원뿔의 겉넓이와 부피, 각뿔의 겉넓이와 부피

이제 중1 수학도 막바지에 다랐어요. 얼마 남지 않았으니까 조금 더 힘내세요.

이번 글에서는 각뿔과 원뿔의 겉넓이와 부피에 대해서 알아볼 거예요.

각뿔과 원뿔의 겉넓이는 각기둥과 원기둥의 겉넓이, 부피, 부채꼴의 넓이 구하는 공식 등에 대해서 알고 있어야 이해할 수 있어요.

혹시 잘 기억이 안 난다면 원기둥의 부피와 겉넓이, 각기둥의 부피와 겉넓이와 부채꼴 넓이를 얼른 보고 오세요.

각뿔의 겉넓이와 부피

각기둥의 겉넓이를 구할 때 전개도로 펼쳐서 구했어요. 그리고 (밑면의 넓이) + (옆면의 넓이)로 구했고요. 각뿔도 마찬가지예요.

각뿔이 각기둥과 다른 점은 밑면이 한 개뿐이고, 옆면은 모두 삼각형이라는 거예요.

밑면은 각뿔의 형태에 따라 다르지만 다각형의 넓이 구하는 방법으로 구할 수 있잖아요.

각기둥에서는 옆면이 직사각형이라서 하나의 큰 직사각형으로 구할 수 있었는데, 각뿔에서는 옆면이 삼각형인 데다 삼각형의 넓이도 제각각이어서 하나씩 구해서 다 더해줘야 하는 불편함이 있어요. 하지만 실제 문제에서는 옆면이 이등변삼각형으로 합동인 경우가 많으니까 하나 구해서 × 4하면 돼요.

주의해야 할 게 있는데, 각뿔의 높이와 옆면인 삼각형의 높이를 잘 구별하세요.

각뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 각기둥의 부피의 이니까 각기둥의 부피에 을 곱해서 구해요.

각뿔의 높이가 h일 때
각뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이)
각뿔의 부피 = × (밑넓이) × (높이) = Sh

원뿔의 겉넓이와 원뿔의 부피

원뿔을 전개도로 펼쳐보면 아래 그림처럼 부채꼴인 옆면 한 개와 원인 밑면 한 개로 되어 있어요.

원뿔의 넓이도 (밑넓이) + (옆넓이)니까 (원의 넓이) + (부채꼴의 넓이)하면 되겠지요.

밑면은 반지름이 r인 원이니까 넓이는 πr²이에요.

옆넓이인 부채꼴 넓이는 중심각의 크기를 알 때와 부채꼴 호의 길이를 알 때 두 가지 방법으로 구할 수 있는데, 여기서는 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식으로 부채꼴의 넓이를 구합니다.

부채꼴의 넓이 = rl

여기서 r은 부채꼴의 반지름, l은 부채꼴 호의 길이를 말해요. 위 전개도에 나온 r, l과 서로 다른 r, l이죠. 이 부분을 주의하세요.

부채꼴의 반지름은 모선의 길이 l이에요. 부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같아요. 밑면의 반지름이 r이라면 부채꼴 호의 길이는 2πr이죠. 공식에 대입해서 옆면인 부채꼴의 넓이를 구하면 × l × 2πr = πrl이 나와요.

각뿔의 부피가 각기둥의 부피의 이라고 했지요? 원뿔의 부피도 밑면의 반지름과 높이가 같은 원기둥의 부피의 이에요.

원기둥의 부피는 πr²h였으니까 여기에 을 곱해서 구할 수 있어요.

밑면의 반지름이 r, 높이가 h, 모선의 길이가 l일 때
원뿔의 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = πr² + πrl
원뿔의 부피 = × (밑넓이) × (높이) = πr²h