유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명

유클리드의 증명, 가필드의 증명 - 피타고라스의 정리 증명

피타고라스의 정리는 수많은 방법으로 증명이 이루어졌어요. 그중에서 가장 유명한 증명 방법인 유클리드의 증명과 가필드의 증명 방법에 대해서 알아보죠.

피타고라스의 정리, 피타고라스 정리의 증명에서도 피타고라스의 증명과 바스카라의 증명을 알아봤지만, 이 글에서 설명할 유클리드의 증명과 가필드의 증명도 아주 유명한 증명이라서 꼭 이해해야 해요.

피타고라스의 증명 방법은 이 외에도 엄청나게 많아요. 그걸 다 알 필요는 없지만 그래도 두 글에서 설명했던 몇 가지 정도는 알고 있어야 해요.

유클리드의 증명

유클리드의 증명은 좀 까다로운 방법을 이용해서 증명합니다.

직각삼각형 세 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 그리고 그 넓이를 비교해서 증명하는 방법이에요. 아래 그림에서 같은 색으로 표시된 곳의 넓이가 같아요.

피타고라스의 정리 증명 - 유클리드의 증명

파란색으로 표시된 사각형의 넓이는 이고, 빨간색으로 표시된 사각형의 넓이는 이예요. □ABHI의 넓이는 이고요. 넓이의 비교를 통해서 = + 이라는 걸 알 수 있는 거죠.

그림 중에서 필요한 부분만 따로 떼서 보시죠.

피타고라스의 정리 증명 - 유클리드의 증명 2

첫 번째, 두 번째 그림에서 밑변의 길이가 변 BE의 길이이고, 높이는 변 BC의 길이이기 때문에 (△BCE의 넓이) = (△ABE의 넓이)가 성립해요.

세 번째, 네 번째 그림에서도 밑변의 길이(변 BH의 길이)와 높이가 같으므로 (△CBH의 넓이) = (△JBH넓이)가 성립해요

이번에는 두 번째, 세 번째 삼각형을 보죠.

□BCDE가 정사각형이기 때문에 에요. □ABHI도 정사각형이기 때문에 입니다. 두 번째 그림의 ∠EBA = 90° + ∠CBA이고, 세 번째 그림의 ∠CBH = 90° + ∠CBA로 ∠EBA = ∠CBH가 되죠. 따라서 두 번째, 세 번째 그림에서 두 삼각형은 SAS 합동이에요. 두 도형이 합동이면 넓이가 같죠?

첫 번째, 두 번째 그림에서 삼각형은 넓이가 같고(합동 아님), 두 번째, 세 번째 그림의 삼각형은 합동으로 넓이가 같고, 세 번째 네 번째 그림의 삼각형은 넓이가 같아요(합동 아님). (1) = (2) ≡ (3) = (4)

이를 통해서 첫 번째 그림의 삼각형과 네 번째 그림의 삼각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있어요. (△BCE의 넓이) = (△BHJ의 넓이). 삼각형의 넓이가 같으니까 그 넓이가 2배인 사각형의 넓이도 같겠죠?

(□BCDE의 넓이) = 2 (△BCE의 넓이) = 입니다.

위 과정을 반복하면 □ACFG에서 같은 결론을 얻어서 두 사각형의 넓이가 같다는 걸 알 수 있고요.

결국 (□BCDE의 넓이) + (□ACFG의 넓이) = (□ABHI의 넓이)라는 걸 알 수 있지요. 정사각형의 넓이는 변의 길이의 제곱인데, 세 정사각형의 변의 길이는 직각삼각형 △ABC의 세 변의 길이이므로 △ABC에서 피타고라스의 정리가 성립함을 증명할 수 있는 거죠.