정사각뿔의 높이와 부피

각뿔이 뭔지는 다 알고 있죠? 각뿔의 겉넓이와 부피 구하는 방법도 알고 있고요. 각뿔의 부피를 구할 때, 밑면의 모서리의 길이와 각뿔의 높이를 알려줬어요.

그런데 이제는 각뿔의 높이를 알려주지 않아요. 대신 모서리의 길이를 알려줍니다. 피타고라스의 정리에 모서리를 길이 대입해서 각뿔의 높이를 알아낸 다음에 각뿔의 부피를 구하는 게 이 글에서 공부할 내용이에요.

각뿔중에서도 밑면이 정사각형인 각뿔을 정사각뿔이라고 해요. 밑면만 정사각형이고 옆면은 이등변삼각형이에요. 정사각뿔의 높이와 부피를 구하는 과정을 알아보죠.

밑면의 한 모서리 길이가 a이고, 옆면의 모서리 길이가 b인 정사각뿔에서 높이를 구해보죠.

정사각뿔의 밑면은 정사각형이에요. 정사각형의 두 대각선은 서로 수직이등분하기 때문에 대각선의 교점에서 각 꼭짓점에 이르는 거리는 같아요.

정사각뿔의 높이 - 정사각형 대각선의 교점

각뿔의 꼭짓점에서 밑면에 수선을 내리면 밑면의 대각선의 교점과 만납니다. 이 점을 H라고 할게요.

정사각뿔의 높이와 부피

그러면 △OHA라는 직각삼각형이 생겨요. 피타고라스의 정리를 적용해보면 이 되는데, 는 한 변의 길이가 a인 이등변삼각형의 빗변의 길이이므로 입니다. 이걸 위 식에 대입해보죠.

구하는 방법을 잘 이해하세요. 밑면의 대각선의 교점과 각뿔의 꼭짓점으로 직각삼각형을 만들어서 피타고라스의 정리를 이용하는 거예요.

각뿔의 겉넓이와 부피에 나온 것처럼 각뿔의 부피는 × (밑넓이) × (높이)에요. 밑면은 한 변의 길이가 a인 정사각형이고 높이는 위에서 구했으므로 부피를 구할 수 있겠죠?

h를 위에서 구한 걸 대입할 수도 있지만 그렇게 하면 공식으로 외우기가 어렵기 때문에 그냥 h 그대로 씁니다.

다음 그림을 보고 정사각뿔의 부피를 구하여라.
정사각뿔의 부피 예제

먼저 높이 h를 구해야겠죠?

높이까지 구했으니까 마지막으로 부피만 구하면 되겠네요.

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