1학년 때 원뿔의 겉넓이와 부피를 구하는 공식을 배웠어요. 이때는 밑면의 반지름과 높이를 알려줬죠?

이제는 높이를 알려 주지 않아요. 대신 모선의 길이를 알려주죠. 이 주어진 모선의 길이를 이용해서 높이를 구한 다음 원뿔의 부피를 구해야 해요. 물론 높이를 구하는 과정은 피타고라스의 정리를 이용할 거고요.

높이를 구하는 과정만 추가된 거니까 원뿔의 부피 공식은 그대로 사용할 수 있어요. 즉, 이 글에서는 부피를 구하는 것보다는 높이를 구하는 과정이 더 중요해요.

원뿔의 높이 구하기

아래 그림 같은 원뿔이 있어요.

 

원뿔의 높이와 부피

높이(h)와 밑면의 반지름(r), 모선(l)으로 이루어진 직각삼각형을 만들 수 있겠죠? 이 중 반지름과 모선의 길이를 알면 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있습니다. △ABO에 피타고라스의 정리를 적용해보죠.

 

원뿔의 높이

원뿔의 부피 공식

원뿔의 겉넓이와 부피에서 밑면의 반지름이 r인고 높이가 h인 원뿔의 부피를 구하는 공식을 공부했죠?

원뿔의 부피 공식

원뿔의 부피 공식은 그대로예요. 높이를 알려주지 않았을 때 위의 직각삼각형을 그려서 높이를 구하고 공식에 대입하면 되는 겁니다.

아래 그림을 보고 물음에 답하시오.
(1) 밑면의 반지름 r은 얼마인가?
(2) 원뿔의 부피를 구하여라.
원뿔의 높이와 부피 예제

원뿔의 전개도인데, 위쪽의 부채꼴과 아래쪽의 원(밑면)으로 두 부분으로 나뉘어 있어요. 8cm로 나오는 부분은 부채꼴의 반지름이자 원뿔의 모선의 길이에요. 원뿔의 높이가 아니니까 주의하세요.

(1)에서 반지름을 구하라고 했는데요, 얼핏 보니 주어진 정보가 모선의 길이밖에 없어요. 그리고 또 뭐 있죠? 바로 부채꼴의 중심각이에요. 부채꼴의 중심각이 직각이네요.

부채꼴에서 중심각을 알면 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 부채꼴 호의 길이를 구할 수 있어요. 부채꼴 호의 길이는 밑면의 원주와 같으니 여기에서 반지름을 구하는 거죠.

 

부채꼴 호의 길이

위 공식에서의 r과 문제에서 구하라고 하는 r은 다르다는 것쯤은 알고 있죠? 공식에 넣을 r은 바로 원뿔의 모선의 길이인 8cm입니다.

부채꼴 호의 길이 = 2π × 8 × 90° ÷ 360° = 4π(cm)

부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
4π = 2πr
r = 2(cm)

(2)번은 원뿔의 부피를 구하라고 했네요.

부피를 구하려면 먼저 높이를 구해야겠죠? 높이는 피타고라스의 정리를 이용해서 구해요.

원뿔의 부피와 높이 예제 풀이 1

원뿔의 부피와 높이 예제 풀이 2

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정리해볼까요

원뿔의 높이와 부피

  • 원뿔의 높이: 모선의 길이(l)와 밑면의 반지름(r), 높이(h)를 이용하여 직각삼각형을 만들어 구한다.
    원뿔의 높이 공식
  • 원뿔의 부피: 원뿔의 부피 공식
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