징글징글한 피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명 마지막입니다. 입체도형에서 최단거리 구하기에요.

입체도형에서의 최단거리는 입체도형 대각선의 길이 구하기와는 달라요. 대각선은 꼭짓점을 연결하는 선이 입체도형 내부를 지나가지만 최단거리는 입체도형의 표면 위를 지나는 선의 길이를 구하는 겁니다.

원뿔이나 원기둥에서는 시작점과 끝점이 같은 경우가 대부분입니다. 한 점에서 시작해서 한 바퀴를 돌고 원래 자리로 돌아오는 거죠.

입체도형에서 최단거리를 구하는 방법에 대해서 알아보죠.

직육면체에서의 최단거리

직육면체에서 꼭짓점 C와 꼭짓점 E의 최단거리를 구하는 과정이에요. 두 점사이의 최단거리는 두 점을 연결하는 선분의 길이와 같기때문에 를 구하면 돼요. 직육면체의 대각선이 아니라 모서리 AB를 지나는 요.

입체도형에서의 최단거리 - 직육면체

입체도형에서 두 점을 잇는 최단거리를 구하는 것의 핵심은 전개도를 그리는 거예요. 전개도를 그린 다음 두 점을 선분으로 연결하고 거기에서 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 이용하는 거죠.

  1. 입체도형의 전개도를 그린다.
  2. 두 점을 선분으로 연결한다.
  3. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.

전개도를 그려보면 오른쪽 그림처럼 그릴 수 있어요. 모든 전개도를 다 그리지 말고 필요한 부분만 그리자고요. 선분 CE는 △CEF의 빗변이 되는 걸 알 수 있어요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

비교. 직육면체 대각선의 길이 =

원뿔에서의 최단거리

한 점에서 원뿔을 한 바퀴 돌아서 원래 자리로 돌아오는 최단거리를 구하는 예입니다.

입체도형에서의 최단거리 - 원뿔

원뿔에서의 최단거리도 마찬가지로 전개도를 그려서 선분을 긋고 피타고라스의 정리를 이용해요. 직육면체와 차이가 있다면 부채꼴의 중심각을 구하는 거지요.

  1. 입체도형의 전개도를 그린다.
  2. 두 점을 선분으로 연결한다.
  3. 부채꼴의 중심각을 구한다. 부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원의 둘레
  4. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.

원뿔에서의 최단거리를 전개도로 펼쳐서 그어보면 오른쪽 그림처럼 돼요. 빨간 선과 모선(부채꼴의 반지름)으로 이루어진 삼각형은 이등변삼각형이죠.

부채꼴 호의 길이는 밑면인 원의 둘레와 같죠? 부채꼴의 중심각을 알려면 이 성질을 이용해요. 부채꼴 호의 길이는 부채꼴 호의 길이, 부채꼴 넓이에 나온 공식으로 구할 수 있어요.

모선의 길이가 8cm, 밑면의 반지름이 2cm인 부채꼴에서 최단거리를 구하여라. (그림 생략)

그림은 위에 있는 그림과 같으니까 생략했어요.

모선의 길이가 8cm인 부채꼴 호의 길이와 반지름이 2cm인 원의 둘레 길이가 같아요. 중심각을 x라고 하죠.

x = 90도로 직각이등변삼각형이네요. 특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비에서 직각이등변삼각형에서 빗변의 길이는 1 : 1 : 이므로 빨간 선이 나타내는 최단거리는 가 되네요.

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정리해볼까요

직육면체에서의 최단거리

  1. 입체도형의 전개도를 그린다.
  2. 두 점을 선분으로 연결한다.
  3. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.

원뿔에서의 최단거리

  1. 입체도형의 전개도를 그린다.
  2. 두 점을 선분으로 연결한다.
  3. 부채꼴의 중심각을 구한다. 부채꼴 호의 길이 = 밑면의 원주
  4. 직각삼각형을 찾아 피타고라스의 정리를 적용하여 선분의 길이를 구한다.
 
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