다각형을 공부하고 있어요.
이 글에서는 다각형에 있는 변이 아닌 다른 선분에 대해서 알아볼 거예요. 그리고 그 선분을 몇 개나 그을 수 있는지 알아보고 개수를 구하는 공식도 만들어 볼거고요.
공식이 어떻게 만들어지는 그 과정을 잘 이해해보세요. 공식 유도과정을 잘 이해하면 공식을 외우기도 쉽고 공식을 써먹기도 쉬워요.
대각선
다각형에서 이웃한 꼭짓점을 연결한 선분은 변이라고 하죠? 그럼 이웃하지 않은 꼭짓점을 연결한 선분을 뭐라고 할까요? 많이 들어본 이름일 텐데 바로 대각선이라고 해요.
보통 대각선 하면 비스듬하게 그어진 선을 생각하는데, 여기서는 그게 아니니까 주의하세요.
아래 그림은 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 본 거예요.
삼각형에는 대각선이 없죠? 왜요? 이웃하지 않은 꼭짓점이 없으니까요.
사각형에서는 한 꼭짓점에서 한 개의 대각선을 그을 수 있네요. 오각형은 두 개, 육각형은 세 개의 대각선을 한 꼭짓점에서 그을 수 있어요.
사각형 ABCD를 계속 보죠. 사각형의 한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 몇 개일까요?
대각선은 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점으로 연결한 선분이에요. 점 A를 보세요. 점 A에서는 자기 자신인 점 A와 이웃한 점 B, 점 D가 아닌 점 C에만 대각선을 그을 수 있어요. 그러니까 점 A에서는 총 한 개의 대각선을 그을 수 있는 거죠.
오각형에서는 자기 자신, 이웃한 꼭짓점 두 개를 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있어요. 육각형에서도 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 나머지 꼭짓점에 대각선을 그을 수 있고요.
n각형에서 n에 상관없이 자기 자신과 이웃한 두 개를 뺀 나머지 점에 대각선을 그을 수 있다는 결론이 나와요.
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)개에요.
다각형의 대각선의 개수
그럼 n각형에서 그을 수 있는 대각선의 총 개수는 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수와 꼭짓점의 수를 곱하면 되겠죠? n(n - 3)개가 되겠군요.
사각형에서는 4 × (4 - 3) = 4개가 나와요. 오각형은 5 × (5 - 3) = 10, 육각형은 6 × (6 - 3) = 18개가 되겠네요.
여기서 한 가지 더 짚고 넘어갈 게 있어요.
사각형 ABCD는 점 A, 점 B, 점 C, 점 D에서 각각 하나의 대각선을 그을 수 있으니 총 4개의 대각선을 그을 수 있어요.
그런데 점 A에서 점 C로 그은 대각선 AC와 점 C에서 점 A로 그은 대각선 CA는 같은 선분이에요. 따라서 두 개가 아니라 한 개로 쳐야 해요. 또 점 B에서 점 D로 그은 대각선 BD와 점 D에서 점 B로 그은 대각선 DB도 같은 선분이죠? 같은 대각선을 두 번씩 세면 안 되니까 위에서 구했던 대각선의 개수를 2로 나눠줘야 해요.
n각형 대각선의 개수 =
삼각형, 사각형, 오각형, 육각형에서 대각선의 개수를 표로 정리해보죠.
다각형 | 삼각형 | 사각형 | 오각형 | 육각형 | n각형 |
---|---|---|---|---|---|
꼭짓점의 개수(개) | 3 | 4 | 5 | 6 | n |
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 (개) | 0 | 1 | 2 | 3 | n - 3 |
대각선의 총 개수 (개) | 0 | 2 | 5 | 9 |
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비밀댓글입니다
n각형의 n이요.
삼각형이면 3, 사각형이면 4,....
"한 꼭짓점에서 그을수있는 대각선의 개수가 7개인 다각형의 총 개수를 구하시오"
이런 문제가 나왔는데 도대체 뭔말을 하는지 모르겠어요.. ㅠㅠ 제가 넘 멍청해서.. 혹시 가르쳐주시면 안돼요?
대각선은 자기 자신과 이웃하지 않는 꼭짓점에 그은 선을 말해요. 대각선을 그을 수 있는 꼭짓점의 수는 자기 자신이 한 개니까 1빼고, 이웃한 꼭짓점은 양쪽으로 하나씩이니까 2 빼면, 총 3을 빼야겠죠?
대각선 설명 마지막 줄에 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 (n - 3)개라고 했는데, 이 -3이 뜻하는 게 위에 설명한 내용이에요.
n - 3 = 7 -> n = 10
모르는 것과 멍청한 건 완전히 다를 거예요. 이런 거 모른다고 멍청한 거 아니니까 그런 생각 버리고 열심히 하시면 됩니다.
이것만 보면 학원 안다녀도될듯^^
까먹었섰는데 이거 읽고 풀었네요~
이제는 까먹지 마세요.
공식을 그냥 외우기만 하는 건 찝찝하기도 하고 시간 지나면 까먹을 것 같아서 찾아봤는데 이해가 잘 되요! 앞으로 자주 찾아올게요!
공식을 잊어버려도 어떻게 유도했는지를 기억하고 있다면 직접 유도해서 찾으면 되겠네요.
앞으로 자주 봐요.
설명을 잘하시네요. 고마워요.
댓글 고맙습니다. 이런 댓글때문에 설명을 더 열심히 할 수 밖에 없어요.
댓글 고맙습니다. 더 잘 설명하도록 노력하겠습니다.
다각형의 개수 구하는 공식은 n(n-3)/2 아닌가요?
네 맞아요. 본문 제일 마지막 표에 공식이 있어요.
잘 알았습니다.
잘 아셨다니 다행이네요.
한 꼭짓점에서 그을수 있는 대각선의 개수 구하는 방법을 알려주세요.
본문이 그것에 대한 설명이에요.
대각선의 뜻에 유의하면서 천천히 다시 읽어보세요.
감사함돵
고맙숩당
대박 친절 이거 나는 귀찮아서 않할듯 ㅎㅎ
귀찮아도 해보세요.
대신 제가 좀 쉴게요.
저 한국사람입니다 착각하지 마세요
한국말 잘하시는 외국인인줄...
제가 4학년인데 이번에 중간고사 1등했는데도 n어쩌구는 모르겠는데 숫자로만 그리고 식의 설명 더 자세히 설명해주실 수 있나요....????
4학년이 모르는 건 당연한 거지요. 여긴 중1을 대상으로 설명한 거예요. 중1이면 알아 들을 수 있는 수준으로 설명했어요.
n은 다각형에서 각의 개수를 말해요. 오각형이면 n은 5, 육각형이면 n은 6이에요.
비밀댓글입니다
중2인데 기초가 부족해서 여기까지 찾아왔는데 설명 넘 잘하시네요ㅜㅜ 덕분에 저 공식은 평생 안까먹을 듯!
아니요. 3년 쯤 지나면 잊어버릴 걸요. ㅋㅋ
저... 공식으로 쉽게 해주시면 감사하겠습니다. (이해를 못하겠어요. ㅠㅠ)
본문에 공식이 있는데, 어떤 공식을 말하시는 걸까요?
오.. 까먹을락 말락했던 공식이 바로 생겨나는 마법인가요! 너무 잘 설명해주셔서 고마워요~
공식을 공식으로 외우지 않고 유도 과정을 이해하면 까먹을락 말락하지 않을 거예요.
비밀댓글입니다
십삼각형이든 이십삼각형이든 다를 건 없어요. 본문의 공식에 대입하면 나와요.
9각형대가선개수몇개인가요?
공식에 넣어보세요.
바로 위 댓글에 있는 것처럼 몇 각형이든 상관없이 저 공식에 대입하면 답을 구할 수 있어요.
비밀댓글입니다