피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명에서 잠깐 얘기한 적이 있는데, 피타고라스의 정리에서 자주 나오는 수들이 있어요. 피타고라스의 수라고 하는데, 직각삼각형 세 변의 길이의 비가 3 : 4 : 5, 5 : 12 : 13인 것들이지요. 이건 자연수로 된 비고, 오늘은 무리수가 포함된 세 변의 길이의 비에 대해서 알아보죠.

이 글에서 얘기할 직각삼각형 세 변의 길이의 비는 나중에 공부할 삼각비에 또 나와요. 어차피 공부할 거니까 한 번에 잘 이해해두면 좋겠죠?

직각삼각형의 모양과 세 변의 길이의 비, 삼각형의 세 내각 사이의 관계를 잘 알아두세요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비

내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비

대각선의 길이 구하는 공식을 유도할 때, 정사각형에서 대각선을 구했던 것 기억하죠? 한 변의 길이가 a인 정사각형에서 대각선을 그으면 두 변의 길이가 a이고 빗변의 길이가 인 직각이등변삼각형 두 개가 만들어져요. 직각이등변삼각형이니까 ∠C = 90°고, 이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따라 ∠CAB = ∠CBA = 45°에요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비 - 45°, 45°, 90°

위의 내용을 정리해볼게요. 한 변의 길이가 a이고 세 내각의 크기가 45° 45°, 90°인 직각이등변삼각형 빗변의 길이는 인 거죠.

45°, 45°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가 a : a :  = 1 : 1 : 에요.

세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : 1 :

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

직각삼각형인데 한 각은 직각이고, 다른 한 각이 45°에요. 그럼 표시되지 않은 나머지 한 각은 45°겠지요? 세 내각이 45°, 45°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 5 : y : x = 1 : 1 : 네요.

따라서 y = 5(cm), x = (cm)입니다.

내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비

이번에는 정삼각형 높이와 넓이 공식을 유도할 때를 생각해보세요. 정삼각형의 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내렸더니 빗변은 a, 밑변은 , 높이는 인 삼각형이 만들어졌어요.

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비 - 30°, 60°, 90°

원래 정삼각형이었으니까 ∠B = 60°에요. 그리고 꼭짓점에서 수선을 내렸으니까 ∠AHB = 90°고, ∠HAB = 30°에요.

위 내용을 정리해보죠. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형에서 밑변은 , 높이는 , 빗변은 a에요.

30°, 60°, 90°의 대변의 순서대로 길이의 비가  :  : a = 1 :  : 2입니다.

세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비
⇔ 1 : : 2

다음 직각삼각형에서 x, y의 값을 구하여라.

한 내각의 크기는 직각, 다른 내각의 크기가 60°이므로 남은 한 각의 크기는 30°에요. 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°니까 세 변의 길이의 비는 3 : x : y = 1 : : 2죠.

따라서 x = (cm), y = 6(cm)입니다.

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정리해볼까요

특수한 직각삼각형 세 변의 길이의 비

  • 세 내각의 크기가 45°, 45°, 90°인 직각이등변삼각형 세 변의 길이의 비 = 1 : 1 :
  • 세 내각의 크기가 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 세 변의 길이의 비 = 1 : : 2
 
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