다각형에 이어 이번에는 원이에요.

다각형은 여러 개의 선분으로 둘러싸인 평면도형이었어요.

이번에는 선분이 아닌 것들로 둘러싸인 도형을 공부할 거예요. 바로 원과 그 친구들이죠.

원은 초등학교 때 지름, 반지름, 넓이 구하는 걸 하면서 공부했어요. 그때의 내용이 또 나와요. 하지만 고맙게도 계산은 훨씬 쉬워졌어요. 기대하세요.

원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴

은 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점들로 이루어진 도형이에요. 그리고 그 한 점을 원의 중심이라고 하고, 일정한 거리를 우리는 반지름이라고 하지요.

호, 현, 원의 중심, 지름

는 원의 일부분인데, 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부를 말해요. 이때 양 끝점이 A, B이면 호 AB라고 부르고 기호로 로 나타내요. 선분 AB는 AB 위에 반듯한 선을 그어서 선분 AB로 표시했는데, 호는 AB 위에 곡선을 그어서 표시해요.

A와 B를 양 끝점으로 하고, 중간에 점 C를 지나는 호는 정확한 경로를 알 수 있게 호 ACB라고 불러요.

은 원 위의 두 점을 이은 선분을 말해요. 현이 지나는 두 점이 AB이면 현 AB라고 부르고 기호로 선분로 표시해요. 현은 반듯한 선분이라서 기호도 그냥 선분 기호를 사용해요.

현 중에서 원의 중심을 지나는 현을 지름이라고 하고, 지름은 현 중에서 길이가 가장 길어요.

부채꼴과 활꼴, 부채꼴의 중심각

활꼴은 이름 그대로 활처럼 생겼어요. 호와 현으로 이루어진 도형을 말해요.

부채꼴은 부채모양처럼 생겼고요. 호와 원의 반지름 두 개로 이루어진 도형이에요. 부채꼴에는 두 반지름이 원의 중심에서 만나서 생기는 각이 있지요? 이 각을 부채꼴의 중심각이라고 불러요.

부채꼴과 중심각

부채꼴의 중심각은 중요한 의미가 있어요. 바로 중심각에 따라 부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이가 달라지기 때문이죠.

부채꼴의 중심각

하나의 원이나 합동인 두 원에서

  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
  • 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
  • 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
  • 부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.

위에서 ∝ 표시는 정비례 표시에요. 중심각이 2배, 3배로 커지면 그에 따라 부채꼴 호의 길이도 2배, 3배로 길어진다는 뜻이에요. 부채꼴의 넓이도 마찬가지고요. 단, 현의 길이는 정비례하지 않아요.

아래 그림을 보고 x의 길이를 구하시오.

 

위 그림에서 x는 부채꼴 호의 길이에요. 한 원에서 부채꼴의 중심각과 부채꼴 호의 길이는 정비례한다고 했어요.

위에 있는 부채꼴의 중심각은 40°이고, 호의 길이는 xcm예요. 아래에 있는 부채꼴의 중심각은 120°이고 호의 길이는 9cm고요. 정비례하니까 비례식으로 풀어보죠.

40° : xcm = 120° : 9cm
120° × xcm = 40° × 9cm
x = 40 × 9 ÷ 120
x = 3

x는 3cm네요.

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정리해볼까요

원과 호, 현, 활꼴, 부채꼴

  • 원: 평면 위의 한 점으로부터 거리가 일정한 점들로 이루어진 도형
  • 호: 원 위의 두 점을 양 끝으로 하는 원의 일부분
  • 현: 원 위의 두 점을 이은 선분. 현 중에 제일 긴 현은 지름
  • 활꼴: 현과 호로 이루어진 도형
  • 부채꼴: 호와 반지름 두 개로 이루어진 도형. 부채꼴의 중심각

부채꼴의 중심각

  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다
  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 부채꼴의 넓이도 같다.
  • 부채꼴의 중심각의 크기가 같으면 현의 길이도 같다.
  • 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴 호의 길이
  • 부채꼴의 중심각 ∝ 부채꼴의 넓이
  • 부채꼴의 중심각과 현의 길이는 정비례하지 않는다.
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