피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?

피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.

이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.

피타고라스 정리의 활용

사각형에서 두 대각선이 직교할 때

다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.

피타고라스의 정리 활용 - 사각형 1

대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,

= a2 + c2 …… ①
= b2 + c2 …… ②
= b2 + d2 …… ③
= d2 + a2 …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a2 + b2 + c2 + d2의 관계가 성립해요.

사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
 +  =  +

다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.
피타고라스 정리의 활용 - 사각형 1 예제

마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 82 + x2 = 122 + 62
64 + x2 = 144 + 36
x2 = 116
x = (cm, x > 0)

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

피타고라스 정리의 활용 - 사각형 2

이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.

라고 할께요.

점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면

= a2 + c2 …… ①
= b2 + c2 …… ②
= b2 + d2 …… ③
= d2 + a2 …… ④

위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a2 + b2 + c2 + d2의 관계가 성립해요.

직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
 +  +

다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.
피타고라스 정리의 활용 - 사각형 2 예제

직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 82 + x2 = 62 + 72
64 + x2 = 49 + 36
x2 = 21
x = (cm, x > 0)

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정리해볼까요

피타고라스 정리의 활용

  • 사각형의 두 대각선이 직교할 때: 마주보는 두 변의 길이의 제곱의 합이 서로 같다.
  • 직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 서로 같다.
 
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