피타고라스의 정리는 기본적으로 직각삼각형에서 출발한 정리잖아요. 그래서 이번에는 조금 복잡한 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용하는 방법들을 설명할 겁니다.

하나의 직각삼각형 안에 다른 직각삼각형들이 들어있을 때, 각 변들의 관계에 대해서 알아보죠. 숨어있는 직각삼각형을 잘 찾아내는 게 중요한 문제들입니다.

그리고 히포크라테스의 초승달이라고 불리우는 직각삼각형을 중심으로 그려진 반원들에 대해서도 알아보죠. 반원의 넓이와 직각삼각형의 넓이는 어떤 관계가 있는 지 말이죠.

직각삼각형과 피타고라스의 정리

직각삼각형 △ABC에서 빗변이 아닌 두 변에 임의의 점 D, E를 잡아요. D, E에서 반대편 꼭짓점으로 선을 그었더니 아래 그림처럼 됐어요.

직각삼각형과 피타고라스의 정리

위 그림에서 직각삼각형을 몇 개나 찾을 수 있나요? △ABC, ADE, △ADC, △ABE 총 네 개의 직각삼각형을 찾을 수 있어요. 각 삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해볼까요?

△ABC에서  = (a + c)2 + (b + d)2       ①
△ADE에서  = a2 + b2                       ②
△ADC에서  = a2 + (b + d)2              ③
△ABE에서  = (a + c)2 + b2              ④

① + ② = ③ + ④ = a2 + b2 + (a + c)2 + (b + d)2이 돼요.

 +  =  + 이 되는 거죠.

공식이나 말로 외우려면 절대 외워지지 않아요. 선을 찾아서 그으면서 그림으로 외우세요.

다음 그림을 보고  + 을 구하여라.
직각삼각형과 피타고라스의 정리 예제

 +  =  +
                       = 82 + (32 + 42)
                       = 64 + (9 + 16)
                       = 89

히포크라테스의 초승달

직각삼각형의 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원들 사이의 관계에도 재미있는(?) 특징이 있어요.

아래 그림처럼 각 변의 길이를 지름으로 하는 반원을 그렸어요. 각 부분의 넓이를 P, Q, R이라고 해보죠.

히포크라테스의 초승달 1

P, Q, R을 구해보면 아래처럼 나오네요. 원의 넓이 구하는 법 모르는 사람은 없겠죠?

(P의 넓이) =  = 
(Q의 넓이) =  = 
(R의 넓이) =  = 

여기에서 P와 Q를 더해보면,
P + Q =  + 
         =(a2 + b2)
        =       (∵ a2 + b2 = c2)
         = R

빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이는 다른 두 변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이의 합과 같음을 알 수 있어요.

이 성질을 이용해서 다른 문제를 풀어보죠. 아래 그림을 보세요.

히포크라테스의 초승달 2

이번에는 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원을 반대방향으로 즉, 삼각형과 겹치게 그려봤어요. 겹치는 부분을 뺀 나머지 넓이를 S1, S2라고 해볼까요?

S1 + S2는 전체의 넓이에서 빗변의 길이를 지름으로 하는 반원의 넓이를 빼면 되겠죠?

히포크라테스의 초승달 3

S1 + S2 = P + Q + △ABC - R
            = R + △ABC - R      (∵ P + Q = R)
            = △ABC

두 영역의 넓이의 합은 △ABC의 넓이와 같다는 걸 알 수 있어요.

다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. ()
히포크라테스의 초승달 - 예제

일단 색칠한 부분은 직각삼각형 부분과 반원의 일부이죠? 반원의 일부는 직각삼각형의 넓이와 같아요. 따라서 문제의 그림에서 색칠한 부분의 넓이는 삼각형 넓이의 두 배가 되겠네요.
S1 + S2 + △ABC = 2 × △ABC = 2 × ½ × 3 × 4 = 12(cm2)

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