원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 중심각에서 원과 그 친구들에 대해서 알아봤어요.
이제는 원에 대해서 조금 더 알아보죠. 초등학교 때 원의 넓이와 원의 둘레를 구했는데, 공식 기억하고 있죠?
원의 둘레 공식, 원의 넓이 공식
원의 둘레 = 반지름 × 2 × 3.14
원의 넓이 = 반지름 × 반지름 × 3.14
솔직히 원의 넓이와 원의 둘레를 구하는 게 계산하기 귀찮았잖아요. 조금만 실수해도 틀렸다고 하고.
이제 이런 걱정할 필요가 없어요. 원의 둘레, 원의 넓이를 구하는 방법이 매우 쉬워졌거든요.
원주율
원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 길이의 비를 말해요. 이건 초등학교 때 이미 공부했어요. 숫자로 하면 얼마라고 했나요? 3.14죠.
이제 중학교에서는 3.14라는 걸 쓰지 않아요. 왜냐? 계산하기 복잡할 뿐만 아니라 3.14가 정확한 숫자가 아니니까요.
중학교에서는 3.14 대신에 π라는 걸 써요. 파이라고 읽어요. 한글 모음 ㅠ처럼 생겼는데, 아래에 세로로 그어진 부분의 끝을 왼쪽과 오른쪽으로 살짝 나오게 써요. 앞으로 계산할 때 3.14 대신에 π를 쓰세요.
원의 둘레와 원의 넓이
원의 둘레 길이와 원의 넓이 구하는 공식이 아래처럼 바뀌었어요.
반지름의 길이를 r (Radius), 원의 둘레의 길이를 l(Length), 원의 넓이를 S(Square)라고 해보죠.
원의 둘레 길이(원주, l)와 넓이(S)
l = 2 × 반지름 × 3.14 = 2πr
S = 반지름 × 반지름 × 3.14 = πr2
예를 들어 반지름이 10cm인 원의 둘레는 10cm × 2 × 3.14 = 62.8cm라고 하지 않고, 2 × π × 10cm = 20πcm라고 써요.
넓이는 10cm × 10cm × 3.14 = 314cm2이 아니라 π × (10cm)2 = 100πcm2이라고 하고요.
3.14를 곱하지 않아도 되니까 계산이 훨씬 간결해졌죠?
부채꼴 호의 길이와 부채꼴의 넓이
이번에는 부채꼴의 호의 길이와 부채꼴의 넓이에 대해서 생각해보죠.
부채꼴에서도 원의 반지름은 r(Radius), 부채꼴의 호의 길이를 l(Length), 부채꼴의 넓이를 S(Square), 중심각의 크기를 x°라고 해보죠.
부채꼴에서 호의 길이는 부채꼴의 중심각에 정비례한다고 했어요. 원의 중심각이라는 용어는 없지만 원도 부채꼴처럼 중심에 각이 있죠? 한 바퀴 뺑 돌았으니까 이 각의 크기는 360°잖아요. 원과 부채꼴, 호, 현, 활꼴, 부채꼴의 중심각에서 부채꼴의 호의 길이를 구하는 예제에서 비례식을 이용해서 풀었었죠? 여기서도 비례식으로 풀어보죠.
원의 중심각 : 원의 둘레 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴 호의 길이
360 : 2πr = x : l
360 × l = 2πr × x
l = 2πr × x ÷ 360
부채꼴의 넓이도 중심각에 정비례한다는 사실을 이용해서 비례식으로 풀어보죠.
원의 중심각 : 원의 넓이 = 부채꼴의 중심각 : 부채꼴의 넓이
360 : πr2 = x : S
360 × S = πr2 × x
S = πr2 × x ÷ 360
부채꼴 호의 길이(l)와 넓이(S)
넓이 구하는 공식이 두 개죠? 아래에 있는 공식은 부채꼴 호의 길이를 이용한 공식이에요.
가끔은 부채꼴의 중심각을 가르쳐주지 않고 부채꼴 호의 길이를 알려주고 넓이를 구하는 경우도 있거든요. 부채꼴 호의 길이를 이용할 수 있도록 넓이 구하는 공식을 조금 변형하면 돼요.
아래 그림을 보고 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이를 구하여라.
(1)은 도넛 모양이네요. 색칠한 부분 전체의 둘레는 바깥에 있는 큰 원의 둘레와 안에 있는 작은 원의 둘레를 더해줘야겠죠?
바깥 큰 원의 둘레 = 2πr = 2π × 6 = 12π
안쪽 작은 원의 둘레 = 2πr = 2π × 4 = 8π
전체의 둘레 = 12π + 8π = 20π(cm)네요.
넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 빼줘야겠죠?
큰 원의 넓이 = πr2 = π62 = 36π
작은 원의 넓이 = πr2 = π42 = 16π
36π - 16π = 20π(cm2)군요.
오른쪽 (2)에서는 45°만큼 비어있어요. 따라서 이 부채꼴의 중심각은 (360° - 45°) = 315°예요.
둘레의 길이는 중심각이 315°인 부채꼴 호의 길이에 반지름 6cm를 두 번 더해줘야겠죠?
부채꼴 호의 길이 = 2πr × x ÷ 360 = 2π × 6 × 315 ÷ 360 = 10.5π
색칠한 부분 둘레의 길이는 (10.5π + 12)cm군요.
넓이는 중심각이 315°인 부채꼴의 넓이를 구하면 되겠네요.
부채꼴의 넓이 = πr2 × x ÷ 360 = π62 × 315 ÷ 360 = 31.5π(cm2)입니다.
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공식에 대입한 10.5파이가 어떻게 나왔는지 이해가 안되네요 계산이 잘못된건지 제가 이해를 잘 못한건지 밑에 31.5파이는 이해되는데요.. 공식에 대입한거 이해되는데요...
중심각 315를 구해서 그냥 공식에 대입한 결과가 10.5예요.
^~^...역시 수학방님이셔요... 이해됏습니다...수학이 예전보다 더 재밋어지는 기분이 드네요...ㄱㅅ합니다...추운겨울 건강잘챙기시구용...
앞으로는 지금보다 더 재밌어질 거예요.
수학방님 최고
바람신님이 더 최고
비밀댓글입니다
그러네요. 다른 데는 다 부채꼴 호의 길이라고 해놓고 거기만 다르게 썼군요. ㅠㅠ
hh
중 1일인데 정말 잘봤읍니다ㅠㅠ 저 내일 학원시험인데 감사해요
굿밤~~
시험 잘 보세요. 100점 받으면 한 턱 쏴요.
중 1 100점 맞고왔씁니다 어디서만날까요
만나서 뭐 할까요? ㅎ
저 맨마지막 문제에서 왜 반지름 6cm를 두번 더해요?
둘레의 길이니까요.
부채꼴 부분만 있는 게 아니라 반지름으로 된 파인 부분도(피자 한 조각 빼먹은 것 같은) 둘레잖아요.
원의 둘레가 왜 2파이r인지 알수있을까요? 원 넓이는 부채꼴로 잘게 나눠서 직사각형으로 만들어 유도하는 방법이 있다는걸 아는데 둘레도 같은 방법이 있을까요?
원의 둘레는 말씀하신 것과 같은 방법으로 만든 직사각형에서 윗변과 아랫변의 길이의 합이에요. (반지름의 길이가 아닌 다른 두 변의 길이의 합)
2번문제 둘레 길이 문제 질문드립니다.
원의 둘레 - 부채꼴의 호의길이 = 색깔로 표현된 도형의 둘레
이렇게 식을 세우는 건 잘못된건가요?
반지름 6 / 부채꼴의 각도 45도
원의 둘레(a) : 식 2ㅠr
12ㅠ = 37.68
부채꼴의 호(b) : 식 2ㅠr * x / 360
12ㅠ * 45 / 360 = 4.71
(a)-(b) = 37.68 - 4.71 = 32.97
파이까지 계산한 결과입니다.
풀이 설명해주신 부분이 이해가 안되고
위의 언급하신 식에 대입하는 부분과 과정이 안맞는 것 같습니다.
1. 부채꼴 호의 길이를 구하는 문제가 아니라 색칠한 부분을 둘레를 구하는 문제예요. 부채꼴이 빠져나간 자리에 직선이 2번 들어있어요. (45도를 이루는 두 직선) 이 부분을 더해줘야 해요.
+ 12cm
2. 중학교에서는 파이를 3.14로 계산하지 않고 파이 그대로 써요.
12ㅠ - 12ㅠ * 45/360 = 21/2 ㅠ = 10.5ㅠ
!! 45도 이루는 두 직선을 생각못했네요.
수학을 다시 공부하는데 너무 유익합니다.
도움 감사합니다 ~
두 직선을 생각하지 못하는 분들이 많아서 일부러 이 유형의 예제를 넣은 거예요.
다른 글들도 많이 읽어주시고 궁금한 건 언제든 댓글 남겨주세요.
반지름이 10이고 각이 1인 부채꼴의 호의 길이는?
노란 상자에 있는 공식에 넣으면 답을 구할 수 있어요.
초6인데 이거보고있네여
3.14가 파이로 바뀐 것뿐이니까 별로 어렵지 않죠?
"원의 둘레가 왜 2파이r인지 알수 있을까요?"
위의 요 질문 답이 좀 틀린거 같아서요.
"~~만든 직사각형의 둘레와 같습니다." --> 이부분이요.
직사각형의 윗변과 아랫변의 길이의 합 아닌가요?
원의 둘레의 길이가 2파이r 인 이유는 원주율(파이=3.14.....) 가
원의 지름과 원 둘레의 길이의 비입니다.
지름이 1일경우 3.14.... 라는거죠.
지름이 2일경우 3.14..... x 2
지름이 3일경우 3.14..... x 3
지름이 4일경우 3.14..... x 4
2파이r은 2x3.14....x반지름
= 3.14......x2x반지름
= 3.14......x지름
= 2파이r = 파이R
다 같은거죠.
(r=반지름 , R=지름)
맞네요. 잠시 착각했어요.
둘레에서 양쪽의 길이는 반지름의 길이니까 더하면 안돼죠.
댓글 수정할게요.
오른쪽(2) 그림 둘레 구하는 문제답 10.5파이+12에서 12가 조각난쪽 반지름 6 6때문에 12인가요?
네, 맞아요.
원의둘레는 겉에만 계산하는거 아닌가요?도넛모양은 왜 안에있는 둘레까지 더해야하죠?그건 안이라 상관없지않나요?
원의 둘레가 아니라 색칠한 부분의 둘레를 구하는 거니까요.
내일이 시험이라서 봤는데 제가 원하는 것들이 딱 나와있네요~!
시험 잘 봤어요?
덕분에 수학이 쉬워졌어요 감사합니다!
원래 수학이 생각보다 어렵지 않은 과목이에요. ㅎ
중심각의 크기는 어떻게 구하나요?
원, 호, 현, 활꼴, 부채꼴, 중심각 참고해주세요.
http://mathbang.net/98
부채꼴 호의 길이요.l=r×라디안
으론 안되는건가요?
270나오고 난리예요ㅋㅋ
여기는 중학과정이라서 호도법을 쓰지 않아요.
아래 글 참고해주세요.
https://mathbang.net/497
원의 넓이 어떻게 구하나요
본문이 원의 넓이 구하는 방법을 설명하는 글이에요.