각형, 오각형과 관계없이 다각형의 외각의 크기의 합은 모두 360°로 일정해요.
그럼 정n각형의 한 외각의 크기는 얼마일까요? 전체가 360°니까 n으로 나눠주면 되겠네요.
n각형 외각의 크기의 합 = 360°
정n각형 한 외각의 크기 =
다음 다각형의 내각의 크기의 합과 한 내각의 크기, 외각의 크기의 합과 한 외각의 크기를 차례로 구하여라.
(1) 정오각형
(2) 정십각형
(3) 정십오각형
n각형의 내각의 크기의 합과 외각의 크기의 합은 정다각형이 아니어도 구할 수 있지만, 한 내각의 크기, 한 외각의 크기는 정n각형에서만 구할 수 있어요. 문제에서는 정n각형이네요. 표로 한 번 해볼까요?
| 다각형 | n각형 | 정오각형 | 정십각형 | 정십오각형 |
|---|---|---|---|---|
| 내각 크기의 합 | 180° × (n - 2) | 180° × (5-2) = 540° |
180° × (10-2) = 1440° |
180° × (15-2) = 2340° |
| 한 내각의 크기 | {180° × (n - 2)} ÷ n | 540° ÷ 5 = 108° |
1440° ÷ 10 = 144° |
2340° ÷ 15 = 156° |
| 외각 크기의 합 | 360° | 360° | 360° | 360° |
| 한 외각의 크기 | 360° ÷ n | 360° ÷ 5 = 72° |
360° ÷ 10 = 36° |
360° ÷ 15 = 24° |
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