이제는 삼각형의 높이를 가르쳐주지 않고, 세 변의 길이만 줘요. 그리고 넓이를 구하라고 하는 거죠. 넓이를 구하려면 높이를 알아야 하는데, 이때 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구할 수 있어요.

세 변의 길이를 주는 가장 쉬운 삼각형은 정삼각형이죠? 피타고라스의 정리를 이용해서 정삼각형의 넓이 공식정삼각형의 높이 공식을 유도해보죠. 그리고 정삼각형이 아닌 그냥 삼각형에서 세 변의 길이를 줬을 때 넓이를 구하는 방법도요.

피타고라스의 정리를 이용하기 위해서는 선을 그어서 직각삼각형을 만드는 것이 가장 중요해요.

정삼각형 넓이 공식, 정삼각형 높이 공식

정삼각형은 세 변의 길이가 같고, 세 각의 크기도 60°로 같아요. 삼각형의 넓이를 알려면 우선 높이부터 구해야겠죠?

이등변삼각형의 성질, 이등변삼각형이 되는 조건에 따르면 정삼각형의 각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하죠. 정삼각형의 한 각의 이등분선, 즉 밑변의 수직이등분선을 그으면 두 개의 직각삼각형이 생겨요.

정삼각형 넓이 공식, 정삼각형 높이 공식

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. 정삼각형 한 변의 길이를 a라고 하면, = a, 가 돼요.

피타고라스의 정리를 적용해보면

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이가 니까 정삼각형의 넓이는 가 됩니다.

한 변의 길이가 a인 정삼각형
정삼각형의 높이 =
정삼각형의 넓이 =

한 변의 길이가 3cm인 정삼각형의 높이와 넓이를 구하여라.

한 변의 길이가 a인 정삼각형의 높이는 인데, a = 3cm이므로 (cm)입니다.

넓이는 앞에서 구한 높이를 이용해서 구해도 되고, 공식에 넣어서 구해도 되죠. (cm2)

삼각형의 높이와 넓이 구하기

일반적인 삼각형의 높이와 넓이도 정삼각형에서 구하는 것과 같은 방법으로 구해요. 한 꼭짓점에서 대변으로 수선을 내려서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거지요.

삼각형 세 변의 길이를 a, b, c라고 해보죠.

삼각형 넓이 구하기, 삼각형 높이 구하기

점 A에서 수선의 발을 내리면 △ABH와 △ACH라는 두 직각삼각형이 생겨요.

두 직각삼각형 중에서 △ABH를 볼까요? ∠H = 90°인 직각삼각형이에요. = c이고,  라고 해보죠.

피타고라스의 정리를 적용해보면

이번에는 △ACH를 볼까요? = b이고,  이므로 에요.

피타고라스의 정리를 적용해보죠.

세 변의 길이가 a, b, c인 삼각형의 높이 = 

이건 공식이 어렵죠? 그래서 공식으로 외우지 말고 구하는 과정을 익히세요. 삼각형의 한 꼭짓점에서 수선을 내리고, 두 개의 직각삼각형에서 피타고라스의 정리를 이용해서 높이를 구하는 거에요. 구한 높이를 이용해서 삼각형의 넓이를 구하는 거지요.

삼각형의 높이와 넓이를 구하는 방법입니다. 순서를 잘 기억하세요.

  1. 꼭짓점 A에서 변 BC에 수선을 내리고, 수선의 발을 H라고 한다.
  2.  = x로 놓는다.
  3. △ABH와 △ACH에서 피타고라스의 정리를 이용하여 의 식을 만든다
  4. ③에서 만든 두 식을 이용하여 x의 값을 구한다.
  5. x의 값으로 높이와 넓이를 구한다.

세 변의 길이가 13cm, 14cm, 15cm인 삼각형의 넓이를 구하여라.

삼각형의 높이와 넓이 구하기 예제

△ABC에서 점 A에서 수선을 내리고 수선의 발을 H라고 하고  = xcm라고 해보죠.

△ABH에서 152 = x2 + h2 → h2 = 152 - x2

△ACH에서 132 = (14 - x)2 + h2 → h2 = 132 - (14 - x)2

두 식에서 h2이 같으므로

152 - x2 = 132 - (14 - x)2
152 - x2 = 132 - x2 + 28x - 142
28x = 152 - 132 + 142
28x = (15 + 13)(15 - 13) + 196
28x = 56 + 196
28x = 252
x = 9

x = 9 이므로 h2 = 152 - x2에 대입하면
h2 = 152 - 92 = 144
h = 12(cm)

따라서 삼각형의 넓이는 ½ × 14 × 12 = 84(cm2)가 되는군요.

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정리해볼까요

한 변의 길이가 a인 정삼각형

  • 정삼각형의 높이 =
  • 정삼각형의 넓이 =
 
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