다각형을 공부하고 있어요.
이 글에서는 다각형에 있는 변이 아닌 다른 선분에 대해서 알아볼 거예요. 그리고 그 선분을 몇 개나 그을 수 있는지 알아보고 개수를 구하는 공식도 만들어 볼거고요.
공식이 어떻게 만들어지는 그 과정을 잘 이해해보세요. 공식 유도과정을 잘 이해하면 공식을 외우기도 쉽고 공식을 써먹기도 쉬워요.
대각선
다각형에서 이웃한 꼭짓점을 연결한 선분은 변이라고 하죠? 그럼 이웃하지 않은 꼭짓점을 연결한 선분을 뭐라고 할까요? 많이 들어본 이름일 텐데 바로 대각선이라고 해요.
보통 대각선 하면 비스듬하게 그어진 선을 생각하는데, 여기서는 그게 아니니까 주의하세요.
아래 그림은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 본 거예요.
삼각형에는 대각선이 없죠? 왜요? 이웃하지 않은 꼭짓점이 없으니까요.
사각형에서는 한 꼭짓점에서 한 개의 대각선을 그을 수 있네요. 오각형은 두 개, 육각형은 세 개의 대각선을 한 꼭짓점에서 그을 수 있어요.
사각형 ABCD를 계속 보죠. 사각형의 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 몇 개일까요?
대각선은 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점으로 연결한 선분이에요. 점 A를 보세요. 점 A에서는 자기 자신인 점 A와 이웃한 점 B, 점 D가 아닌 점 C에만 대각선을 그을 수 있어요. 그러니까 점 A에서는 총 한 개의 대각선을 그을 수 있는 거죠.
오각형에서는 자기 자신, 이웃한 꼭짓점 두 개를 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있어요. 육각형에서도 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있고요.
n각형에서 n에 상관없이 자기 자신과 이웃한 두 개를 뺀 나머지 점에 대각선을 그을 수 있다는 결론이 나와요.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)개에요.
다각형의 대각선의 개수
그럼 n각형에서 그을 수 있는 대각선의 총 개수는 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수와 꼭짓점의 수를 곱하면 되겠죠? n(n - 3)개가 되겠군요.
사각형에서는 4 × (4 - 3) = 4개가 나와요. 오각형은 5 × (5 - 3) = 10, 육각형은 6 × (6 - 3) = 18개가 되겠네요.
여기서 한 가지 더 짚고 넘어갈 게 있어요.
사각형 ABCD는 점 A, 점 B, 점 C, 점 D에서 각각 하나의 대각선을 그을 수 있으니 총 4개의 대각선을 그을 수 있어요.
그런데 점 A에서 점 C로 그은 대각선 AC와 점 C에서 점 A로 그은 대각선 CA는 같은 선분이에요. 따라서 두 개가 아니라 한 개로 쳐야 해요. 또 점 B에서 점 D로 그은 대각선 BD와 점 D에서 점 B로 그은 대각선 DB도 같은 선분이죠? 같은 대각선을 두 번씩 세면 안 되니까 위에서 구했던 대각선의 개수를 2로 나눠줘야 해요.
n각형 대각선의 개수 =
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형에서 대각선의 개수를 표로 정리해보죠.
| 다각형 | 삼각형 | 사각형 | 오각형 | 육각형 | n각형 |
|---|---|---|---|---|---|
| 꼭짓점의 개수(개) | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
| 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 (개) | 0 | 1 | 2 | 3 | n - 3 |
| 대각선의 총 개수 (개) | 0 | 2 | 5 | 9 |  × n(n - 3) |
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