이제 이 글이 중1 수학 마지막 글입니다.

정말 길었네요. 정수와 유리수, 방정식, 함수, 통계, 평면도형, 입체도형까지 정말 많이 공부했어요. 중학교 과정에서 배울 내용의 기초적인 부분이었기 때문에 새로운 수도 나오고 새로운 용어도 많이 나왔죠.

어쨌든 이 글이 1학년 수학 마지막이니까 짧게 하고 끝내죠.

마지막은 구의 부피구의 겉넓이입니다.

구의 부피와 구의 겉넓이

구는 축구공, 배구공처럼 둥근 공 모양을 구하고 하지요? 구는 밑면, 옆면 구분이 없어요. 그래서 전개도로 펼쳐서 구하지 않아요.

구의 부피

구의 부피부터 구해보죠.

원뿔의 부피는 원기둥의 부피의  1/3이었어요. 구는 원기둥 부피의  2/3입니다.

원기둥의 부피의 2/3인데, 이때의 원기둥의 높이는 얼마일까요? 구의 반지름이 r이라고 하면 원기둥의 높이는 2r, 즉 구의 지름의 길이와 같아요.

원기둥의 부피 공식에서 높이에는 2r을 넣어주고, 2/3를 곱해주면 구의 부피를 구할 수 있어요.

πr2h                    →     2/3πr2 × 2r
                                = 3/4πr3

구의 겉넓이는 구의 부피와 각뿔의 부피를 이용해서 구하는데, 그 과정이 조금 어려워요. 공식 구하는 과정은 고등학교 올라가면 자연스럽게 알게 될 거니가 여기서는 그냥 결과만 얘기할게요.

구의 겉넓이는 4πr2입니다.

구의 반지름이 r일 때
구의 부피 = 3/4πr3
구의 겉넓이 = 4πr2

잘 보세요. 구의 부피는 마지막이 r의 세제곱이고, 구의 겉넓이는 r의 제곱이에요. 착각하지 마세요.

반지름이 6cm인 반구가 있다. 이 반구의 겉넓이와 부피를 구하여라.

반구는 구가 반으로 잘린 걸 말해요.

먼저 부피를 구해보죠. 반구는 원래 구의 반이니까 부피도 절반이겠죠?

반구의 부피 = 구의 부피 ÷ 2
= 3/4πr3 ÷ 2
= 3/4π63 ÷ 2
= 144π(cm3)

반구의 겉넓이는 구의 겉넓이의 절반이에요. 그런데 반구에서 잘린 면이 있지요? 이 면의 넓이를 더해줘야 해요. 이 잘린 면은 원이네요.

반구의 겉넓이는 = 구의 겉넓이 ÷ 2 + 잘린 면의 넓이
= 4πr2 ÷ 2 + πr2
= 4π62 ÷ 2 + π62
= 72π + 36π
= 108π(cm2)

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정리해볼까요

구의 겉넓이와 부피

  • 구의 반지름이 r일 때
  • 구의 부피 = 3/4π
  • 구의 겉넓이 = 4πr2
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